2022年高考数学二轮复习《立体几何》通关练习卷(解析版)
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2022年高考数学二轮复习《立体几何》通关练习卷(解析版)

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时间:2022-03-11

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资料简介
2022年高考数学二轮复习《立体几何》通关练习卷一、选择题设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是(  )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若α∩β=m,n⊂α,则n⊥βD.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β【答案解析】答案为:D;解析:若m∥α,n∥α,则直线m,n可以是平行、相交、异面,所以A不正确.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则直线m,n可能是平行或异面,所以B不正确.C选项显然不正确.下列命题中成立的个数是(  )①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线l在平面α外,则l∥α;③若直线l∥b,直线b⊂α,则l∥α;④若直线l∥b,直线b⊂α,那么直线l就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为:A;解析:直线l平行于平面α内的无数条直线,包括l⊂α和l∥α,故①不成立;直线l在平面α外,包括l与α相交和l∥α,故②不成立;直线l∥b,直线b⊂α,包括l⊂α和l∥α,故③不成立;直线l∥b,直线b⊂α,那么l平行于α内与直线b平行的所有直线,所以直线l就平行于平面α内的无数条直线,故只有④成立.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,m⊥α,n⊂β.给出下列四个命题:①若α∥β,则m⊥n;②若m⊥n,则α∥β;③若m∥n,则α⊥β;④若α⊥β,则m∥n.其中正确命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.3【答案解析】答案为:C;解析:依题意,对于①,由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直,则该直线也垂直于另一个平面”得知,m⊥β,又n⊂β,因此m⊥n,①正确;对于②,当α⊥β时,设α∩β=n,在平面β内作直线m⊥n,则有m⊥α,因此②不正确;对于③,由m∥n,m⊥α得n⊥α,又n⊂β,因此有α⊥β,③正确;对于④,当m⊥α,α∩β=n,α⊥β时,直线m,n不平行,因此④不正确.综上所述,正确命题的个数为2,故选C.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m,n与α所成的角相等,则m∥n;④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.其中正确命题的个数是(  )A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为:B解析:对于①,若m∥n,m⊥α,则n⊥α,故该命题为真命题;对于②,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故该命题为真命题;对于③,若m,n与α所成的角相等,则m与n可能平行、相交或异面,故该命题为假命题;对于④,若m∥α,α∩β=n,则m与n的位置关系不确定,故该命题为假命题.故选答案为:B. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有(  )A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF【答案解析】答案为:A解析:由平面图形可得AH⊥HE,AH⊥HF,又HE∩HF=H,∴AH⊥平面HEF.故选A.如图,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA=1,PB=PD=,则它的五个面中,互相垂直的面共有(  )A.3对B.4对C.5对D.6对【答案解析】答案为:C;解析:因为AB=AD=AP=1,PB=PD=,所以AB2+AP2=PB2,PA2+AD2=PD2,则PA⊥AB,PA⊥AD,可得PA⊥底面ABCD,又PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD.又BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.又CD⊥AD,CD⊥AP,AD∩AP=A,所以CD⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD.故选C.如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案为:B;解析:画出该几何体,如图所示,①因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD,所以EF∥BC,直线BE与直线CF是共面直线,故①不正确;②直线BE与直线AF满足异面直线的定义,故②正确;③由E,F分别是PA,PD的中点,可知EF∥AD,所以EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,故③正确; ④因为BE与PA的关系不能确定,所以不能判定平面BCE⊥平面PAD,故④不正确.所以正确结论的个数是2.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】答案为:A.解析:依题意,由l⊥β,l⊂α可以推出α⊥β;反过来,由α⊥β,l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选A.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(  )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α【答案解析】答案为:B.