2022年高考数学一轮复习讲练测2.7 函数与方程（新高考·浙江）（练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第二章函数专题2.7函数与方程（练）【夯实基础】1.（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在R上单调递减,,,所以零点所在的大致区间为故选:D2．（2021·河南高一期中（文））函数的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】在同一坐标系中画出两个函数的图像可得它们交点的个数，此数即为函数零点的个数.【详解】函数零点的个数就是与的图像交点的个数，在同一直角坐标系中作图，如下，它们共有5个不同的交点，故零点的个数为5，故选：C.28/28 3.（2021·陕西西安市·高三其他模拟（文））函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用函数和的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断．【详解】解：函数，画出与的图象，如下图：当时，，当时，，函数的零点所在的区间是．故选：D．4．（2021·湖南高三三模）已知，则下列说法正确的是（）28/28 A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】C【解析】分别作出的图象，结合选项逐一分析，可得答案．【详解】分别作出的图象，选项A，当时，，交点为，此时在上方，，错误；选项B，当时，，交点为，此时在上方，，错误；选项C，当时，，交点为，此时在下方，，正确；选项D，当时，为点，此时在上方，错误；故选：C5．（2021·北京高三二模）“是”“函数有且只有一个零点”的（）28/28 A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当时，令，则，，当时，有一个零点为1，函数只有一个零点，当时，无零点，即或，当时，，或，是函数只有一个零点的充分不必要条件，故选：A.6．（湖北高考真题）方程的实数解的个数为_____________.【答案】2【解析】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.7．（湖南高考真题（文））若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【详解】函数有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么28/28 8.（安徽高考真题）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为.【答案】【解析】时取得最小值．即函数的图像的最低点为．当时，由数形结合可知此时直线与的图像必有两个交点，故舍；当时，要使直线与的图像只有一个交点，则有直线必过点，即，解得．综上可得．9．（2021·全国高三其他模拟（文））方程的实数根的个数为___________.【答案】【解析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象可得答案.【详解】显然不是方程的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数28/28 的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，故答案为：.10．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知函数，若仅有两个不同零点，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】画出分段函数的图象，利用函数零点的个数，判断a的范围即可.【详解】函数的图象如下：函数仅有两个不同零点，可转化为函数与函数28/28 的图象有2个交点，由图可知.故答案为：.【提升能力】1．（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】当x2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+52;当0≤x≤2时f(x)=2−|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,f(x)=(x−2)2,f(2−x)=2−|2−x|=4−x,函数f(x)−g(x)=(x−2)2+4−x−3=x2−5x+5大于2的零点为x=5+52,综上可得函数y=f(x)−g(x)的零点的个数为2.故选A.2.（2018·全国高考真题（理））已知函数f(x)=ex，x≤0，lnx，x>0，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数f(x)的图像，y=ex在y轴右侧的去掉，再画出直线y=−x，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)=−x−a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足−a≤1，即a≥−1，故选C.28/28 3.（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先讨论，在时，利用分离参数的思想，画出的图像，利用数形结合判断出答案.【详解】当时，，故不是方程的根，当时，由得，，方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，作出函数的大致图像如图所示，28/28 由图可知，或.故选：C.4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数，当时，有，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象，求出的取值范围，由此可得出的取值范围.【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示：设，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，由，解得，因为，因此，.故选：B.5.（2021·全国高三其他模拟）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（）28/28 A．B．C．D．【答案】A【解析】分段函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且有一个零点，在(-∞，1]上用数形结合法探讨有一个零点即可得解.【详解】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.故选：A6．（2021·浙江绍兴市·高三二模）已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（）A．，且B．，且C．，且D．，且【答案】B【解析】首先分别求出每一段的零点，再对进行分类讨论，根据已知建立不等式组，进而求得结果.【详解】28/28 ，若，则或，若，则；①当时，与一定是函数的零点，满足题意；②当时，可能的零点是与，因为至少存在两个零点，所以，而，所以.故选：B.7．（2021·新疆布尔津县高级中学高三三模（文））已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数，则的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】由题设知的零点可转化为与的交点问题，而且周期为2，关于y轴对称的函数；且关于y轴对称，当时有，画出的草图即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.【详解】由题意知：关于对称，而的零点即为的根，又∵在上的偶函数，知：且周期为2，关于y轴对称的函数，而时且关于y轴对称28/28 ∴与在的图象如下，∴共有4个交点，由偶函数的对称性知：在上也有4个交点，所以共8个交点.故选：C.8．（2021·黑龙江哈尔滨市·高二期中（理））已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方程左边先进行因式分解得，作出函数的图象如图所示，可得，解不等式即可得到答案；【详解】,或，作出函数的图象如图所示，当，，28/28 ，解得：，故选：A.9．（2021·北京高三二模）已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（）A．B．C．D．