学科网（北京）股份有限公司备战2022年高考数学核心考点专题训练专题9函数的综合一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知定义在R上的函数的函数，满足的1ͳ函数的1函数，当函1䁧ͳ数时，的函数1函䁧函1䁧ǡ数݊函䁧函1函1，则函数的函数的图象与函数的函数的图象在区间䁧䁩上所有的数䁧函ǡ䁧ͳ数ln的函数䁧函1交点的横坐标之和为的数A.5B.6C.7D.9【答案】C【解析】解：根据题意，函数的函数满足的1ͳ函数的1函数，则的函数的图象关于直线函1对称，݊函䁧函1而函数的函数的图象也关于直线函1对称，ln的函数䁧函1作出函数的函数和的函数图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和ǡͳ1䁩，故选：C．xͳ1䁧x1.已知函数的函数，则函数的函数的的函数数的零点个数是的数logx䁧xA.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】解：作出函数的函数的图象如图：1111当函时，由的函数得函ͳ1，即函1，111当函时，由的函数得log函，即函，11由的函数的的函数数得的的函数数，1则的函数或的函数，11若的函数，此时方程的函数有两个交点，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
若的函数，此时方程的函数只有一个交点，1则数的函数的的函数数的零点个数是3个，故选：B．函函ͳ䁧函11ǡ.已知，设函数的函数，若关于x的方程的函数函ͳ恰有两个互异的实݊函ͳ1䁧函1数解，则实数a的取值范围是的数ͳA.的䁧B.的䁧ͳ数ͳC.的䁧的，ͳ数D.的䁧数的䁧ͳ数【答案】D11【解析】解：当函1时，令݊函ͳ1函ͳ，则݊函ͳ函ͳ1，1因为݊函ͳ函为增函数，所以当该方程在函1时无实数根时，1ͳ1，所以，1时，函1时有一个解，所以函1时，函函ͳ函ͳ有一个解，11当函1时，函ͳ的数函ͳ是递减的，1ͳͳ，所以函1时有一个解，所以成立，11时，݊函ͳ1函ͳ在函1时无解，但函函ͳ函ͳ在函1时只有一个解，所以时不成立，11时，݊函ͳ1函ͳ在函1时无解，函1时，函函ͳ函ͳ，1所以函ͳ的数函ͳ，该方程要在函1时有2个解，1ͳ111ͳͳ，解得，11综上，a的范围为的䁧数的䁧ͳ数，故选：D．函ͳ䁧函.已知函数的函数的且1数在上单调递增，且关于x的方程的函数函ͳ1ͳlog函1䁧函ǡ恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是的数
学科网（北京）股份有限公司1ǡ1ǡ1ǡ1ǡǡǡǡ1ǡA.䁧B.䁧数C.的䁧数D.的䁧数1111【答案】A【解析】的函数是R上的单调递增函数，1ͳlog函1在的䁧上单调递增，可得1，1且ͳ1ͳ，即1，作出的函数和函ͳǡ的函数草图如图所示：由图象可知的函数函ͳǡ在的䁧ͳ数上有且只有一解，可得ǡ，或函ͳ函ͳǡ，即有1的ǡ数，1ǡ1ǡ即有或，11由1ͳlog函1，解得函1ǡ，即函时，有且只有一解，1ǡ1ǡ则a的范围是䁧.1故选：A．函䁧函䁧.设函数的函数对任意给定的的䁧ͳ数，都存在唯一的函，满足的的函数数ͳ函䁧函䁧，则正实数a的最小值是的数11A.4B.2C.D.【答案】D【解析】根据的函数的函数，我们易得出其值域为：R，又的函数函，的函数时，值域为的䁧1；的函数log函，的函数时，其值域为R，可以看出的函数的值域为的䁧1上有两个解，要想的的函数数ͳ，在的䁧ͳ数上只有唯一的函满足，必有的的函数数1的因为ͳ数，所以：的函数，解得：函，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
