2022年新高考一轮复习考点精选练习39《双曲线及其性质》（含详解）

2022年新高考一轮复习考点精选练习39《双曲线及其性质》一、选择题已知双曲线－=1(0＜a＜1)的离心率为，则a的值为(　　)A.B.C.D.已知双曲线x2－=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使=e，则·的值为(　　)A.3B.2C.－3D.－2已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为(　　)A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)A.－=1B.－y2=1C.－=1D.x2－=1已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1已知F1，F2是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点.若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0设F2是双曲线C：－=1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|=3|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为(　　)A.3B.2C.D.已知双曲线－=1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)A.4(1＋)B.4＋C.2(＋)D.＋3已知F是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|=2a，记该双曲线的离心率为e，则e2=(　　)A.B.C.D. 设F1，F2分别为双曲线－=1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　　)A.4B.3C.2D.1已知F1，F2为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|=2|QF1|，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.2C.D.二、填空题双曲线－=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则a=________.双曲线T：－=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则T的实轴长等于__________.设F1，F2分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________.已知F1、F2分别是双曲线x2－=1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为.已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：－=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=π，则双曲线C的离心率为. 答案解析答案为：B；解析：∵c2=a2＋1－a2=1，∴c=1，又=，∴a=，故选B.答案为：B；解析：由题意及正弦定理得==e=2，∴|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2.又|F1F2|=4，由余弦定理可知cos∠PF2F1===，∴·=||·||cos∠PF2F1=2×4×=2.故选B.答案为：C.解析：由题意，设双曲线C的方程为－x2=λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22=λ，解得λ=－3，所以双曲线C的方程为－x2=－3，即－=1.答案为：D；解析：因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b，|OA|=a，所以ab=2，又双曲线C的离心率为，所以=，即b2=4a2，解得a2=1，b2=4，所以双曲线C的方程为x2－=1，故选D.答案为：A；解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c=4，a=2，b2=12，即双曲线方程为－=1，故选A.答案为：C解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r==5，故c=5，a2＋b2=25，又双曲线的一条渐近线y=x过点(3,4)，故3b=4a，可解得b=4，a=3.故选C.答案为：A解析：由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|=2a，又|PF1|＋|PF2|=6a，联立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a.在△PF1F2中，|F1F2|=2c，而c＞a，所以|PF2|＜|F1F2|.所以∠PF1F2=30°.所以(2a)2=(2c)2＋(4a)2－2×2c×4acos30°，得c=a.所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，即x±y=0.答案为：D；解析：设 双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形.所以|MF1|=|PF2|，MF1∥PN.设|PF2|=m，则|MF2|=3m，所以2a=|MF2|－|MF1|=2m，即|MF1|=a，|MF2|=3a.因为∠MF2N=60°，所以∠F1MF2=60°，又|F1F2|=2c，在△MF1F2中，由余弦定理可得4c2=a2＋9a2－2·a·3a·cos60°，即4c2=7a2，所以=，所以双曲线的离心率e==.故选D.答案为：A；解析：设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l=|AF|＋|AP|＋|PF|=|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到，故l=2|AF|＋2a=4(1＋).故选A.答案为：A；解析：由题意得，F(c，0)，该双曲线的一条渐近线为y=－x，将x=c代入y=－x得y=－，所以=2a，即bc=2a2，所以4a4=b2c2=c2(c2－a2)，所以e4－e2－4=0，解得e2=，故选A.答案为：D.解析：连接PF2，OT，则有|MO|=|PF2|=(|PF1|－2a)=(|PF1|－6)=|PF1|－3，|MT|=·|PF1|－|F1T|=|PF1|－=|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|=－=1，故选D.答案为：A；解析：如图，连接PF2，QF2.由|PQ|=2|QF1|，可设|QF1|=m，则|PQ|=2m，|PF1|=3m；由|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=|PF1|－2a=3m－2a；由|QF2|－|QF1|=2a，得|QF2|=|QF1|＋2a=m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2=|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2=|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2=(m＋2a)2，解得m=a，∴|PF1|=3m=4a，|PF2|=3m－2a=2a.∵|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，|F1F2|=2c， ∴(4a)2＋(2a)2=(2c)2，化简得c2=5a2，∴双曲线的离心率e==，故选A.答案为：5.解析：∵双曲线的标准方程为－=1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±x.又双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴a=5.答案为：8.解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=x，即ax－by=0的距离为==b=3，所以a=4,2a=8.答案为：.解析：设M(x,)，根据矩形的性质，得|MO|=|OF1|=|OF2|=c，即x2＋()2=c2，则x=a，所以M(a，b).因为△AMN的面积为c2，所以2××a×b=c2，所以4a2(c2－a2)=c4，所以e4－4e2＋4=0，所以e=.答案为：4；解析：由题意知a=1，如图，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|=2a=2，|BF1|－|BF2|=2a=2，∴|AF1|=2＋|AF2|=4，|BF1|=2＋|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|，∴|BA|=|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，∵∠F1AF2=45°，∴∠ABF1=90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2.∴S△F1AB=|BA|·|BF1|=×2×2=4.答案为：y=±x；解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为4|OF|=|AF|＋|BF|，所以4×=y1＋＋y2＋，即y1＋y2=p.①由消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2=0，所以y1＋y2=.②由①②可得=，故双曲线的渐近线方程为y=±x.答案为：.解析：如图，设|PF1|=x，则|PF2|=x－2a，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1. 因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S在双曲线上，所以四边形PSRQ是平行四边形，根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|=|QF1|=x，则∠F1PS=，根据双曲线的定义，有|F1S|=x＋2a，所以在△PF1S中，由余弦定理得(x＋2a)2=x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·（-），解得x=a，所以|PF2|=a，所以在△PF1F2中，由余弦定理得4c2=（a）2＋（a）2－2×（-）×a×a，整理可得e==.