无数【答案】B【解析】分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示：28/28 由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意；当时，，如下图所示：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，由题意可得，解得；若，则，如下图所示：函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，此时无解.综上所述，.28/28 故选：B.10．（山东高考真题（理））已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】【解析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，，又，所以，8是函数的一个周期，所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，，所以，故答案为：【拓展思维】1．（2020·全国高考真题（理））若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.【详解】设，则为增函数，因为28/28 所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.2．（2021·浙江湖州市·高三二模）“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】数形结合，探讨出“关于的方程有解”的充要条件，再由必要不充分条件的意义即可得解.【详解】关于的方程有解，等价于函数与的图象有公共点，函数的图象是以原点为圆心，1为半径的上半圆，y=|x-m|的图象是以点(m，0)为端点，斜率为且在x轴上方的两条射线，如图：y=x-m与半圆相切时，点(m，0)在B处，，y=-x+m与半圆相切时，点(m，0)在A处，，28/28 当y=|x-m|的图象的顶点(m，0)在线段AB上移动时，两个函数图象均有公共点，所以“关于的方程有解”的充要条件是，B不正确；因，，即是的必要不充分条件，A正确；，，即是的充分不必要条件，C不正确；，，即是的不充分不必要条件，C不正确.故选：A.3．（2021·山东济宁市·高三二模）已知函数，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由得到，把转化为，利用函数单调性求出最小值.【详解】函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标分别为a、b，不妨设.28/28 由可得：，解得：，所以记，任取，则。因为，所以，所以，所以则在上单调递减，所以故选：C4．（2021·浙江高二期末）已知，函数，则方程的实根个数最多有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】以的特殊情形为突破口，解出或或；或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得或，作出函数，的图像，如下：28/28 且，①当时，，故方程的实数根个数为2；②当时，或，故方程的实数根个数为；③当时，或或，故方程的实数根个数为6；④当时，或或，故方程的实数根个数为5；⑤当时，或，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，故方程的实数根个数为；⑦当时，或，28/28 故方程的实数根个数为4；综上可知，则方程的实根个数最多有6个，故选：A5．（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，28/28 令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.6.（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，，都有.其中正确的命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】A【解析】28/28 对于①，利用奇偶性求时的解析式即可判断；对于②，直接求出零点即可判断；对于③，直接解不等式，得到解集即可判断；对于④，用导数判断单调性，结合图象求出的值域即可判断.【详解】解：函数定义在上的奇函数，当时，，下面逐一判断：对于①，当时，则，所以，整理得，故①正确；对于②，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故②错误；对于③，当时，则的解集为；当时，的解集为；当时，成立.故的解集为，故③错误；对于④，当时，，所以时，有，时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时取得最小值，且时，，时，所以，即，可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，综上时，值域为，当时，值域为，而所以的值域为.28/28 故，，都有，即，故，即④正确.故选：A.7.（2021·奉新县第一中学高三三模（文））已知函数若方程的实根之和为6，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出图象，求方程的实根之和为6，即求与图象交点横坐标之和为6，分别讨论a=1、、a=2、、和a=4时图象与图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示求方程的实根之和为6，即求与图象交点横坐标之和为6，当a=1时，图象与图象只有一个交点（3,1），不满足题意；当时，图象与图象有2个交点，且从左至右设为，由图象可得关于x=3对称，所以，即，满足题意；当a=2时，图象与图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，28/28 设与图象另外两个交点为，由图象可得关于x=3对称，所以，即，满足题意；当时，图象与图象有4个交点，从左至右设为，，由图象可得关于x=0对称，所以，关于x=3对称，所以，即，满足题意；当时，图象与图象有3个交点，由图象可得不满足题意；当a=4时，图象与图象有2个交点，由图象可得不满足题意；综上：的取值范围为.故选：A8．（2021·安徽合肥市·高三三模（文））若函数只有一个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题意等价于函数有且只有一个交点，当时判断两函数的单调性从而确定其在上的交点个数，再判断时两函数的交点个数，利用排除法确定正确答案.【详解】法一：函数只有一个零点等价于方程只有一个解，令，根据题意函数有且只有一个交点，当时，函数在上单调递减，且，函数在上单调递增，且，28/28 此时函数有且只有一个交点，满足题意，排除C、D选项；令，函数，作出图像如图所示：根据图像可知函数在上有两个交点，即不合题意，而，故排除A选B.法二：函数只有一个零点等价于方程即方程只有一个解，令，，根据题意两函数在上有且仅有一个交点，，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，作出图像如图所示：若要函数在上有且仅有一个交点，则需或，28/28 ，，.故选：B9．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知函数是上的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在内单调递增C．函数相邻两个对称中心的距离为D．函数在区间内有个零点【答案】D【解析】根据已知关系式可推导得到，知A错误；由周期性、奇偶性和函数在上的解析式可得图象，通过图象可判断出BC错误；将零点个数问题转化为与交点个数问题，通过数形结合的方式可确定结果，知D正确.【详解】由得：，最小正周期为，A错误；当时，，又为上的奇函数，则，可得大致图象如下图所示：28/28 由图象可知：在上没有单调性，B错误；的对称中心为，则相邻的对称中心之间距离为，C错误；在区间内的零点个数等价于与在内的交点个数，在平面直角坐标系中画出与大致图象如下图所示：由图象可知：与在每个内都有个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于，两个函数在内有个交点，即在区间内有个零点，D正确.故选：D.10．（2021·天津高三二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________.【答案】或【解析】①分别画出两段函数的图像，分析单调性可求出范围；②函数恰有5个的零点，令，即等价于有个解，共有五个解，分析情况可知有两个解，，由这两个解的范围观察图像可得出的范围.【详解】解：①，当时，，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；28/28 若函数在区间上单调递增，则或解得：或.②若函数恰有5个的零点，令，由图像可知：，有可能有1个，2个，3个解，若有五个解，则有两根，且，或.当，时，不存在当，时.故答案为：或；.28/28