【2022新高考】专题39利用项的系数求参数(含解析版)-35页

【2022新高考】专题39利用项的系数求参数一、单选题52121．在ax的展开式中，若含x项的系数为40，则正实数a（）2x1A．B．2C．3D．4252a72．设常数aR.若x的二项展开式中x项的系数为－15，则a（）xA．－2B．2C．3D．－32a53．(x)展开式中x的系数为80，则a等于（）xA．-3B．3C．-2D．22x4324．ayxy的展开式中xy项的系数为4，则a（）y5A．0B．2C．D．-22615．ax的展开式的常数项为160，则实数a（）xA．2B．-2C．1D．-1a826．二项式(x)的展开式中x的系数是7，则a（）x11A．1B．C．D．1225a387．已知二项式(ax)的展开式的第二项的系数为5，则3xdx（）387710A．60B．C．60或D．30或333338．已知(1ax)(1x)的展开式中x的系数为7，则a（）A．1B．2C．3D．4n19．使得3xnN的展开式中含有常数项的最小的n为()xxA．4B．5C．6D．7 234410．若a0a1(2x1)a2(2x1)a3(2x1)a4(2x1)x，则a2（）3511A．B．C．D．81681652311．若(1ax)(1x)的展开式中x,x的系数之和为10，则实数a的值为（）A．3B．2C．1D．15212．已知1x1ax的展开式中x的系数为15，则a（）33A．1B．1C．1或D．1或225313．ax1x1的展开式中，x的系数是20，则a（）A．2B．1C．4D．15214．已知xax的展开式中所有项的系数和为2，则展开式中的常数项为（）xA．80B．80C．40D．4042315．已知x3yaxy展开式中含xy项的系数为14，则正实数a的值为（）97A．B．C．2D．179n116．3x11的展开式中的常数项为14，则正整数n的值为（）xA．4B．5C．6D．7二、多选题621317．若x的展开式中x的系数是160，则（）ax1A．aB．所有项系数之和为12C．二项式系数之和为64D．常数项为3206a118．已知12x的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）xxA．a1B．展开式中常数项为160 C．展开式系数的绝对值的和1458rr1D．若r为偶数，则展开式中x和x的系数相等62319．已知(x1)(ax1)的展开式中，x的系数为56，则实数a的取值可能为（）A．-1B．4C．5D．6三、填空题a4a4220．x1x的展开式中x的系数为4，则x1x的展开式中常数为______．xx1x2n21．若对任意x,1，都有2a0a1xa2xanx，（n为正整数），则a1a3的21x2x值等于_______.72722．已知1mxa0a1xa2x...a7x，若a435，则实数m＝________.38223．若在(a3x)(1x)关于x的展开式中，常数项为4，则x的系数是______________．6a24．若x的展开式的常数项为60，则a_________.2x10a25．x展开式中的常数项为180，则a_________________.2x10110526．已知ax的展开式中常数项为，则实数a_______.38x6327．已知mx1x的展开式中x的系数为30，则m为______.a628．若(x)的展开式中的常数项为60，则a的值为______.x6a329．设二项式xa0的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是______.xxn1130．已知关于x的方程alogax(0a1)的实数根的个数为n，若(x1)(x1)a0a1(x3)21011a2(x3)a10(x3)a11(x3)，则a1的值为______.42a531．x的展开式中含x的项的系数为8，则a__________.x 622232．若xax的展开式中x的系数为20，则a的值为______.xn2233．已知x的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.x四、双空题1334．在xa(1x)的展开式中，若a＝2，则x项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，x则实数a的值为________.n2235．已知二项式x的各项系数和为243，则n___________，展开式中常数项为___________.x36．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的63二项式系数表．已知ax1的展开式中x的系数为160，则实数a________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）n137．已知x展开式的前三项系数成等差数列，则n______，其展开式中的有理项依次为______．42x五、解答题n238．已知x的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56:3，2x（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.72739．已知1mxa0a1xa2xa7x中，且a335.（1）求m的值；（2）求a1a3a5a7的值.n1*40．