2022年高考数学二轮复习《数列求和》通关练习卷（解析版）

2022年高考数学二轮复习《数列求和》通关练习卷一、选择题在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan=2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)A.76B.78C.80D.82【答案解析】答案为：B；解析：由已知an＋1＋(－1)nan=2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1an＋1=2n＋1，得an＋2＋an=(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n=1,5,9及n=2,6,10，结果相加可得S12=a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12=78.故选B.已知在等差数列{an}中，a1=120，公差d=－4.若Sn≤an(n≥2)，其中Sn为该数列的前n项和，则n的最小值为(　　)A.60　　B.62　　　C.70D.72【答案解析】答案为：B解析：由题意得an=120－4(n－1)=124－4n，Sn=120n＋×(－4)=122n－2n2.由Sn≤an，得122n－2n2≤124－4n，即n2－63n＋62≥0，解得n≥62或n≤1(舍去).故选B.已知等差数列{an}满足a3=7，a5＋a7=26，bn=(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为(　　)A.B.　C.D.【答案解析】答案为：C解析：在等差数列{an}中，a5＋a7=2a6=26⇒a6=13.又数列{an}的公差d===2，所以an=a3＋(n－3)·d=7＋(n－3)×2=2n＋1，那么bn===，故Sn=b1＋b2＋…＋bn=⇒S100==.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2=2an＋1－an，a5=4－a3，则S7=(　　)A.7B.12　　C.14D.21【答案解析】答案为：C解析：由an＋2=2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5=4－a3得a5＋a3=4=a1＋a7，所以S7==14.在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1=2，且a1a5=64，则数列{}的前n项和是(　　)A.1－B.1－C.1－D.1－【答案解析】答案为：A.解析：∵数列{an}为等比数列，an>0，a1=2，a1a5=64，∴公比q=2，∴an=2n，==－.设数列{}的前n项和为Tn， 则Tn=1－＋－＋－＋…＋－=1－，故选A.已知数列{an}的通项公式是an=2n－3n，则其前20项和为(　　)A.380－　B.400－C.420－D.440－【答案解析】答案为：C；解析：令数列{an}的前n项和为Sn，则S20=a1＋a2＋…＋a20=2(1＋2＋…＋20)－3=2×－3×=420－.已知等比数列{an}中，a2·a8=4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于(　　)A.9B.18C.36D.72【答案解析】答案为：B；解析：∵a2·a8=4a5，即a=4a5，∴a5=4，∴a5=b4＋b6=2b5=4，∴b5=2.∴S9=9b5=18，故选B.已知数列{an}满足a1=1，an＋1·an=2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2020=(　　)A.22020－1B.3×21010－3C.3×21010－1D.3×22020－2【答案解析】答案为：B；解析：依题意得an·an＋1=2n，an＋1·an＋2=2n＋1，于是有=2，即=2，数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列，于是有S2020=(a1＋a3＋a5＋…＋a2019)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2020)=＋=3×21010－3，故选B.数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)A.n2＋1－B.2n2－n＋1－C.n2＋1－D.n2－n＋1－【答案解析】答案为：A；解析：该数列的通项公式为an=(2n－1)＋，则Sn=[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋=n2＋1－.定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”.若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则＋＋…＋=(　　)A.B.C.D.【答案解析】答案为：C；解析：依题意有=，即数列{an}的前n项和Sn=n(2n＋1)=2n2＋n， 当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn－Sn－1=4n－1，a1=3满足该式.则an=4n－1，bn==n.因为==－，所以＋＋…＋=1－=.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an＋2－2an＋1＋an=0(n∈N*)，记Tn=＋＋…＋(n∈N*)，则T2018=(　　)A.B.C.D.【答案解析】答案为：C；解析：由an＋2－2an＋1＋an=0(n∈N*)，可得an＋2＋an=2an＋1，所以数列{an}为等差数列，公差d=a2－a1=2－1=1，通项公式an=a1＋(n－1)×d=1＋n－1=n，则其前n项和Sn==，所以==2，Tn=＋＋…＋=21－＋－＋…＋－=2=，故T2018==，故选C.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何.”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤.问此人总共持金多少.则在此问题中，第5关收税金(　　)A.斤B.斤C.斤D.斤【答案解析】答案为：B.解析：假设原来持金为x，则第1关收税金x；第2关收税金(1－)x=x；第3关收税金(1－－)x=x；第4关收税金(1－－－)x=x；第5关收税金(1－－－－)x=x.依题意，得x＋x＋x＋x＋x=1，即(1－)x=1，x=1，解得x=，所以x=×=.故选B.二、填空题已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为________.【答案解析】答案为：解析：设{an}的公比为q，由题意易知q＞0且q≠1.因为S1，S3，S4成等差数列， 所以2S3=S1＋S4，即=a1＋，解得q=.