当函时，x与的的函数数存在一一对应的关系，ͳ1，的䁧ͳ数，且，所以有：的1数的ͳ1数，11解得：或者的舍去数，1，1，1所以正实数a的最小值是，故选D．函ͳ䁧函䁧1数函ͳ.已知定义在R上的函数的函数满足：的函数，且的函ͳ数的函数，的函数，函䁧函1䁧数函ͳ则方程的函数的函数在区间䁩䁧ǡ上的实根之和为的数A.䁩B.C.11D.1【答案】C函ͳ䁧函䁧1数【解析】的函数，且的函ͳ数的函数，函䁧函1䁧数函䁧函䁧1数的函数䁧函䁧函1䁧数函ͳ1又的函数，则的函数ͳ，函ͳ函ͳ1的函数，函当函1，时，上述两个函数都是关于的䁧数对称，由图象可得：方程的函数的函数在区间䁩䁧ǡ上的实根有5个，函1满足䁩函1，函满足函，函ǡǡ，函满足函1，函ͳ函，函满足函ǡ，函1ͳ函方程的函数的函数在区间䁩䁧ǡ上的所有实根之和为11．故答案为C．
学科网（北京）股份有限公司䁩.李冶的数，真定栾城的今属河北石家庄市数人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为.亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是的注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算数的数A.10步、50步B.20步、60步C.30步、70步D.40步、80步【答案】B【解析】由题意，设圆池直径为m步，方田边长为40步ͳ步．方田面积减去水池面积为1ǡ.䁩亩，．解得：，即圆池直径20步，那么：方田边长为40步ͳ步步．故选B8.对于函数的函数，的函数，设函的函数，函的函数，若存在，，使得，则称的函数，的函数互为“零点相邻函数”.若的函数函ͳ函ǡ与的函数函函互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是的数11A.的䁧数B.䁧11C.的䁧数的䁧ͳ数D.的䁧䁧ͳ数【答案】B【解析】解：函数的函数函ͳ函ǡ的零点为函，设函数的函数函函的零点为，的函数函ͳ函ǡ与的函数函函互为“零点相邻函数”，，，函数的函数函函在区间䁧上存在实数根，的数当，即时，，，解得：；的数1的数当，即时，，，解得：；的数1的数的数1当，即时，或，解得：；的数的数1综上所述，实数a的取值范围是：䁧，故选：B．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
函ǡ函ͳ9.设函数的函数ͳͳ函，若曲线䁪砀函上存在点的函䁧数，使得的的数数，则实数a函ͳ的取值范围是的数1ǡǡǡ11A.䁧B.䁧C.䁧D.䁧ǡǡ【答案】D函1函݊ͳ1ͳ1，故函数的函数单调递【解析】解：由题得的函数ͳͳǡͳ函，则㌳的函数函ͳ的函ͳ数增，因为的函䁧数在䁪砀函上，则1䁧1，已知的的数数，令的数䁕，则的䁕数，函ǡ函ͳ条件可转化为的函数图象与函存在交点，即ͳͳ函函，函ͳ函ǡ函ͳ函ǡ函ͳ所以ͳ，此时函1䁧1，且ͳ单调递增，函ͳ函ͳ1所以䁧，ǡ故选：D．10.已知函数的函数是定义在1䁧1上的偶函数，且的函ͳ数的函数，当函䁧时，的函数的函数函，若方程的函数的函数ͳ1有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为的数11A.B.1C.D.【答案】A【解析】解：的函ͳ数的函数，函数的函数的函ͳ数，即周期为4，而区间1䁧1内共有50个周期，方程的函数的函数ͳ1有300个不同的实数根，故每个周期内有6个不同的实根，不妨研究周期䁧内，又函数的函数为偶函数，的函数的函ͳ数，则函数的函数关于直线函对称，方程的函数的函数ͳ1在䁧内有三个不同的实数根，当函䁧时，的函数的函数函，㌳的函数的函1数函，当函的䁧1数时，的函数单减，当函的1䁧数时，的函数单增，的函数쳌݊的1数，的数，作出函数图象如图所示，