已知二项式xnN,n2．2x（1）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n的值；4（2）在（1）的条件下，求展开式中x项的系数． n241．在x的展开式中，前3项的系数的和为73.4x（1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.n2242．已知x的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为.2x7（1）求n值；（2）求展开式中的常数项.3n*43．已知二项式(xx)(nN，n15)（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在2的条件下写出它展开式中的有理项.mn44．已知fx1x12x（m，n均为大于1的整数）展开式中x的系数为11，且m，4，n成等差数列.求：2（1）x的系数；（2）fx展开式中x的奇数次幂项的系数之和.22n45．已知(3＋3x)的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：x(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．专题39利用项的系数求参数一、单选题52121．在ax的展开式中，若含x项的系数为40，则正实数a（）2x1A．B．2C．3D．42【答案】B【分析】 521写出ax的展开式的通项，然后可建立方程求解.2x【详解】5r21r25r1r5rr104rax的展开式的通项为Tr1C5ax2C5a1x2xx3533令104r2，则r3，所以C5a140，解得a2或a2（舍）故选：B52a72．设常数aR.若x的二项展开式中x项的系数为－15，则a（）xA．－2B．2C．3D．－3【答案】D【分析】7利用通项公式求出x项的系数且等于-15，建立关于a的方程，求解即可.【详解】5r5r2ar2arr103rx的二项展开式的通项公式为Tr1C5xaC5x，r0,1,2,3,4,5.xx令103r7，得r1，71所以展开式中x项的系数为aC515，解得a3.故选：D.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.2a53．(x)展开式中x的系数为80，则a等于（）xA．-3B．3C．-2D．2【答案】C【分析】求出展开式的通项公式，令r3，可计算出a的值．【详解】2a5(x)展开式的通项公式为x 5rrrrr21r103rTr1C5xaxC5axr0,1...,533x的系数为C5a80，解得a2.故选：C【点睛】本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．2x4324．ayxy的展开式中xy项的系数为4，则a（）y5A．0B．2C．D．-22【答案】D【分析】232113x3333xy项为ay1C4xy1C4xy41axy，由已知可求得选项.y【详解】2113x333332由题意，xy项为ay1C4xy1C4xy41axy，故41a4，所以a2.y故选：D.【点睛】本题考查二项式展开式的特定项的系数问题，属于基础题.615．ax的展开式的常数项为160，则实数a（）xA．2B．-2C．1D．-1【答案】B【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次数为0，求出r的值，从而列方程可求出a的值【详解】6r1r6r1r6r62rax的展开式的通项TC(ax)Cax，令62r0，得r3，r16xx363所以Ca160，解得a2，6 故选：B.【点睛】此题考查二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题a826．二项式(x)的展开式中x的系数是7，则a（）x11A．1B．C．D．122【答案】B【分析】利用已知和通项可求得a.【详解】rr8rarr82r展开式的通项为C8x(a)C8x,r{0,1,2,,8}，x2因为x的系数是7，所以82r2，即r3，rr331(a)C8(a)C87，解得a，2故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理，二项式系数，属于基础题.a5837．已知二项式(ax)的展开式的第二项的系数为5，则3xdx（）387710A．60B．C．60或D．30或333【答案】A【分析】34根据第二项系数，可求出a1；由定积分基本性质，求其原函数为yx；进而通过微积分基本定理求4得定积分值；【详解】175展开式的第二项为C8(ax)()58 175所以系数C8a5；解得a1833341所以3xdxx3143434(1)(3)6044故选：A【点睛】本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题．338．已知(1ax)(1x)的展开式中x的系数为7，则a（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】rnrr根据二项式定理的展开式：Tr1Cnab以及多项式相乘即可求解.【详解】33(1ax)(1x)的展开式中x的系数为7，32则1C3aC37，即3a6，所以a2.