备战2022年新高考数学45天核心考点专题24 数列不等式（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题18数列不等式一、单选题（本大题共10小题，共50分）1．已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（）A．3B．1C．-1D．-3【答案】D【解析】由，即又，所以则，即又，则，解得选项中只有选项D满足.故选：D2．已知点在函数图象上，若满足的的最小值为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于点在函数图象上，则，则，所以，，由于满足的的最小值为，则，所以，.因此，实数的取值范围是.故选：A.3．已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（）A．9B．8C．6D．7【答案】D【解析】对（）变形得：即：， 故数列是首项为8公比为的等比数列.∴，从而，.由，解得最小的正整数，故选：D.4．已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以时，，两式相减得，当为偶数时，，，所以为奇数时，，这是一个递减数列，，所以，当为奇数时，，，所以为偶数时，，这是一个递增数列，，，恒成立，所以（为奇数时）或（为偶数时），所以，所以．故选：D．5．已知数列的前项和为，且对任意恒成立，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D． 【答案】C【解析】依题意，所以，①，②①-②，得，所以，故，所以只需，则，则(为正奇数)，所以(为正奇数).根据对勾函数的特征，易得当时，的值最大，最大值为，所以，即，故所求实数的取值范围是.故选：C6．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】解析：由，可知，∴，即. 时，，∴，∴，∴，∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值为7.故选：C.7．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，，因为，所以，，则，，，对任意不等式恒成立，即对任意不等式恒成立，因为，所以，的取值范围为.故选：C. 8．若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：，是的极值点，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，又，，…，，，，；，，，，，，，，对恒成立，，则实数的最大值为.故选：C.9．已知数列满足：，则下列选项正确的是（）A．时，B．时，C．时，D．时，【答案】D又由函数，当时为单调递减函数，可得，所以，所以A错误. 对于B中，由于，且，由在上单调递增，可得，所以B错误对于C、D中，由于，可得，当，时，可得，所以C不正确；又由当，可得，从而，利用叠加法，可得，故当时，，所以D正确.故选：D.10．已知正项数列中，，，若存在实数，使得对任意的恒成立，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，，两式相减得，，，与异号，则与异号，与同号，由得：，则，，则，，，，．又，则，，又，，又，，故满足题意． 同理，由可得：，两式相减得：，与异号，则与异号，则与同号，又，，，，，故数列递减，数列递增，且，，又，则，则，记，则，，，，对任意恒成立得：，对任意恒成立得：，．故选：A.二、填空题（本大题共4小题，共20分）11．在数列中，，，，记，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】解：由题意得，，，……故猜想：，下面用数学归纳法证明： （1）当时，显然成立；（2）假设当时有，那么当时，所以当时，也成立，由（1），（2）得，所以，因为对任意的，恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，当为偶数时，有，当为奇数时，有，所以所以实数的取值范围为，故答案为：12．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______【答案】5【解析】解：由题意得，，所以，则，所以， 由，可得，解得，所以最大正整数n的值为5，故答案为：513．设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________.【答案】2【解析】由题设知：当时，，即，当时，，综上知：是公比为的正项等比数列，即，而，∴由题设知：对任意的，有成立，又，∴，整理得：恒成立，而时，∴.故答案为：2.14．若数列满足，若恒成立，则的最大值是______【答案】2【解析】由题得（1）（2）（1）-（2）得所以，适合，所以,所以数列为递增数列，所以，由题得. 所以的最大值是2.故答案为：2三、解答题（本大题共4小题，共30分）15．已知为数列的前项和，．（1）求数列通项公式；（2）设，且数列的前项和为，若求使恒成立的的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1），符合上式，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则，①②，①-②得所以等价于恒成立所以.16．已知等差数列和等比数列，且满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，，求证：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）假设等差数列的公差为和等比数列的公比为， 因为，取得，又，所以，取得，所以即，取得，所以即，联立解得：，所以，；经检验，，使得对任意的正整数都成立，所以，.（2），,,所以，即数列单调递增，所以对于任意正整数恒成立，所以对于任意正整数恒成立，所以，所以，所以得证.17．已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以 两式相减可得：所以，当时，满足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，当且仅当即时等号成立，此时，所以，所以实数的取值范围为.