2022年高考数学二轮复习《立体几何》通关练习卷（解析版）

2022年高考数学二轮复习《立体几何》通关练习卷一、选择题设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若α∩β=m，n⊂α，则n⊥βD.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β【答案解析】答案为：D；解析：若m∥α，n∥α，则直线m，n可以是平行、相交、异面，所以A不正确.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m，n可能是平行或异面，所以B不正确.C选项显然不正确.下列命题中成立的个数是(　　)①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线l在平面α外，则l∥α；③若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α；④若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为：A；解析：直线l平行于平面α内的无数条直线，包括l⊂α和l∥α，故①不成立；直线l在平面α外，包括l与α相交和l∥α，故②不成立；直线l∥b，直线b⊂α，包括l⊂α和l∥α，故③不成立；直线l∥b，直线b⊂α，那么l平行于α内与直线b平行的所有直线，所以直线l就平行于平面α内的无数条直线，故只有④成立.已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若m∥n，则α⊥β；④若α⊥β，则m∥n.其中正确命题的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3【答案解析】答案为：C；解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β=n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β=n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确.综上所述，正确命题的个数为2，故选C.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n.其中正确命题的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为：B解析：对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β=n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题.故选答案为：B. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF【答案解析】答案为：A解析：由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面HEF.故选A.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA=1，PB=PD=，则它的五个面中，互相垂直的面共有(　　)A.3对B.4对C.5对D.6对【答案解析】答案为：C；解析：因为AB=AD=AP=1，PB=PD=，所以AB2＋AP2=PB2，PA2＋AD2=PD2，则PA⊥AB，PA⊥AD，可得PA⊥底面ABCD，又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD，AD∩PA=A，所以AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD.又BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又CD⊥AD，CD⊥AP，AD∩AP=A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD.故选C.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是(　)A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为：B；解析：画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确； ④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.所以正确结论的个数是2.设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】答案为：A.解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(　　)A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a⊥α，a∥b，则b⊥αC.若a⊥α，a⊥b，则b∥αD.若a∥α，a⊥b，则b⊥α【答案解析】答案为：B.解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　)A.B.1C.D.2【答案解析】答案为：A；解析：设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.又2×=h，所以h=，DE=.在Rt△DB1E中，B1E==.由面积相等得×=x，得x=.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　　)A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF 【答案解析】答案为：B；解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面EFH，B正确.∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH=G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确.由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.如图所示，直线PA垂直于⊙O所成的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　　)A.①②B.①②③C.①D.②③【答案解析】答案为：B；解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.二、填空题已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的有　　.(写出所有正确命题的序号)①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m∥n，m∥α，则n∥α；③若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.【答案解析】答案为：③；解析：对于①，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β的位置关系是垂直或平行，故①错误；对于②，若m∥n，m∥α，则n可能在α内或平行于α，故②错误；对于③，若α∩β=n，m∥α，m∥β，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断m∥n，故③正确；对于④，若m⊥α，m⊥n，则n可能在α内或平行于α，故④错误.如图所示，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP=，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ=.【答案解析】答案为：a.解析：如图，∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1，∴B1D1∥PQ. 又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB=M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴==2，即PQ=2PM.又知△APM∽△ADB，∴==，∴PM=BD，又BD=a，∴PQ=a.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为.①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.【答案解析】答案为：④.解析：因为在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，则折叠时，D点在平面BCE上的射影的轨迹为O1O2(如图).因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故①不符合；只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故②不符合；折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故③不符合；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，AD⊥BE，所以在折起过程中，AD⊥平面BED能成立，故④符合.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱VC，VB上的点，且满足VC=3EC，AF∥平面BDE，则=________.