故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.n19．使得3xnN的展开式中含有常数项的最小的n为()xxA．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】rn-r1r35二项式展开式的通项公式为C（n3x）()，若展开式中有常数项，则n-r-r=0，解得n=r，当rxx22取2时，n的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．234410．若a0a1(2x1)a2(2x1)a3(2x1)a4(2x1)x，则a2（）3511A．B．C．D．816816【答案】A【分析】23414令2x1t，则a0a1ta2ta3ta4t(t1)中对应二次项的系数相等即可.16【详解】23414解：令2x1t，则aatatatat(t1)，0123416123；a2C4，168故选：A.【点睛】考查求二项展开式中某一项的系数，基础题.52311．若(1ax)(1x)的展开式中x,x的系数之和为10，则实数a的值为（）A．3B．2C．1D．1【答案】B【分析】55523由(1ax)(1x)(1x)ax(1x)，进而分别求出展开式中x的系数及展开式中x的系数，令二者之和等于10，可求出实数a的值.【详解】555由(1ax)(1x)(1x)ax(1x)，221332则展开式中x的系数为C5aC5105a，展开式中x的系数为C5aC51010a，二者的系数之和为(105a)(10a10)15a2010，得a2.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5212．已知1x1ax的展开式中x的系数为15，则a（） 33A．1B．1C．1或D．1或22【答案】D【分析】552根据二项展开式的通项公式分别求出1ax展开式中x,x的系数即可得到1x1ax的展开式中2a的值．x的系数，解方程即可求出【详解】5rr22因为1ax展开式的通项公式为Tr1C5ax，所以其展开式中x的系数为5a，x的系数为10a，522即1x1ax的展开式中x的系数为10a5a．32依题意可得，10a5a15，解得a1或a．2故选：D．【点睛】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，并利用系数求参数值，属于基础题．5313．ax1x1的展开式中，x的系数是20，则a（）A．2B．1C．4D．1【答案】B【分析】5553对多项式展开得ax(x1)(x1),再研究(x1)的通项,当r3和r2时,可得x的系数为3322aC5(1)C5(1),再解关于a的方程，即可得答案.【详解】555因为(ax1)(x1)ax(x1)(x1),5r5rr而(x1)展开式的通项公式为展开式的通项公式为Tr1C5x(1),r0,1,,5.533322所以(ax1)(x1)的展开式中x的系数为aC5(1)C5(1)20，解得a1.故选：B.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算 求解能力，求解时注意系数的符号.5214．已知xax的展开式中所有项的系数和为2，则展开式中的常数项为（）xA．80B．80C．40D．40【答案】B【分析】521令x1，由展开式中所有项的系数和为2，列出方程并求出a的值，得出展开式中常数项为x中xx520的系数与x的x的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解.x【详解】52解：由题可知，xax的展开式中所有项的系数和为2，x52令x1，则所有项的系数和为1a11a2，1解得：a1，55552222xaxx1xxxx，xxxx52则x1x展开式中的常数项为：x552120x中x的系数与x的x的系数之和，xx52由于x展开式的通项公式为：xrr5r2rr5rTr1C5xC52x，x52133当52r1时，即r3时，x中x的系数为：C5280，x当52r0时，无整数解， 52所以x1x展开式中的常数项为80.x故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.42315．已知x3yaxy展开式中含xy项的系数为14，则正实数a的值为（）97A．B．C．2D．179【答案】D【分析】423根据二项式定理可确定axy展开式的通项，由此可确定含xy的项分别对应的r的取值，进而确定系数.【详解】44rrrr4rr4rraxy展开式的通项公式为：Tr1C4axy1aC4xy.423x3yaxy展开式中含xy的项的系数为：33222271aC431aC44a18a14，解得：a1或a.9a为正实数，a1.故选：D.【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项.n116．3x11的展开式中的常数项为14，则正整数n的值为（）xA．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】n11先研究1的常数项和x的系数，再根据题意求解即可.x 【详解】nnr1r1rrrrn解：1展开式的通项公式为Tr1Cn11Cnx，xxnnn故其常数项为Tn11Cn1，n1n11n111包含x的项为Tn111Cnx1nx，n1n1n所以3x11展开式的常数项为13n114.x当n为奇数时，有3n114，解得n5；13当n为偶数时，有3n114，解得n（舍）3故正整数n的值为5.