2022年高考数学小题多维练课时16 指数方程、对数方程 解析版

课时16指数方程、对数方程（基础题）一、单选题学科网（北京）股份有限公司 1．（2019·上海浦东新·高三期末）若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分也非必要条件学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【分析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.【详解】解：当，即时，，故命题甲可推出命题乙；学科网（北京）股份有限公司 当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲,故命题甲是命题乙的充分非必要条件，故选：A.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．（2020·上海高三专题练习）若是方程式的解，则属于区间（）A．（0，1）B．（1，1.25）学科网（北京）股份有限公司 C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）【答案】D【详解】设学科网（北京）股份有限公司 ，则学科网（北京）股份有限公司 属于区间（1.75，2）,故选D二、填空题3．（2017·上海徐汇区·位育中学高三期中）方程的解集是_______.学科网（北京）股份有限公司 【答案】或【分析】将方程转化为，结合对数真数的取值范围，求得方程的解.【详解】原方程可化为，故，解得或.学科网（北京）股份有限公司 故答案为或.【点睛】本小题主要考查对数方程的解法，属于基础题.4．（2020·上海杨浦·）方程的解为____________.学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】根据对数的运算及性质可得：，结合真数位置大于即可求解.【详解】由可得，学科网（北京）股份有限公司 所以，即，解得：或，因为且，所以，学科网（北京）股份有限公司 所以方程的解为：故答案为：.5．（2018·上海）方程的解________.学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】由对数的运算有可得,即,求解方程,再根据对数的真数大于,即可得出的解.【详解】解：因为学科网（北京）股份有限公司 ,解得或,学科网（北京）股份有限公司 又因为对数的真数大于0,即,所以.学科网（北京）股份有限公司 故答案为：【点睛】本意考查对数的运算和对数的定义,属于基础题.6．（2018·上海市宜川中学高三期中）方程的解为_____.学科网（北京）股份有限公司 【答案】8【分析】根据对数性质求解【详解】学科网（北京）股份有限公司 故答案为：8【点睛】本题考查解对数方程，考查基本求解能力，属基础题.7．（2018·上海市嘉定区封浜高级中学）方程的解=__________．学科网（北京）股份有限公司 【答案】-1分析：由对数方程，转化为指数方程，解方程即可.详解：由log2（1﹣2x）=﹣1可得（1﹣2x）=，学科网（北京）股份有限公司 解方程可求可得，x=﹣1故答案为:﹣1点睛：本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数与指数的转化，属于基础题.学科网（北京）股份有限公司 8．（2020·上海交大附中高三月考）方程的解为______.【答案】2.【分析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.学科网（北京）股份有限公司 【详解】方程等价于，所以，解得.故答案为：2.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．（2020·上海崇明·高三月考）方程的解为______.【答案】学科网（北京）股份有限公司 【分析】利用对数的运算性质得出，然后将对数式化为指数式，结合真数大于零可解出的值.【详解】，所以，，解得.学科网（北京）股份有限公司 因此，方程的解为.故答案为.【点睛】本题考查对数方程的解，解题时要充分利用对数的运算性质，还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.学科网（北京）股份有限公司 10．（2020·上海崇明·高三月考）已知指数函数，方程的解集为，则的值为________【答案】【分析】代入可得，则，解方程，可求出，则可求.学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：当时，，即，解得，又且，，故，学科网（北京）股份有限公司 ，，或学科网（北京）股份有限公司 解得，即，.故答案为：.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查指数函数的概念，考查含绝对值的指数方程的求解，是基础题.11．（2020·上海南汇中学）若，则__________.【答案】2学科网（北京）股份有限公司 【分析】将看成一个整体可得，从而可求出.【详解】解：，因为，所以，解得，故答案为:2.学科网（北京）股份有限公司 三、解答题12．（2020·上海高三专题练习）解下列对数方程：学科网（北京）股份有限公司 （1）；（2）.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）原方程可化为，从而可得，解方程即可得解；学科网（北京）股份有限公司 （2）两边同取以10为底的对数，得，化简得，解方程即可得解.【详解】（1）原式可化为：，再化为，学科网（北京）股份有限公司 即，也即，整理得：，解方程，得，，学科网（北京）股份有限公司 经检验：是原方程增根，所以原方程的根是；（2）两边同取以10为底的对数，得，即，∴，即.学科网（北京）股份有限公司 解方程，得或，所以或，经检验：，都是原方程的解.【点睛】本题考查对数方程的解法，解对数方程的常用方法是利用成立的充要条件：且，，转化为一般方程，但要注意验根，属于常考题.学科网（北京）股份有限公司 13．（2019·上海市第四中学高三期中）设函数，．（1）求其反函数；（2）解方程．学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）【分析】（1）先求原函数值域，再根据对数式与指数式关系求反函数；（2）设，将方程转化为一元二次方程，再求解，最后解指数方程得结果.学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）因此学科网（北京）股份有限公司 （2）设，则（负值舍去）【点睛】本题考查反函数以及解指数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.学科网（北京）股份有限公司 （能力题）一、填空题学科网（北京）股份有限公司 1．