课时30直线的方程（基础题）一、单选题1．（2020·上海高三一模）直线的一个法向量可以是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.【详解】直线的一个方向向量为，设直线的法向量为，因为，所以，得，所以法向量.故选：C.2．（2017·徐汇·上海中学高三模拟预测）若点和都在直线上，又点和点，则A．点和都不在直线上B．点和都在直线上C．点在直线上且不在直线上D．点不在直线上且在直线上【答案】B【详解】由题意得：，易得点满足由方程组得，两式相加得，即点在直线上，
故选B.二、填空题3．（2019·上海松江·高三一模）若关于、的二元一次方程组无解，则实数________【答案】【分析】根据方程组无解，得到直线与直线平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于、的二元一次方程组无解，所以直线与直线平行，所以，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.4．（2020·上海杨浦·）若关于的方程组无解，则实数__________.【答案】【分析】由题意可得直线和直线平行，再利用两条直线平行的性质，求出的值．【详解】若关于，的方程组无解，则直线和直线平行，故有，求得，
故答案为：5．（2017·上海虹口·）在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．【答案】【分析】首先求出直线过定点，再根据数学结合思想，利用两点的距离公式即可求得正解.【详解】因为直线过定点所以即，故答案为：【点睛】本题主要考查直线的方程、直线的定点问题和点到直线的距离，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.6．（2019·上海普陀·高三二模）设直线经过曲线（为参数，）的中心，且其方向向量，则直线的方程为____【答案】【分析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程.【详解】由消去参数可得，所以曲线表示以为圆心，以为半径的圆；因此直线过点，又直线的方向向量为，所以斜率为，因此，所求直线方程为：，即.
故答案为：【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.7．（2020·上海复旦附中青浦分校高三月考）已知两条直线，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则___________【答案】3【分析】由两条直线的的一个法向量恰为的一个方向向量，得出两直线垂直，然后再根据两条直线垂直，斜率乘积为，求出值．【详解】解：的一个法向量恰为的一个方向向量，．直线的斜率为，直线的斜率为，由，得．故答案为：3．【点睛】本题考查斜率都存在的两条直线垂直的性质，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系．8．（2020·上海崇明·高三一模）已知,,若直线=与直线=互相垂直,则的最大值等于________.【答案】【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得=,变形可得=,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线=与直线=互相垂直,
则有=,变形可得=,则,当且仅当=时,等号成立;即的最大值为,故答案为：【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.9．（2021·上海高三专题练习）若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实数___________.【答案】【分析】写出直线的法向量和方向向量，由向量垂直的坐标运算求出．【详解】直线方程即为，其法向量为，直线的方向向量为，由题意，解得．故答案为：．（能力题）一、单选题1．（2016·浦东新·上海师大附中高三模拟预测）过点作直线
与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线有（）A．一条B．两条C．三条D．四条【答案】D【分析】设直线的截距式方程，根据直线过点，可得，根据面积公式，得，联立方程组，求解后即可判断.【详解】根据题意设方程，已知直线过点，可得，根据直线与坐标轴围成的三角形面积为10，可知，当时，，即，，方程有两解，当时，，即，，方程有两解，故选:D.【点睛】本题考查了求直线的截距式方程，考查了直线方程形式的灵活应用，当题目中涉及直线与坐标轴的两个截距，求直线时，可选用截距式进行求解.2．（2020·上海高三专题练习）函数图像的一条对称轴方程为，则直线与的夹角大小为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用三角函数的对称轴求出的关系，【详解】函数图像的一条对称轴方程为解得，设直线与的夹角为，
直线的一个法量为，直线的一个法向量为，则所以，故选：．【点睛】方法点睛：本题考查求两直线的夹角，求直线夹角的方法：（1）利用夹角公式：两直线的斜率，夹角公式为（不垂直时）；（2）利用法向量的夹角与两直线的夹角相等或互补求解；（3）由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．二、填空题3．（2020·上海高三模拟预测）如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记（），则________.【答案】【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，，，求出直线的方程，可设，，可得，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，，，直线的方程为，可设，，可得，即有，则．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．4．（2020·上海高三专题练习）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点，则直线l的方程为_______.【答案】【分析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可将直线表示出来，因为直线某过点，所以将点代入，即可求得a，得到直线方程.【详解】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可得：，将代入直线方程，解得：或3，所以代入直线方程化简可得，或.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，
注意截距式的标准形式与限制条件.5．（2020·上海高三专题练习）两平行直线分别经过点，，若这两平行线间距离取最大时，两直线的方程分别是________．【答案】，【分析】计算，直线垂直时两平行线间距离最大，根据垂直关系得到直线方程.【详解】，当这两平行线间距离取最大时，平行直线斜率为.故直线方程为和，即和.故答案为：，.【点睛】本题考查了求直线方程，意在考查学生的计算能力，确定垂直时距离最大是解题的关键.6．（2020·上海高三专题练习）直线的倾斜角的角平分线所在的直线的方程是________．【答案】【分析】设直线的倾斜角为，则，利用二倍角公式计算，且过点，得到答案.【详解】设直线的倾斜角为，则，直线过点，则，解得或（舍去），故直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了直线方程，二倍角公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