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，是中档题.二、多选题621317．若x的展开式中x的系数是160，则（）ax1A．aB．所有项系数之和为12C．二项式系数之和为64D．常数项为320【答案】ABC【分析】13首先根据展开式中x的系数是160得到a，从而判断A正确，令x1得到所有项系数之和为1，从26622而判断B正确，根据二项式系数之和为2，从而判断C正确，根据x的常数项为x42222C6x320，从而判断D错误.x【详解】 632133231对选项A，x的展开式中x项为C6x，axax3311所以C6=160，解得a，故A正确；a2662122由A知：xx，axx6令x1，所有项系数之和为121，故B正确；6对选项C，二项式系数之和为264，故C正确；6422222242对选项D，x的常数项为Cx2C240，故D错误.66xx故选：ABC【点睛】本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题.6a118．已知12x的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）xxA．a1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458rr1D．若r为偶数，则展开式中x和x的系数相等【答案】ACD【分析】a16(1)(2x)中，给x赋值1求出各项系数和,列出方程求出a，利用二项展开式的通项公式求出通项，xx进而可得结果.【详解】6a1对于A，12xxx令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1a，1a2 a1，故A正确；66a111对于B，12x12xxxxx661112x2x，xxx61r6rr62r2x展开式的通项为Tr1(1)2C6x，x61当2x展开式是中常数项为：令62r0,得r3x333可得展开式中常数项为：T4(1)2C6160，6111r6rr62rr6rr52r当2x展开式是中常数项为：(1)2C6x(1)2C6xxxx5令52r0,得r(舍去)26a1故12x的展开式中常数项为160.故B错误；xx66a11112x12xxxxx611对于C，求其展开式系数的绝对值的和与12x展开式系数的绝对值的和相等xx661111612x，令x1，可得：12231458xx1161112x展开式系数的绝对值的和为：1458.故C正确；xx666a1111对于D，12x2x2xxxxxx61r6rr62r2x展开式的通项为Tr1(1)2C6x，xrr1当r为偶数，保证展开式中x和x的系数相等 21；x和x的系数相等，61122622212x展开式系数中x系数为：(1)2C6xxx126222展开式系数中x系数为：(1)2C6x21此时x和x的系数相等，43；x和x的系数相等，6114151412x展开式系数中x系数为：(1)2C6xxx31514展开式系数中x系数为：(1)2C6x43此时x和x的系数相等，65；x和x的系数相等，6116060612x展开式系数中x系数为：(1)2C6xxx50606展开式系数中x系数为：(1)2C6x65此时x和x的系数相等，故D正确；综上所在，正确的是：ACD故选：ACD.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.62319．已知(x1)(ax1)的展开式中，x的系数为56，则实数a的取值可能为（）A．-1B．4C．5D．6【答案】AD【分析】3利用多项式的乘法法则得到x系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出a的值． 【详解】62622623解：因为(x1)(ax1)(x1)(ax2ax1)，所以(x1)(ax1)的展开式中x的系数是345222C6C6(2)aC6a6a30a20，故6a30a2056，解得a6或-1.故选：AD【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．三、填空题a4a4220．x1x的展开式中x的系数为4，则x1x的展开式中常数为______．xx【答案】8【分析】a4利用已知条件得关于a的方程，求得a，再利用二项展开式的通项公式，得x1x的展开式中的x常数项．【详解】a411a3322x1x的展开式中x项为xC4xC4x4a1x，xxa42因为x1x的展开式中x的系数为4，所以4a14，解得a2．x24211所以x1x的展开式中常数项为C4x8．xx故答案为：8【点睛】关键点睛：本题考查求二项式与二项式（或多项式）的积的展开式中的常数项，解得本题的关键是由a4213x1x的展开式中x的系数为C4aC44，先求出参数a，再由二项式的展开式的公式可得x24211x1x的展开式中常数项为C4x，属于中档题.xx 1x2n21．若对任意x,1，都有2a0a1xa2xanx，（n为正整数），则a1a3的21x2x值等于_______.