（2019·上海市进才中学）方程的解______.【答案】2【分析】首先根据对数的真数大于零得到：，然后根据对数运算法则可知：，据此求解出的值.学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为，所以；又因为，所以，所以，解得：或，又因为，所以.故答案为.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】解对数方程时，第一步应该根据对数式的真数大于零先确定未知数的范围，然后再利用对数的运算性质对方程进行化简，最后完成求解.2．（2016·浦东新·上海师大附中高三期中）方程的解为______.【答案】或.学科网（北京）股份有限公司 【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程，求得的值，进一步求得值得答案.【详解】由，得，学科网（北京）股份有限公司 即，化为，解得：或，学科网（北京）股份有限公司 或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.学科网（北京）股份有限公司 3．（2016·上海高三一模（理））方程的解为__________.【答案】【分析】利用换底公式及对数的运算性质,将方程转化为一元二次方程形式,即可解方程得解.学科网（北京）股份有限公司 【详解】方程由对数的换底公式化简可得所以学科网（北京）股份有限公司 由对数的运算性质可得即,且展开化简可得学科网（北京）股份有限公司 解方程可得或因为当时不成立.当时成立学科网（北京）股份有限公司 综上可知,方程的解为故答案为:【点睛】本题考查了对数换底公式的应用,对数运算性质的用法,注意对数的真数大于0这一限制条件,属于基础题.学科网（北京）股份有限公司 二、解答题4．（2018·上海曹杨二中）已知.学科网（北京）股份有限公司 （Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；（Ⅱ）当时,若,求的值；（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）既不是奇函数,也不是偶函数；（Ⅱ）或；（Ⅲ）当时,学科网（北京）股份有限公司 的取值范围是；当时,的取值范围是；当时,的取值范围是.试题分析：（Ⅰ）对函数奇偶性的判断，一定要结合函数特征先作大致判断，然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明.当时,，从解析式可以看出它既不是奇函数,也不是偶函数.对既不是奇函数,也不是偶函数的函数，一般取两个特殊值说明.学科网（北京）股份有限公司 （Ⅱ）当时,,由得，这是一个含有绝对值符号的不等式，对这种不等式，一般先分情况去绝对值符号.这又是一个含有指数式的不等式，对这种不等式，一般将指数式看作一个整体，先求出指数式的值，然后再利用指数式求出的值.（Ⅲ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，分离参数比较容易.分离参数时需要除以，故首先考虑的情况.易得时,取任意实数,不等式恒成立.,此时原不等式变为；即，这时应满足：学科网（北京）股份有限公司 ，所以接下来就求的最大值和的最小值.在求这个最大值和最小值时，因数还有一个参数，所以又需要对进行讨论.试题解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数∵,∴学科网（北京）股份有限公司 所以既不是奇函数,也不是偶函数3分（Ⅱ）当时,,由得即或学科网（北京）股份有限公司 解得所以或8分（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,学科网（北京）股份有限公司 故只需考虑,此时原不等式变为；即故又函数在上单调递增,所以;学科网（北京）股份有限公司 对于函数①当时,在上单调递减,,又,所以,此时的取值范围是学科网（北京）股份有限公司 ②当,在上,,当时,,此时要使存在,必须有即,此时的取值范围是学科网（北京）股份有限公司 综上,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是;当时,的取值范围是13分学科网（北京）股份有限公司 考点：1、函数的奇偶性和单调性；2、函数的最值；3、不等关系.5．（2016·上海高三二模（文））已知函数（）（Ⅰ）当时，求解方程；学科网（北京）股份有限公司 （Ⅱ）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）=1时，为偶函数；时，函数为奇函数；时，为非奇非偶函数【详解】（Ⅰ）当时，由，得．学科网（北京）股份有限公司 令，则原方程可化为，解得，或（舍去），所以，．（Ⅱ）函数的定义域为R，当=1时，，，函数为偶函数；学科网（北京）股份有限公司 当=﹣1时，，，函数为奇函数；当时，,，此时且，所以此时函数为非奇非偶函数．学科网（北京）股份有限公司 考点：函数奇偶性的判断6．（2017·上海市宜川中学高三月考）已知的图像关于坐标原点对称.（1）求的值；学科网（北京）股份有限公司 （2）若函数在内存在零点，求实数的取值范围；（3）设，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数的值.【答案】（1）（2）（3）学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据函数的图像关于坐标原点对称，可得是定义在的奇函数，图像必过原点，即，即可求出值．（2）函数在内存在零点，方程在内有解，分析在的单调性以及端点值的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论．学科网（北京）股份有限公司 （3）由不等式在上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的的范围，进而求出最小整数的值．【详解】解：（1）由题意知是上的奇函数，∴，得．（2），学科网（北京）股份有限公司 由题设知在内有解，即方程在内有解．∴在内单调递增，∴；故当时，函数在内存在零点．学科网（北京）股份有限公司 （3）由，得，，显然时，，即．设，由于，；学科网（北京）股份有限公司 于是，；故满足条件的最小整数的值是．【点睛】本题考查了奇函数的特征、零点存在定理以及求函数的值域，此题运用了化归与转化思想，综合性比较强．学科网（北京）股份有限公司 7．（2020·上海）已知函数其中为实常数.（1）若,解关于的方程;（2）判断函数的奇偶性,并说明理由.学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）或（2）答案见解析【分析】（1）因为,,可得,故,因为,即,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为,分别讨论为奇函数和为偶函数,即可求得答案.