7．（2021·上海高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点在线段上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算得的方程：，请你求的方程：______.【答案】【分析】写出直线AB，CP的截距式方程，两式相减即所求直线方程.【详解】直线交于点F，两式相减得：，F满足该方程，O在该直线上，则就是的方程.故答案为：【点睛】此题考查求直线方程，关键在于熟练掌握直线的截距式方程，根据求交点坐标方法可得所求直线方程.三、解答题8．（2020·上海高三专题练习）直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．【答案】x＋4y－4＝0
【详解】解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴⇒∴kAP＝，故所求直线l的方程为y＝x＋1，即x＋4y－4＝0.解法二：设所求直线l方程为y＝kx＋1，由方程组，由方程组，∵A、B的中点为P(0,1)，∴，∴k＝.故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.解法三：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有⇒代入l2的方程，得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0.由方程组解得由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.解法四：同解法一，设A(x0，y0)，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.考点：直线相交，直线方程.9．（2020·上海高三专题练习）已知一直线被两直线和截得的线段长为
且过点，求直线的方程．【答案】或【分析】首先计算两平行线间的距离，设直线与这两直线的夹角为，则，设直线的一个方向向量为，则，即，再分类讨论计算可得；【详解】解：和，所以这两直线间距离，设直线与这两直线的夹角为，则，，设直线的一个方向向量为，取两平行线的一个方向向量为，则，，当时，；当时，取的一个方向向量为，则：，，综上，的方程为或【点睛】本题考查直线方程的计算，直线的方向向量的应用，属于中档题.10．（2020·上海高三专题练习）已知直线和直线，若直线被和截得的线段的中点恰为坐标原点，求直线的方程．【答案】【分析】设交的交点为，则交的交点为，联立方程得到，根据直线的法向量得到答案.【详解】设交的交点为，则由条件交的交点为，则在上，在上，即，故．又过原点，则直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为．
所以直线的方程为．【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力，设出点的坐标而不求出，而是作为中间过程的辅助变量，最后消去，这种设而不求的方法在解析几何中经常用到.11．（2020·上海高三专题练习）求过直线与的交点，且被两直线和所截得的线段长为的直线方程．【答案】或【分析】首先求交点，并根据两平行线的距离求出两直线的夹角为，根据夹角公式求直线的斜率，最后代入点斜式方程.【详解】设所求直线为，，解得：所以直线过点，直线和之前的距离，由图象可知，直线和两平行线夹角是，设直线的斜率为，，解得：或，
代入点斜式方程，得到或.【点睛】本题考查求直线方程，重点考查夹角公式，直线交点，意在考查数形结合分析问题的能力，计算能力，属于基础题型.12．（2020·上海高三专题练习）从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点．设和上反射点分别为和，求直线的方程．【答案】【分析】根据题意，可得出直线和斜率，设关于对称点，根据点关于直线对称的性质和中点坐标公式，即可求出的坐标，同理求出的坐标，结合条件可知，，，四点同在一条直线上，最后利用两点式方程求出直线的方程.【详解】解：由题可知，和的斜率分别为：，设关于对称点，则，所以的中点坐标为，且在上，则，同理得关于对称点，由于从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点，则，，，四点同在一条直线上，则，即，
所以，直线方程为.【点睛】本题考查根据光线的反射求直线的方程，涉及点关于直线对称，直线的斜率，中点坐标公式和两点式方程的应用，考查运算能力.（真题/新题）一、单选题1．（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，
所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D2．（2021·上海黄浦·卢湾高级中学）经过点，且方向向量为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，直线的方程为，即.故选：A.二、填空题3．（2021·上海黄浦·高三一模）已知直线过点，直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程是___________.【答案】【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.【详解】因为直线过点，它的一个方向向量为，
所以，直线的点方向式方程为.故答案为：.4．（2021·上海高三模拟预测）直线的参数方程为（为参数，为定值），则的一个法向量为___________.【答案】【分析】将直线化为普通方程，进而求出方向向量，再求出法向量.【详解】根据题意，直线的普通方程为：，其一个方向向量为，则其一个法向量为.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题5．（2021·上海高三模拟预测）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？
（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m.【分析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，求出直线和方程后可得点坐标，从而得；（2）设警示牌为CM，由的大小得点坐标，从而可得直线方程，求得它与轴交点的坐标，得影子长．【详解】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，可设的斜率为，则＝，又C（6，0），所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…②由①②组成方程组，求得点A（，15）；所以|AB|＝＝2，
即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，则M（6，），A（，15），所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣），令yN＝0，解得xN＝7，所以CN＝7﹣6＝.所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m．【点睛】本题考查直线方程的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出直线方程，由直线方程得交点坐标，得线段长．
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