【答案】4【分析】将式子变形后，重新组合，变为关于按x的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的关系，推出a=0,a=1,a=-1,a=3，即可求得结果.0123【详解】x2naaxaxax2012n1x2x22n23x1x2xa0a1xa2xanxa0a0a1xa2a12a0xa3a22a1xa00a0a11,解得：a0=0,a1=1,a2=-1,a3=3，a2a12a00a3a22a10即a1a3=4.故答案为：4.【点睛】本题考查二项式定理，考查利用展开式对应项系数相等求参数问题，属于中档题.72722．已知1mxa0a1xa2x...a7x，若a435，则实数m＝________.【答案】【分析】先利用二项式定理写通项公式，再取r4即得到第五项系数a4，即得到m的关系式求解即可.【详解】727rr因为1mxa0a1xa2x...a7x的通项公式Tr1C7mx，r0,1,2,...,744444故令r4得T5C7mx35mx，故a435m35，m1. 故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题.38223．若在(a3x)(1x)关于x的展开式中，常数项为4，则x的系数是______________．【答案】56【分析】将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】383838(a3x)(1x)a(1x)3x(1x)，8r8r38r3r8r3(1x)展开式的通项为：，Tr1C8xC81x取r8得到常数项为1，故a4.225分别取r2和r=5得到x的系数是：4C813C8156.故答案为：56.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.6a24．若x的展开式的常数项为60，则a_________.2x【答案】4【分析】二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60，求得实数a的值.【详解】6a解：；x展开式的通项公式为：2xr6rr2rrr63rTr1C6x(a)x(a)C6x，令63r0，可得r2，22；展开式的常数项为(a)C660，解得a4. 故答案为：4.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.10a25．x展开式中的常数项为180，则a_________________.2x【答案】2或2【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a的值．【详解】10a55r解：x展开式中的通项公式为TCrarx2，2r110x5r22令50，求得r2，可得它的常数项为aC10180，故a2，2故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10110526．已知ax的展开式中常数项为，则实数a_______.38x1【答案】2【分析】305r305r根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第r1项为TCra10rx6，令0，根据题中条件，r1106即可得出结果.【详解】10110rr305r因为ax展开式的第r1项为r10r23r10r6，3Tr1C10axxC10axx305r令0，则r6，6101105又ax的展开式中常数项为，38x 641054105411所以C10a，即210a，即a，解得a.881621故答案为：.2【点睛】本题主要考查由指定项的系数求参数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.6327．已知mx1x的展开式中x的系数为30，则m为______.【答案】2【分析】rr1根据二项式定理通项公式可得mCrx2，然后令13，最后简单计算即可.62【详解】6r1由题可知：mx1x的通项公式为r2mC6xr令13，则r4，24所以mC630m2故答案为：2【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题重点在于二项展开式的通项公式，细心计算，属基础题.a628．若(x)的展开式中的常数项为60，则a的值为______.x【答案】4【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【详解】63rar6rarrr32解：x的通项公式：Tr1C6(x)()(a)C6x，xx3r令30，解得r2．2260aC6，解得a4．故答案为：4． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6a329．设二项式xa0的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是______.x【答案】2【分析】先求二项展开式的通项公式，求出A,B，再由B4A，求出a.【详解】6ar6rar二项式xa0展开式的通项公式为Tr1C6x()，xx3rr6化简得r2Tr1aC6x,3222令r2，得展开式中x的系数为AC6a15a;444令r4，得展开式中常数项为BC6a15a,42由B4A可得15a415a.又a0，所以a2.故答案为：2；【点睛】本题考查了二项展开式，利用通项公式求出指项项的系数是解决此类问题的关键，属于基础题.xn1130．