2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编圆锥曲线大题(原卷版)1.(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且与l相切.(1)求C,的方程;(2)设是C上的三个点,直线,均与相切.判断直线与的位置关系,并说明理由.2.(2021年高考全国乙卷理科)已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为.(1)求;(2)若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值.3.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A、B分别为椭圆E:(a>1)左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E方程;(2)证明:直线CD过定点.4.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1:(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆的离心率为,,分别为的左、右顶点.(1)求的方程;(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
6.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.7.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点,,动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.求的方程,并说明是什么曲线;过坐标原点的直线交于两点,点在第一象限,轴,垂足为,连结并延长交于点.证明:是直角三角形;求面积的最大值.8.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与的交点为,,与轴的交点为.(1)若,求的方程;(2)若,求.9.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理))已知斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为().(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且,证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.10.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理))(12分)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.(1)求的方程;(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.11.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))(12分)设椭圆的右焦点为,过的直线与
交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.12.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求的方程;(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点.13.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)已知抛物线,过点的直线交与两点,圆是以线段为直径的圆.(1)证明:坐标原点在圆上;(2)设圆过点,求直线与圆的方程.14.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为,点满足.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.15.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥;
(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.16.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为的直线交E于两点,点N在E上,.(I)当,时,求的面积;(II)当时,求k的取值范围.17.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于两点,过作的平行线交于点.(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;(II)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.18.(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.19.(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)在直角坐标系中,曲线:与直线(>0)交与两点,(Ⅰ)当时,分别求在点和处的切线方程;(Ⅱ)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由。20.(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)设,分别是椭圆C:的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
21.(2014高考数学课标1理科)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.(1)求的方程;(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.22.(2013高考数学新课标2理科)平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.(1)求的方程;(2)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.23.(2013高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.24.(2012高考数学新课标理科)设抛物线的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于两点.(1)若,的面积为,求的值及圆的方程;(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.