学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）,,即解得:学科网（北京）股份有限公司 可得:学科网（北京）股份有限公司 令(),即:解得:或学科网（北京）股份有限公司 即:,或.（2）函数定义域为,学科网（北京）股份有限公司 ①当为奇函数时,根据奇函数性质可得恒成立学科网（北京）股份有限公司 即恒成立,.②当为偶函数时,学科网（北京）股份有限公司 根据偶函数性质可得恒成立即恒成立,学科网（北京）股份有限公司 .③当时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.学科网（北京）股份有限公司 8．（2016·上海市风华中学高三期中）设，函数为奇函数．（1）求函数的零点；（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知得，证明其为奇函数，求出的解析式，令，求解，即可得出结论；（2）求出，根据对数函数的单调性，将不等式转化为有关真数不等式恒成立，分离参数，转化为学科网（北京）股份有限公司 与函数最值关系，即可求解.【详解】（1）函数为奇函数，，解得，此时，为奇函数，，学科网（北京）股份有限公司 令，解得，或（舍去），，函数的零点为；（2）令，学科网（北京）股份有限公司 ，不等式在区间上恒成立，即，恒成立，学科网（北京）股份有限公司 恒成立，故，所以所以实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性必要条件的应用，减少计算量，考查函数零点的求解，以及函数恒成立与函数最值求解的相互转化，属于中档题.学科网（北京）股份有限公司 9．（2020·上海）已知关于x的方程有实根，求实数a的取值范围.【答案】【分析】原方程可化为，进而转化为有解，利用基本不等式求得最值，即可求解.学科网（北京）股份有限公司 【详解】原方程可化为，所以（其中），因为，学科网（北京）股份有限公司 又因为，所以，所以，所以.故答案为：学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查了对数的运算的性质，以及利用基本不等式求最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.（真题/新题）学科网（北京）股份有限公司 一、填空题1．（2021·上海）已知函数（，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．【答案】学科网（北京）股份有限公司 【分析】函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.【详解】与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，则的图像经过点，所以，学科网（北京）股份有限公司 即，解得.故答案为：.【点睛】函数与其反函数的图象关于直线对称.学科网（北京）股份有限公司 2．（2021·上海高三二模）方程的解___________．【答案】4【分析】根据对数的定义可得．学科网（北京）股份有限公司 【详解】由得，所以．故答案为：4．3．（2021·上海高三二模）方程的解集为__________.学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】对变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可．【详解】，学科网（北京）股份有限公司 即：，令，则方程可化为，解得：或，学科网（北京）股份有限公司 或或方程的解集是：学科网（北京）股份有限公司 故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键一是对数运算性质及转化思想，二利用换元方法求解．4．（2021·宝山·上海交大附中高三期末）方程的解集为___________.学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】根据对数的运算性质得出，解方程即可.【详解】因为学科网（北京）股份有限公司 得所以所以学科网（北京）股份有限公司 化简得解得或经检验或都满足题意，学科网（北京）股份有限公司 所以原方程的解集为.故答案为：5．（2007·上海高考真题（理））方程的解是______________学科网（北京）股份有限公司 【答案】【详解】（舍去），．学科网（北京）股份有限公司 6．（2009·重庆高考真题（文））记的反函数为，则方程的解___________．【答案】2【详解】解法1由，得，即，于是由，解得学科网（北京）股份有限公司 解法2因为，所以．7．（2015·上海高考真题（文））方程的解为___________.【答案】2学科网（北京）股份有限公司 【解析】依题意，所以，令，所以，解得或，当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；学科网（北京）股份有限公司 当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解.考点：对数方程.学科网（北京）股份有限公司 二、解答题8．（2021·上海金山·高三二模）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．（1）若函数为“函数”，求实数的值；学科网（北京）股份有限公司 （2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）1.学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）由题意可得，根据解析式即可求解.（2）由题意可得，根据解析式整理可得，讨论或，使方程有根即可求解.（3）根据函数，求出，，设，从而可得，得出学科网（北京）股份有限公司 ，构造函数，使其在区间上单调递增即可.【详解】解：（1）由为“函数”，得即，解得，故实数的值为；（2）由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，学科网（北京）股份有限公司 使得，，即；由，得，整理得.学科网（北京）股份有限公司 ①当时，，符合题意；②当时，由，即，解得且；学科网（北京）股份有限公司 综上，实数的取值范围是；（3）由为“函数”，得，即，从而，，学科网（北京）股份有限公司 不妨设，则由，即，得，令，则在区间上单调递增，学科网（北京）股份有限公司 又，如图，可知，故实数的最大值为1.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，对于（3）将问题转化为在区间上单调递增，考查了分析能力、转化能力.学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司