已知关于x的方程alogax(0a1)的实数根的个数为n，若(x1)(x1)a0a1(x3)21011a2(x3)a10(x3)a11(x3)，则a1的值为______.【答案】11265【分析】x利用图象法判断出关于x的方程alogx(0a1)的实数根的个数，由此求得n，利用x1x32，a结合二项式展开式求得a1.【详解】x当0a1时，画出ya和ylogax的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于 xx的方程alogax(0a1)的实数根个数为1，所以n1.n11111所以x1x1x32x32，1010所以a11C11(2)11265.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.42a531．x的展开式中含x的项的系数为8，则a__________.x【答案】2【分析】根据二项式定理，得到二项展开式的通项，再由题中条件，列出方程，即可得出结果.【详解】4r4r2ar2arr83r因为二项式x展开式的通项为：Tr1C4xaC4x，xx令83r5，解得r1，1所以C4a8a2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查由指定项的系数求参数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.622232．若xax的展开式中x的系数为20，则a的值为______.x【答案】3 【分析】r6rr2r62求得二项展开式的通项为Tr1(1)2C6x，求得x的系数，列出方程，即可求解.【详解】26r26rrr6rr2r6由题意，二项式(x)的展开式的通项为Tr1C6()(x)(1)2C6x，xx2333424所以x的系数为(1)2C6a(1)2C616060a，令16060a20，解得a3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.n2233．已知x的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.x【答案】1【分析】写出二项展开式的第5项，根据题意求出n的值，然后令x1可求得该式中所有项系数的和.【详解】n42242n42442n10x的展开式中第5项为CnxCn2x，xx由题意可得2n100，得n5.5因此，该式中所有项系数的和为121.故答案为：1.【点睛】本题考查利用展开式中的常数项求参数，同时也考查了二项式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.四、双空题 1334．在xa(1x)的展开式中，若a＝2，则x项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，x则实数a的值为________.【答案】4－4【分析】31先求(1x)的通项，根据通项和xa展开式的乘积可得答案.x【详解】133rr因为a=2，所以二项式为xa(1x)，(1x)的展开式的通项为Tr1C3x，所以x项的系数为x0123C32C3C34；令x=1，则所有项的系数之和为a·2=8a=-32，所以a=4.故答案为：；4；；4.【点睛】本题考查二项式定理，解答本题时，利用二项展开式的通项求展开式中某一项的系数，利用x=1得到所有项的系数之和，建立方程求解a的值.n2235．已知二项式x的各项系数和为243，则n___________，展开式中常数项为___________.x【答案】580【分析】rr2nr2利用赋值法，令x1即可求n；再利用二项式展开式的通项公式：Tr1Cnx可求常数项.x【详解】n22二项式x的各项系数和为243，xn令x1，可得12243，解得n5.r5r2r2由TCx，r15xr只需102r0，解得r4，24422所以常数项为TCx51680.55x 故答案为：5；80【点睛】本题考查了由二项式展开式的系数和求参数值、二项式展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.36．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的63二项式系数表．已知ax1的展开式中x的系数为160，则实数a________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）【答案】21【分析】利用通项公式求出a的值；令x1，可以求出各项系数之和．【详解】33333由题可知，T4C61ax160x，则20a160，故a2．6令x1，展开式中各项系数之和为211．故答案为：(1).2；(2).1【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式并由指定项的系数求参数，还考查了利用赋值法求二项展开式得各项系数和，属于基础题．n137．已知x展开式的前三项系数成等差数列，则n______，其展开式中的有理项依次为______．42x43512【答案】8x，x，x．8256【分析】先求出展开式的前三项系数，根据成等差数列建立等量关系，即可求出n，然后写出通项，令指数为整数，即可求出有理项.