第二章函数综合检测题一、单选题1．下列各组函数中表示同一函数的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】利用函数的定义判断.【详解】A.的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；B.与定义域都为R，且解析式相同，故是同一函数；C.的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；D.与解析式不同，故不是同一函数；故选：B2．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】解不等式组即得解.【详解】由题得且.所以函数的定义域为.故选：B
3．函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次函数单调性求单调区间.【详解】二次函数，图像开口向上，对称轴为所以函数的单增区间为.故选：C.4．已知函数满足则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用换元法可求.【详解】令则，则.即.故选：D.5．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（）A．B．C．D．
【答案】D【分析】对于基本初等函数，直接判断其奇偶性和单调性.【详解】选项A:为偶函数，故A错误；选项B:为偶函数，故B错误；选项C:为奇函数但是在上单增，故C错误；选项D:既是奇函数又是R上单调递减.故选：D6．已知函数若，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再根据可得答案.【详解】因为函数，所以，所以，解得，故选：C.7．已知幂函数在第一象限的图象如图所示，则（）
A．B．C．D．【答案】B【分析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.【详解】由图象可知，当时，，则故选：B8．已知函数为偶函数，当时，，且，则（）A．2B．C．4D．【答案】A【分析】直接由偶函数得，即可得解.【详解】由函数为偶函数，所以，所以.故选：A.二、多选题9．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）
A．在t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度B．t0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度C．在t0时刻，两车的位置相同D．在t0时刻，甲车在乙车前面【答案】BD【分析】从图象上可以看出选项B正确，选项A错误；t0时刻之前，甲车的速度一直大于乙车，时间相同的情况下，可以判断选项D正确，选项C错误.【详解】由图可知，当时间为t1时，甲车的速度小于乙车的速度，所以选项B正确，选项A错误；t0时刻之前，甲车的速度一直大于乙车，时间相同的情况下，甲车行驶路程大于乙车行驶路程，故t0时刻甲车在乙车前面.所以选项D正确，选项C错误.故选：BD10．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（）A．2B．C．1D．0【答案】AB【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．
故选AB．【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.11．(多选)某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题:已知函数的定义域为.①若当时,都有，则函数是上的奇函数；②若当时，都有，则函数是上的增函数.下列说法正确的是A．①是真命题B．①是假命题C．②是真命题D．②是假命题【答案】BD【分析】由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑，结合函数的奇偶性和单调性的定义即可判断①②．【详解】对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义；对于命题②，由于，是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义，所以两个都是假命题，故选BD.【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题．12．（多选）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是A．B．C．D．【答案】AB【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【详解】由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，则与
同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为，的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.故选AB【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，要求熟练掌握函数单调性的几种等价形式．三、填空题13．函数对任意的，都有，且.则_________.【答案】3【分析】令即可求解.【详解】令，得，.故答案为：3.14．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则a=_________.【答案】3【分析】根据函数是定义域为R的奇函数，由求解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，且时，，所以，解得.故答案为：3.15．设函数的定义域为，则函数的定义域是______．【答案】
【分析】由函数的定义域，得到，令，即可求得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，即，所以在函数中，令，解得，即函数的定义域是.故答案为：16．已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，则的取值范围___________.【答案】【分析】首先根据奇函数将原不等式变形为，再利用定义域和单调性列不等式组即可求解.【详解】因为是奇函数，所以原不等式可化为，因为定义域为且是减函数，所以，由解得：，由可得，解得：或，由可得，解得：，所以，所以的取值范围是：，故答案为：
【点睛】思路点睛：本题是利用函数的单调性解不等式，首先将比等式转化为比较两个的大小，利用单调性脱掉，注意函数的定义域.四、解答题17．已知在上的图像如图所示.（1）指出的单调区间.（2）分别指出在区间及上的最大、最小值.【答案】（1）和为单调递增区间；、和为单调递减区间，（2）区间上，最大值为，最小值为；区间上，最大值为，最小值为.【分析】（1）本题首先可以观察函数图像，然后从图像中即可判断出函数的单调区间；（2）本题首先可以先从图像中确定函数在区间上的最大、最小值，然后确定函数在区间上的最大、最小值.【详解】（1）如图，由图像可以得出：和为单调递增区间；、和为单调递减区间，（2）如图，由图像可以得出：当时，，；当时，，.
【点睛】本题考查根据函数图像判断函数的单调区间以及最值，考查学生从图像中提取信息的能力，考查数形结合思想，是简单题.18．设是实数，().（1）试证明：对于任意，在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；（2）由奇函数定义可得，化简后可求出的值【详解】（1）证明：设，且，则，由于指数函数在上是增函数，且，∴即，又由得，，∴即，∵此结论与取值无关，∴对于取任意实数，在为增函数；（2）解：若为奇函数，则，即，变形得，解得，∴当时，为奇函数.【点睛】此题考查函数单调性的证明，考查奇函数的性质，属于基础题19．已知函数，满足.（1）求常数的值.
（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据分段函数的定义域，可得，由此即可求出结果；（2）由（1）可得的解析式，然后再利用分段函数的定义域，分段解不等式，即可求出结果.【详解】（1）由，得，解得.（2）由（1）得.由得，当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了分段函数的概念和性质，属于基础题.20．已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断时函数单调性并用定义证明.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）在单调递增，见解析【分析】
（1）由题意可知，可得，对进行分类讨论即可求出结果；（2）设，求出，然后再化简分析，即可求出结果.【详解】（1），当时，；当时，.（2）证明：设，则，，，，即，即，在单调递增.【点睛】本题考查了对数函数的定义域和用定义法证明函数的单调性，属于中档题．21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式.（2）若对所有，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】
（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m的取值范围．【详解】（1）函数为定义域上的奇函数，所以，当时，，所以（2）根据题意得，函数为减函数，所以的最小值为，要使对所有，恒成立，即对所有恒成立，则即∴，∴实数m的取值范围是.22．已知函数对于任意都有且，且当时，.（1）求，判断函数的单调性并利用定义加以证明；（2）若函数为上的奇函数，当时，，解不等式【答案】（1），函数单调递增，证明见解析；（2）.【分析】（1）利用赋值法,令，求解；任取，设，由判断其符号即可.（2）根据函数的奇函数，将转化为
，利用其单调性求解.【详解】（1）当，时，，因为，所以.函数单调递增，证明如下：任意，设，则，，，，因为，，所以，所以单调递增.（2）因为，所以，所以，解得.所以不等式的解集为.
微信/支付宝扫码支付