学科网（北京）股份有限公司设䁕的函数，则䁕䁕ͳ1，设的䁕数䁕䁕ͳ1，则䁕，而的数1，要使方程的函数的函数ͳ1在䁧内有三个不同的实数根，则函数的䁕数在的䁧数上必有一个根，的数ͳͳ11，解得．的数ͳͳ1故选：A．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）ǡ函䁧1函11.定义函数的函数，则函数的函数函的函数在区间1䁧内的所有零点的和为1函的数䁧函______．【答案】1.【解析】解：由题意，1函函ǡ当函时，的函数的数函ǡ；1函函当函时，的函数的数1ǡ；ǡ函䁧1函故的函数函ǡ䁧函；函1ǡ䁧函函数的函数函的函数在区间1䁧内的所有零点即函的函数在区间1䁧内的所有解；即的函数与的交点的横坐标，函作的函数与的图象如下，函ǡ故所有的零点为，3，6；ǡͳǡͳ1.；故答案为：1.．12.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧的法号：一行数为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法二次插值算法的又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
是比我国张隧晚了上千年数：对于函数的函数在函1䁧函䁧函ǡ函1函函ǡ处的函数值分别为1函1䁧函䁧ǡ函ǡ，则在区间函1䁧函ǡ上函可以用二次函数的函数1ͳ1函函1ͳ函1ǡ1函1函函来近似代替，其中1函䁧函䁧函.若令函1，函，函ǡ，请依据上函1ǡ函ǡ函1述算法，估算sin的近似值是____________．【答案】【解析】解：函数的函数sin函在函1，函，函ǡ处的函数值分别为1的数，的数1，ǡ的数，1ǡ1故1，，，函函1函ǡ函函ǡ函1故的函数函函的函数函ͳ函，即sin函函ͳ函，sin的数ͳ，故答案为：．13.若M、N两点分别在函数的函数与的函数的图象上，且关于直线函1对称，则称M、N是的函数函的函数与的函数的一对“伴点”的、N与N、M视为相同的一对数，已知的函数，的函数的函数的函数函ͳͳ1，若的函数与的函数存在两对“件点”，则实数a的取值范围为______．【答案】的ǡ䁧1ͳ数【解析】解：设曲线的函数关于函1的对称图象上的点为的函䁧数，的函䁧数关于函1的对称点为的函㌳䁧㌳数，函的函数函的函数则函㌳函，㌳，代入的函数，得的函数．的函数的函数的函ͳ数的函数函的函数作出函数的函数的图象如图，的函ͳ数的函数函数的函数函ͳͳ1的图象是把函ͳ1向左的数或向右的数平移个单位得到的．由图可知，要使的函数与的函数存在两对“伴点”，需要把的函数函ͳͳ1向左平移．则，设直线的函ͳ数ͳ1，即函ͳͳ1，
学科网（北京）股份有限公司ͳ1由圆心的䁧数到直线的距离为2，得，解得ǡ或ǡͳ的舍数；设直线的函ͳ数ͳ1，即函ͳͳ1，ͳͳ1由圆心的䁧数到直线的距离为2，得，解得1ͳ或1的舍数．要使的函数与的函数存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为的ǡ䁧1ͳ数.故答案为：的ǡ䁧1ͳ数.函ͳ1䁧函14.已知函数的函数lo函䁧函，若方程的函数有四个不同的解函1，函，函ǡ，函，且函1函函ǡ函，ǡ1则函ǡ的函1ͳ函数ͳ的取值范围是______．函函ǡ䁩【答案】的1䁧ǡ【解析】【试题解析】解：作函数的函数的图象如右，方程的函数有四个不同的解函1，函，函ǡ，函，且函1函函ǡ函，函1，函关于函1对称，即函1ͳ函，且函ǡ1函ǡ，函ǡ函1，11函ǡ的函1ͳ函数ͳ函函函ǡͳ函，ǡ函ǡ函令的函数函䁧函的1䁧ǡ，易知函数的函数在的1䁧ǡ函上为增函数，䁩1䁩故的函数的1䁧ǡ，即函ǡ的函1ͳ函数ͳ函函的取值范围是的1䁧ǡ．ǡ䁩故答案为：的1䁧．ǡ三、解答题（本大题共4小题，共30.0分）函䁧函䁧15.已知函数的函数.的函数的函数函的数．函函䁧函䁧的1数当1时，求函数的函数和的函数的零点；的数若函数的函数恰有2个零点，求实数a的取值范围．函䁧函1䁧【答案】解：的1数当1时，的函数则方程的函数的解函，函函䁧函1䁧函䁧函1䁧又的函数的函数函则方程的函数的解函，函函䁧函1䁧所以函数的函数和的函数的零点都是0．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