【详解】201121根据题意，前三项系数依次为Cn，Cn，Cn，22因为前三项系数成等差数列，202111则有CnCn2Cn，22 nn11整理得1n，解得n8，24r314rr4设第r1项为展开式的有理项，于是Tr1C8x，23当4rZ时，Tr1为有理项，443512又0r8且rZ，于是r0,4,8，共有三项，即依次为x，x，x．825643512故答案为：8；x，x，x．8256【点睛】本题命制是以二项式定理为背景，考查的是二项式定理的展开式通项公式的运用，同时考查了考生的等价转换、运算求解能力．五、解答题n238．已知x的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56:3，2x（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.25【答案】（1）T3180；（2）T15360x2.8【分析】n5r（1）根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第r1项为rr2，根据题意，列出方程求Tr1Cn2x105r解，得出n10，再令0，即可得出结果；2rr（2）先设第r1项系数最大，即C102最大，由此列出不等式组求解，得出r7，即可确定结果.【详解】n2nrn5r（1）二项式x的展开式的第r1项为r2r2rrr2，x2Tr1Cnx2xCn2x因为展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56:3， 444Cn2564Cn56n2n356即22，则2，即，解得n10；Cn23Cn333105r则rr2，Tr1C102x105r令0，得r2；2所以常数项为第三项，T3180；rr（2）设第r1项系数最大，即C2最大，10rr1A10A1010r12rrr1r1rr121C102C102ArAr1r1922即，则，即，解得r，rrr1r1rr1C102C102A10A1010r33212rr1ArAr1r1又rN，r7，25即系数最大的项为第8项，T15360x2.8【点睛】本题主要考查求二项展开式的常数项，考查求系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.72739．已知1mxa0a1xa2xa7x中，且a335.（1）求m的值；（2）求a1a3a5a7的值.6【答案】（1）m1；（2）2.【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解.（2）利用赋值法令x1得出所有项的系数和，再令x1，两式作差即可求解.【详解】ii（1）因为aCm，i0,1,2,3,7，i733依题意得：C7m35，3所以m1，得m1.727（2）1xa0a1xa2xa7x 7令x1得：a0a1a2a3a4a5a6a7110.；77令x1得：a0a1a2a3a4a5a6a7112.；7由；—；得：2a1a3a5a72，6即a1a3a5a72.6故答案为：m1；2【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式、赋值法求二项式展开式的各项系数和，考查了基本计算能力，属于基础题.n1*40．已知二项式xnN,n2．2x（1）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n的值；4（2）在（1）的条件下，求展开式中x项的系数．【答案】（1）n8；（2）7.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的前3项，利用等差数列得到关系式，即可求出n的值．（2）利用通项，令x的指数为4，求出r，然后求出所求结果．【详解】rr11rn2r（1）Tr1CnrCnx，2x22110122由题知2CnCnCn，故n9n80，22从而n1或n8，由于n2，故n8.rrr8r1r182r（2）由上知其通项公式为Tr1C8x，即Tr1C8x2x2令82r4得r2，2421故x项的系数为C7．82【点睛】 本题考查二项式定理及其应用，注意项的系数的讨论关键是弄清楚二项展开式的通项，本题属于中档题.n241．在x的展开式中，前3项的系数的和为73.4x（1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.33【答案】（1）n6，4；（2）x和240.160x【分析】（1）根据前3项系数和，建立方程求出n，结合二项式系数的性质进行求解即可．（2）求出展开式的通项公式，结合x的次数进行求解即可．【详解】（1）依题意得：01222Cn2Cn4Cn73，即2n173，得n36n6或n6*nNn6.展开式中二项式系数最大的项为第四项，333234即T4=C6(x)()160x.4x33r（2）展开式的通项公式为：T=Cr2r(x)4,(r0,1,...,6)，r16k6k2kk3kTC(x)()C23展开式的通项公式为：k1646k4，xx3k3当k0时，33，此时为有理项T1x，43k9当k1时，3，此时不是有理项，443k3当k2时，3，此时不是有理项，423k3当k3时，3，此时不是有理项，443k当k4时，30，此时为有理项T5240，43k3当k5时，3，此时不是有理项，44 3k3当k6时，3，此时不是有理项，423展开式中的有理项为x和240．【点睛】本题主要考查二项式定理?有理项等基础知识，考查观察能力?运算求解能力?推理能力和函数与方程思想，属于中档题.n2242．