解析:若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a⊥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α,故C错误;若a∥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α或b与α相交,故D错误.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(  )A.B.1C.D.2【答案解析】答案为:A;解析:设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有(  )A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF 【答案解析】答案为:B;解析:根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,又HE∩HF=H,∴AH⊥平面EFH,B正确.∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确.∵AG⊥EF,EF⊥GH,AG∩GH=G,∴EF⊥平面HAG,又EF⊂平面AEF,∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,∴C不正确.由条件证不出HG⊥平面AEF,∴D不正确.如图所示,直线PA垂直于⊙O所成的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(  )A.①②B.①②③C.①D.②③【答案解析】答案为:B;解析:对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,∴OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.二、填空题已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的有  .(写出所有正确命题的序号)①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m∥n,m∥α,则n∥α;③若α∩β=n,m∥α,m∥β,则m∥n;④若m⊥α,m⊥n,则n∥α.【答案解析】答案为:③;解析:对于①,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β的位置关系是垂直或平行,故①错误;对于②,若m∥n,m∥α,则n可能在α内或平行于α,故②错误;对于③,若α∩β=n,m∥α,m∥β,根据线面平行的性质定理和判定定理,可以判断m∥n,故③正确;对于④,若m⊥α,m⊥n,则n可能在α内或平行于α,故④错误.如图所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过B1,D1,P的平面交平面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=.【答案解析】答案为:a.解析:如图,∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥PQ. 又∵B1D1∥BD,∴BD∥PQ,设PQ∩AB=M,∵AB∥CD,∴△APM∽△DPQ.∴==2,即PQ=2PM.又知△APM∽△ADB,∴==,∴PM=BD,又BD=a,∴PQ=a.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E为DC边的中点,沿AE将△ADE折起,在折起过程中,下列结论中能成立的序号为.①ED⊥平面ACD;②CD⊥平面BED;③BD⊥平面ACD;④AD⊥平面BED.【答案解析】答案为:④.解析:因为在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E为DC边的中点,则折叠时,D点在平面BCE上的射影的轨迹为O1O2(如图).因为折起过程中,DE与AC所成角不能为直角,所以DE不垂直于平面ACD,故①不符合;只有D点射影位于O2位置,即平面AED与平面AEB重合时,才有BE⊥CD,所以折起过程中CD不垂直于平面BED,故②不符合;折起过程中,BD与AC所成的角不能为直角,所以BD不垂直于平面ACD,故③不符合;因为AD⊥ED,并且在折起过程中,当点D的射影位于O点时,AD⊥BE,所以在折起过程中,AD⊥平面BED能成立,故④符合.如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为侧棱VC,VB上的点,且满足VC=3EC,AF∥平面BDE,则=________.【答案解析】答案为:2解析:连接AC交BD于点O,连接EO,取VE的中点M,连接AM,MF, 由VC=3EC⇒VM=ME=EC,又AO=CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE⇒平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF=FB⇒=2.三、解答题如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PC的中点,连接EF,BF.(1)求证:直线EF∥平面PAD.(2)求三棱锥FPEB的体积.【答案解析】解:(1)如图,作FM∥CD交PD于点M,连接AM.因为点F为PC中点,所以FM=CD.因为点E为AB的中点,所以AE=AB=FM.又AE∥FM,所以四边形AEFM为平行四边形,又EF⊄平面PAD,AM⊂平面PAD.所以EF∥AM.所以直线EF∥平面PAD.(2)连接EC.已知∠DAB=60°,AE=,AD=1,由余弦定理,得DE⊥AB,又AB∥DC,则DE⊥DC,设F到平面BEC的距离为h.因为点F为PC的中点,所以h=PD.从而有VFPBE=VPBEF=VPBEC-VFBEC =S△BEC·(PD-h)=S△BEC·PD=×××××1=.如图,在三棱柱ABF-DCE中,∠ABC=120°,BC=2CD,AD=AF,AF⊥平面ABCD.(1)求证:BD⊥EC;(2)若AB=1,求四棱锥B-ADEF的体积.【答案解析】(1)证明:已知ABF-DCE为三棱柱,且AF⊥平面ABCD,∴DE∥AF,ED⊥平面ABCD.∵BD⊂平面ABCD,∴ED⊥BD,又ABCD为平行四边形,∠ABC=120°,故∠BCD=60°,又BC=2CD,故∠BDC=90°,故BD⊥CD,∵ED∩CD=D,ED,CD⊂平面ECD,∴BD⊥平面ECD,∵EC⊂平面ECD,故BD⊥EC.(2)解:由BC=2CD得AD=2AB,∵AB=1,故AD=2,作BH⊥AD于点H,∵AF⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD,∴AF⊥BH,又AD∩AF=A,AD,AF⊂平面ADEF,∴BH⊥平面ADEF,又∠ABC=120°,∴在△ABH中,∠BAH=60°,又AB=1,∴BH=,∴VB-ADEF=×(2×2)×=.