已知数列{an}的前n项和Sn=n2＋n＋1，则数列{}的前n项和Tn=________.【答案解析】答案为：－.解析：∵数列{an}的前n项和Sn=n2＋n＋1，∴Sn－1=n2－n＋1(n≥2)，两式作差得到an=2n(n≥2).故an=∴==－(n≥2)，∴Tn=＋－＋－＋…＋－=－.已知数列{an}满足a1=1，an＋1·an=2n(n∈N*)，则S2018=.【答案解析】答案为：3·21009－3.解析：∵数列{an}满足a1=1，an＋1·an=2n，①∴n=1时，a2=2，n≥2时，an·an－1=2n－1，②由①÷②得=2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2018=＋=3·21009－3.已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243，且2a3为3a2和a4的等差中项.若数列{bn}满足bn=log3an＋2(n∈N*)，则数列{an＋bn}的前n项和Sn=________.【答案解析】答案为：＋.解析：由前5项积为243得a3=3.设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，由2a3为3a2和a4的等差中项，得3×＋3q=4×3，由公比不为1，解得q=3，所以an=3n－2，故bn=log3an＋2=n，所以an＋bn=3n－2＋n，数列{an＋bn}的前n项和Sn=3－1＋30＋31＋32＋…＋3n－2＋1＋2＋3＋…＋n=＋=＋.三、解答题已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3＋a4＋a5=28，a4＋2是a3，a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式.【答案解析】解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5=2a4＋4，所以a3＋a4＋a5=3a4＋4=28，解得a4=8.由a3＋a5=20得8(q+)=20，解得q=2或q=，因为q＞1，所以q=2.(2)设cn=(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn=2n2＋n.由cn=解得cn=4n－1.由(1)可得an=2n－1，所以bn＋1－bn=(4n－1)×()n－1，故bn－bn－1=(4n－5)×()n－2，n≥2，bn－b1=(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)=(4n－5)×()n－2＋(4n－9)×()n－3＋…＋7×＋3. 设Tn=3＋7×＋11×()2＋…＋(4n－5)×()n－2，n≥2，Tn=3×＋7×()2＋…＋(4n－9)×()n－2＋(4n－5)×()n－1，所以Tn=3＋4×＋4×()2＋…＋4×()n－2－(4n－5)×()n－1，因此Tn=14－(4n＋3)×()n－2，n≥2，又b1=1，所以bn=15－(4n＋3)×()n－2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an＋1=3Sn＋1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn为数列{n＋an}的前n项和，求Tn.【答案解析】解：(1)由an＋1=3Sn＋1，得当n≥2时，an=3Sn－1＋1，两式相减，得an＋1=4an(n≥2).又a1=1，a2=4，=4，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{an}的通项公式是an=4n－1(n∈N*).(2)Tn=(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋an)=(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)=＋=＋.已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an=(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.【答案解析】解：(1)当n=1时，a1=.因为a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＋4n－1an=，①所以a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1=(n≥2，n∈N*)，②①－②得4n－1an=(n≥2，n∈N*)，所以an=(n≥2，n∈N*).当n=1时也适合上式，故an=(n∈N*).(2)由(1)得bn==，所以bnbn＋1==，故Tn===. 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，Sn=n2＋n(a1－1)(n∈N*)，且a1，a3－1，a5＋7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】解：(1)∵Sn=n2＋n(a1－1)，又Sn=na1＋d=n2＋n，∴d=2.又a1，a3－1，a5＋7成等比数列.∴a1(a5＋7)=(a3－1)2，即a1(a1＋15)=(a1＋3)2，解得a1=1，∴an=1＋2(n－1)=2n－1.(2)由(1)可得bn===，故Tn=b1＋b2＋…＋bn－1＋bn==.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4=9，a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】解：(1)由题设知a1a4=a2a3=8，又a1＋a4=9，可解得或(舍去).设等比数列{an}的公比为q，由a4=a1q3，得q=2，故an=a1qn－1=2n－1，n∈N*.(2)Sn==2n－1，又bn===－，所以Tn=b1＋b2＋…＋bn=＋＋…＋=－=1－，n∈N*.设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2=4，a3－a2=6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=log3an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋0，∴q=3，a1=1，∴an=1×3n－1=3n－1，即数列{an}的通项公式为an=3n－1.(2)证明：由(1)知bn=log3an＋1=log33n=n，∴b1=1，bn＋1－bn=n＋1－n=1，∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列，∴Tn=，则==2(－)， ∴＋＋…＋=2(－＋－＋…＋－)=2(1－)