已知x的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为.2x7（1）求n值；（2）求展开式中的常数项.【答案】（1）n10；（2）180.【分析】（1）先求得二项式展开式的通项公式，根据第4项的系数与第5项的系数之比列方程，解方程求得n的值.（2）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.【详解】rn5rnr1rrrr（1）2Tr1Cnx222Cnx，xn15所以332，T42Cnxn20442，T52Cnx332Cn2所以44，2Cn7解得n10；rn5rnr1rrrr2（2）TCx22Cx，其中n10，r1n2nx105r令0，解得r2，222所以展开式中的常数项为2C10180.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题. 3n*43．已知二项式(xx)(nN，n15)（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在2的条件下写出它展开式中的有理项.n765【答案】（1）2；（2）n14；（2）T1x，T73003x，T1391x．【分析】（1）由二项式系数即为该项的系数，再由二项式系数的性质，即可得到；（2）由展开式中的通项，得到各项的二项式系数，再由等比数列的性质，结合组合数公式，化简整理，解方程即可求出n；（3）写出通项，化简整理，判断r是6的倍数，又0r14，列举出所有的有理项即可．【详解】n3解：（1）二项式xx展开式中各项系数之和就是二项式展开式中各项的二项式系数之和012nn二项式展开式中各项系数之和为CnCnCnCn2，89108109（2）展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是Cn，Cn，Cn，依题意得CnCn2Cn，n!n!n!写成28!(n8)!10!(n10)!9!(n9)!化简得90(n9)(n8)210(n8)，2即：n37n3220，解得n14或n23；因为n15，所以n1414rr42r（3）展开式的通项为r23r6，Tr1C14xxC14x展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0r14，展开式中的有理项共3项是r0，r6，r12，0776661255展开式中的有理项是T1C14xx，T7C14x3003x，T13C14x91x．【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，注意运用通项公式求某一项，区别二项式系数与某一项的系数，注意隐含条件的运用，考查组合数的公式及指数的运算，属于中档题．mn44．已知fx1x12x（m，n均为大于1的整数）展开式中x的系数为11，且m，4，n成 等差数列.求：2（1）x的系数；（2）fx展开式中x的奇数次幂项的系数之和.【答案】（1）22；（2）30.【分析】x的系数为11，且m，4，n成等差数列求出m5，n3，再用赋值法即可求解.【详解】11解：（1）；Cm2Cn11，所以m2n11，又mn8，解得m5，n3，22222此时x的系数为Cm4CnC5+4C322；（2）由（1）m5，n3，5325所以fx1x12xa0a1xa2xa5x，53从而f123a0a1a5，f101a0a1a2a3a4a5，1所以a1a3a5f1f130，2即奇数次幂项的系数之和为30.【点睛】考查二项展开式中指定项的系数以及系数之和，基础题.22n45．已知(3＋3x)的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：x(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．2226【答案】（1）T90x6,T270x3；（2）T405x3．345【分析】试题分析：解题思路：（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出n值，利用二项式系数的性质求展开式中 rrr－1r－13C3C，55二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用{进行求解.rrr1r13C53C5，226规律总结：解决二项式定理问题，要区分二项式系数与各项系数，如43243的二项T5C5(x)(3x)405x4式系数为C55,系数为405.【详解】n2n试题解析：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)＝2.n又展开式中二项式系数和为2，2nn；2－2＝992，n＝52232263(1)；n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，；T3＝C5(3)(3x)＝90x，T4＝C5x222223(3)(3x)＝2703xx(2)设展开式中第r＋1项系数最大，r25－r2rrr104r则Tr＋1＝C5(3)(3x)＝3C53，xxrrr－1r－13C53C5，79；{≤r≤，；r＝4，rrr1r13C53C5，22236424即展开式中第5项系数最大，T5＝C5(3)(3x)＝4053.xx考点：二项式定理.