【答案解析】答案为：2解析：连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF， 由VC=3EC⇒VM=ME=EC，又AO=CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE⇒平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF=FB⇒=2.三、解答题如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PC的中点，连接EF，BF.(1)求证：直线EF∥平面PAD.(2)求三棱锥FPEB的体积.【答案解析】解：(1)如图，作FM∥CD交PD于点M，连接AM.因为点F为PC中点，所以FM=CD.因为点E为AB的中点，所以AE=AB=FM.又AE∥FM，所以四边形AEFM为平行四边形，又EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD.所以EF∥AM.所以直线EF∥平面PAD.(2)连接EC.已知∠DAB=60°，AE=，AD=1，由余弦定理，得DE⊥AB，又AB∥DC，则DE⊥DC，设F到平面BEC的距离为h.因为点F为PC的中点，所以h=PD.从而有VFPBE=VPBEF=VPBEC－VFBEC =S△BEC·(PD－h)=S△BEC·PD=×××××1=.如图，在三棱柱ABF－DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD,AD=AF,AF⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥EC；(2)若AB=1，求四棱锥B－ADEF的体积.【答案解析】(1)证明：已知ABF－DCE为三棱柱，且AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD.∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°，又BC=2CD，故∠BDC=90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD=D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解：由BC=2CD得AD=2AB，∵AB=1，故AD=2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF=A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC=120°，∴在△ABH中，∠BAH=60°，又AB=1，∴BH=，∴VB－ADEF=×(2×2)×=.如图，在三棱锥P－ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC的中点.(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：AB⊥PE；(3)求三棱锥B－PEC的体积.【答案解析】解：(1)∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC.∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.(2)连接PD.∵PA=PB，D为AB的中点，∴PD⊥AB.∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE.∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE.(3)∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P－BEC的高.又∵PD=，S△BEC=，∴VB－PEC=VP－BEC=S△BEC·PD=.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD.【答案解析】证明：(1)因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为AC⊥PD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)可知，AC⊥BD.因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因为PO⊂平面PAC，所以BD⊥PO.因为底面ABCD是菱形，所以BO=DO，所以PB=PD.如图，在四棱锥P—ABCD中，PC=AD=CD=AB=2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD. (1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A—CMN的高.【答案解析】(1)证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，AC==2，BC==2，所以AC2＋BC2=AB2，即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PC⊥BC，又AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC，故BC⊥平面PAC.(2)解：N为PB的中点，连接MN，CN.因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MN∥AB，且MN=AB=2.又因为AB∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四点共面，所以N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点.因为BC⊥平面PAC，N为PB的中点，所以点N到平面PAC的距离d=BC=.又S△ACM=S△ACP=××AC×PC=，所以V三棱锥N—ACM=××=.由题意可知，在Rt△PCA中，PA==2，CM=，在Rt△PCB中，PB==2，CN=，所以S△CMN=×2×=.设三棱锥A—CMN的高为h，V三棱锥N—ACM=V三棱锥A—CMN=××h=，解得h=，故三棱锥A—CMN的高为.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1. (1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；(3)若BC=，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值.【答案解析】(1)证明：在△AOC中，因为OA=OC,D为AC的中点，所以AC⊥OD.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO=O，DO，PO⊂平面PDO，所以AC⊥平面PDO.(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB=2，所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.又因为三棱锥P－ABC的高PO=1，故三棱锥P－ABC体积的最大值为×1×1=.(3)解：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==.同理PC=，所以PB=PC=BC.在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面C′PB，使之与平面ABP共面，如图所示.当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值.又因为OP=OB，C′P=C′B，所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点.从而OC′=OE＋EC′=＋=，即CE＋OE的最小值为.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA=120°，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面△SAB的面积.【答案解析】解：(1)证明：设BC=a，则CD=a，AB=2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD=90°，则BD=a，∠CBD=45°， 所以∠ABD=∠ABC－∠CBD=45°，在△ABD中，AD==a，因为AD2＋BD2=4a2=AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a，在△SAD中，∠SDA=120°，SA=2SDsin60°=a，作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH=SDsin60°=a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH，又AD∩BD=D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCD=×a××a2=，解得a=1，由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB===2，又AB=2，SA=，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=，则△SAB的面积为××=.