的数函䁧函䁧的数因的函数的函数函，则的函数函的ͳ数函䁧函.ͳ若函，令的函数，得函；若函，令的函数，得函或函．当且时，的函数在䁧ͳ数无零点，若函数的函数恰有2个零点，ͳ则应有，解得；䁧函䁧当时，的函数有无数多个零点，不符题意；函函䁧函䁧当时，的函数在䁧ͳ数有零点0，的函数在的䁧数没有零点，不符题意；ͳ时，的函数在䁧ͳ数有零点0，若函数的函数恰有2个零点，则应有，解得，与矛盾．综上：所求实数a的范围为的䁧ͳ数．1的函ͳǡͳ1数䁧函16.已知函数的函数．函䁧函的1数画出函数的函数的图象，依据图象讨论直线和函数的函数的图象交点的个数．的数若存在实数䁪，满足的数的数的䁪数，求的数ͳ的数ͳ䁪的䁪数的取值范围．1的函ͳǡͳ1数䁧函【答案】解：的1数函数的函数，图象如图所示：，函䁧函由图象可知：当时，直线和函数的函数的图象交点的个数为0个；1当时，直线和函数的函数的图象交点的个数为1个；1当或时，直线和函数的函数的图象交点的个数为2个；1当时，直线和函数的函数的图象交点的个数为3个；的数存在实数䁪，满足的数的数的䁪数，由函数的函数的图象可知：ͳ，䁪，的数ͳ的数ͳ䁪的䁪数的ͳͳ䁪数的䁪数的䁪数的䁪数䁪䁪ͳ1的䁪数，又䁪，
学科网（北京）股份有限公司䁩的数ͳ的数ͳ䁪的䁪数䁩的数ͳ的数ͳ䁪的䁪数的取值范围：䁧数.17.已知二次函数的函数函函ͳͳ1．11的1数若函1，函是的函数的两个不同零点，是否存在实数k，使的函1ͳ函数的函1ͳ函数成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．的函数函䁕䁧函的数设1，函数的函数存在3个零点．函函䁕䁧函的数求t的取值范围；的数设m，n分别是这3个零点中的最小值与最大值，求݊的最大值．【答案】解：的1数由题意可知，，的函数的两个不同零点；则11的ͳ1数1，解得；ͳ1则函1ͳ函1，函1函；11假设存在实数k，使的函1ͳ函数的函1ͳ函数成立；ͳ1ͳ111的函1ͳ函数的函1ͳ函数的函1ͳ函数ͳ函1函ͳ，1解得，不满足；故不存在满足条件的k值；函函的函数的数当1时，设的函数的函数ͳ䁕，则的函数；函函的函数1当函时，的函数的函ͳ数ͳ11，当函时；的函数的函1数；的数作出函数的函数的图象，如图所示，则䁕1；的数设直线䁕的䁕1数与该函数图象的最左边和最右边的交点分别为A，B；由函函䁕，得：函11䁕；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
由函函䁕，得：݊函ͳͳ䁕；ǡͳ1䁕ͳͳ䁕所以݊函函；因为的1䁕ͳͳ䁕数ǡͳ的䁕ͳ数ͳͳ1；ǡ所以当䁕时，1䁕ͳͳ䁕取得最大值1；ǡͳ1故݊的最大值为：函ͳ函18.已知的函数ͳln的函ͳ1数．的1数若函数的函数有三个零点，求实数a的取值范围；䁪的数若，设的函数函ͳ函，其中，䁪的函数的函数的两根为函1，函的函1函数，求证：函的函1数函1的函数．11【答案】解：的1数㌳的函数函ͳͳ函ͳ1ͳͳ1，函ͳ1函ͳ1当时，㌳的函数，则函数的函数单调，不可能有三个零点；当时，㌳的函数쳌݊㌳的数1ͳ，设㌳的函数的两个根为m，݊的݊数，则的函数在的1䁧数，的݊䁧ͳ数上单调递增，在的䁧݊数上单调递减，且的数쳌쳌则的数的݊数，函1的函数䁧函ͳ的函数ͳ，因此根据零点存在性定理可知，函数的函数有三个零点，即实数a的取值范围为的䁧数；的数证明：设的函数的函数，构造的函数的函数的函数的函数的函数函ln的1函数函ͳ函，䁪函ͳ函䁪1的函数的函数的函数函ͳͳln的函ͳ1数，则㌳的函数的ͳ函ͳ1ͳ数，函函函ͳ1函数的函数单调递减，的函ǡ数的函ǡ数的函ǡ数的函ǡ数的函ǡ数的函数，的函数䁪函ǡ函，ͳ单调递减，函函的函数的函数的函ǡ数的函ǡ数的函1数，函函函ǡ函ǡ函1函的函1数函1的函数．
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