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D,E分别为AB,AC的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求证:AB⊥PE;(3)求三棱锥B-PEC的体积.【答案解析】解:(1)∵在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点, ∴DE∥BC.∵DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.(2)连接PD.∵PA=PB,D为AB的中点,∴PD⊥AB.∵DE∥BC,BC⊥AB,∴DE⊥AB.又∵PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE.∵PE⊂平面PDE,∴AB⊥PE.(3)∵PD⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴PD⊥平面ABC,可得PD是三棱锥P-BEC的高.又∵PD=,S△BEC=,∴VB-PEC=VP-BEC=S△BEC·PD=.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD,求证:AC⊥平面PBD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:PB=PD.【答案解析】证明:(1)因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD.因为AC⊥PD,PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)可知,AC⊥BD.因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC.因为PO⊂平面PAC,所以BD⊥PO.因为底面ABCD是菱形,所以BO=DO,所以PB=PD.如图,在四棱锥P—ABCD中,PC=AD=CD=AB=2,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD. (1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥A—CMN的高.【答案解析】(1)证明:连接AC,在直角梯形ABCD中,AC==2,BC==2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PC⊥BC,又AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC,故BC⊥平面PAC.(2)解:N为PB的中点,连接MN,CN.因为M为PA的中点,N为PB的中点,所以MN∥AB,且MN=AB=2.又因为AB∥CD,所以MN∥CD,所以M,N,C,D四点共面,所以N为过C,D,M三点的平面与线段PB的交点.因为BC⊥平面PAC,N为PB的中点,所以点N到平面PAC的距离d=BC=.又S△ACM=S△ACP=××AC×PC=,所以V三棱锥N—ACM=××=.由题意可知,在Rt△PCA中,PA==2,CM=,在Rt△PCB中,PB==2,CN=,所以S△CMN=×2×=.设三棱锥A—CMN的高为h,V三棱锥N—ACM=V三棱锥A—CMN=××h=,解得h=,故三棱锥A—CMN的高为.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1. (1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.【答案解析】(1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥OD.又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.因为DO∩PO=O,DO,PO⊂平面PDO,所以AC⊥平面PDO.(2)解:因为点C在圆O上,所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=.(3)解:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以PB==.同理PC=,所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面C′PB,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C′共线时,CE+OE取得最小值.又因为OP=OB,C′P=C′B,所以OC′垂直平分PB,即E为PB中点.从而OC′=OE+EC′=+=,即CE+OE的最小值为.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=AB,侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证:平面SBD⊥平面SAD;(2)若∠SDA=120°,且三棱锥SBCD的体积为,求侧面△SAB的面积.【答案解析】解:(1)证明:设BC=a,则CD=a,AB=2a,由题意知△BCD是等腰直角三角形,且∠BCD=90°,则BD=a,∠CBD=45°, 所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°,在△ABD中,AD==a,因为AD2+BD2=4a2=AB2,所以BD⊥AD,由于平面SAD⊥底面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面SAD,又BD⊂平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a,在△SAD中,∠SDA=120°,SA=2SDsin60°=a,作SH⊥AD,交AD的延长线于点H,则SH=SDsin60°=a,由(1)知BD⊥平面SAD,因为SH⊂平面SAD,所以BD⊥SH,又AD∩BD=D,所以SH⊥平面ABCD,所以SH为三棱锥SBCD的高,所以VSBCD=×a××a2=,解得a=1,由BD⊥平面SAD,SD⊂平面SAD,可得BD⊥SD,则SB===2,又AB=2,SA=,在等腰三角形SBA中,边SA上的高为=,则△SAB的面积为××=.

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