备战2022年新高考数学45天核心考点专题36 坐标与距离公式（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题36坐标与距离公式一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.已知点Ѫ䍒是函数图象上的动点，则Ⰰඛ䬶䍒1的最小值是ѪA.25B.21C.20D.4【答案】C【解析】解：函数图象是半圆，圆心为Ѫ1䁩，半径为1，如图，作直线Ⰰඛ䬶1䁩，Ⰰඛ䁩1C到直线Ⰰඛ䬶1䁩的距离为，Ⰰඛ䬶Ⰰඛ䬶䍒1Ѫ䍒到直线Ⰰඛ䬶1䁩的距离为，当CP与直线垂直在如图位置时，这个距离最小，其最小值为1Ⰰ，Ⰰඛ䬶䍒1的最小值为Ⰰ䁩．故选C．.若函数ⰀѪ1的图象与直线ඛ䁩有公共点，则实数m的取值范围为ѪA.1ඛ1㈶B.11㈶C.ඛ11㈶D.䬶1㈶【答案】B【解析】解：如图，函数ⰀѪ1可化简为Ѫ1ඛⰀѪ䁩，表示的是以1䁩为圆心，2为半径的圆的下半部分，根据题意作出图像．如图， 1ඛ一个临界是直线和半圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，，解得1，正值舍去；另一个临界是直线过点1䁩代入得1．故实数m的取值范围为11．故选B．3.已知，当时，线段AB的中点轨迹方程为ѪA.1B.ඛ1C.1D.ඛ1【答案】B4.已知过点Ѫ䁩的直线l与圆心为C的圆ѪඛѪ11䁩相交于A，B两点，当香面积最大时，直线l的方程为A.ඛ䁩B.ඛ䁩或ඛ䁩C.䁩D.䁩或ඛ䁩【答案】A【解析】解：圆ѪඛѪ11䁩，圆心Ѫ1，半径为1䁩，当直线斜率不存在时，ǣ䁩，把䁩代入方程Ⰰඛ11䁩，得11ඛ1，1此时香1ඛ1，当直线的斜率存在时，设斜率为k，1香香sin，其中香，所以香最大时，sin最大，即，l的方程为䁨䁩即䁨ඛ䁩，䁨1ඛ则三角形为等腰直角三角形，点C到直线的距离为1䁩，䁨ඛ1解得䁨，故直线为ඛ䁩 1此时香1䁩1䁩，因为ᦙ，所以面积的最大值为5，此时方程为ඛ䁩．5.已知双曲线C：1Ѫᦙ䁩ᦙ䁩的一条渐近线被圆ඛ1䁩䁩截得的线段长等于8则双曲线C的离心率为Ѫ1A.B.C.3D.䬶Ⰰ䬶【答案】D【解析】解：双曲线1Ѫᦙ䁩ᦙ䁩的一条渐近线方程为ඛ䁩，圆C：ඛ1䁩䁩可化为Ѫඛ，圆心为Ѫ䁩，半径为5，渐近线被圆C：ඛ1䁩䁩所截得的弦长等于8，圆心到直线ඛ䁩的距离为䬶，䬶，ඛ，ඛ1，Ѫ1，，.䬶故选D.6.若关于x的方程䬶䁩有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是ѪⰀA.B.䬶䬶Ⰰ䬶ⰀC.D.䬶䬶【答案】D【解析】解：关于x的方程䬶䁩有两个不相等的实数解，即是，ඛ䬶的图象有两个交点，因为是以Ѫ1䁩为圆心，1为半径的上半圆，而ඛ䬶是过定点Ѫ䁩䬶的直线， 由图可知，当直线在AB和AC之间时符合要求，䬶䁩䬶当直线为AB时，，䁩ඛ䬶Ⰰ当直线为AC时，由点D到直线AC的距离等于半径可得1，解得．1ඛ䬶䬶Ⰰ故实数m的取值范围是，䬶故选D．7.已知曲线1ǣඛⰀඛ1䁩与曲线ǣѪⰀѪ䬶ඛⰀ䁩恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为ѪA.Ѫ1䬶B.Ѫ䬶C.Ѫ1䬶䬶D.Ѫ1䬶∪Ѫ䬶【答案】D【解析】解：曲线1：ඛⰀඛ1䁩，即ѪඛѪ䬶1，故曲线1是以Ѫ䬶为圆心，1为半径的圆，曲线：ѪⰀѪ䬶ඛⰀ䁩，故曲线是直线Ⰰ和直线䬶ඛⰀ䁩的组合，因为曲线1与曲线恰有三个不同的公共点，又Ⰰ已经和曲线1有公共点ѪⰀ，所以直线䬶ඛⰀ䁩和曲线1恰有两个交点，并且不经过点ѪⰀ，1故点Ѫ䬶到直线䬶ඛⰀ䁩的距离1且䬶ඛⰀⰀ䁩，解得1䬶或䬶，则实数m的取值范围为Ѫ1䬶Ѫ䬶．故选：D． 8.已知圆C：ඛඛⰀඛ1䁩，过圆外一点P作圆C的切线，切点为.若䁠Ѫ䁠为坐标原点，则的最小值为A.4B.ⰀC.Ⰰ䬶D.Ⰰ【答案】D【解析】解：设Ѫ，由题意，圆C：ඛඛ䬶的圆心为Ѫ䁩，半径为䬶，由于A为P作圆C的切线上的切点，故䁩，因为䁠，所以䁠，即ඛඛඛ䬶，整理得ඛ，故点P的轨迹为圆ඛ，所以的最小值为ඛ䁩䁩Ⰰ，故选D．9.已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点Ѫ䍒在直线l：ඛඛ䬶䁩上，则ඛ䍒的最小值为ѪA.2B.3C.4D.9【答案】D【解析】解：a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，可得ඛ，点Ѫ䍒在直线l：ඛඛ䬶䁩上，又ඛ䍒Ѫඛ䍒表示原点到Ѫ䍒的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值，䁩ඛ䁩ඛ䬶䬶可得最小值为䬶．ඛ则ඛ䍒的最小值为9．故选：D．10.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得的最小值为ѪA.B.C.4D.8【答案】B【解析】解：ѪඛⰀඛ䁩ඛඛඛ1䁩ѪඛඛѪ䁩ⰀඛѪඛ1ඛѪ䁩ඛ䬶，表示平面上点Ѫ䁩与点ѪⰀ，Ѫ1䬶的距离和， 因为ඛ，Ѫ的最小值为Ѫඛ1ඛѪⰀඛ䬶，故选B．11.已知实数x，y满足ඛ1，则䬶ඛⰀ的取值范围是Ѫ䬶A.ⰀB.ⰀⰀC.D.Ⰰ【答案】B【解析】解：因为实数x，y满足ඛ1，䬶所以：当䁩，䁩时，方程ඛ1表示的曲线是：䬶椭圆ඛ1落在第一象限那部分和与坐标轴正半轴的交点；䬶当ᦙ䁩，䁩时，方程ඛ1表示的曲线是：䬶双曲线1落在第四象限那部分；䬶当䁩，ᦙ䁩时，方程ඛ1表示的曲线是：䬶双曲线ඛ1落在第二象限那部分；䬶当䁩，䁩时，方程ඛ1变为1，曲线不存在．䬶䬶作方程ඛ1所表示的曲线C和直线䬶ඛⰀ䁩的图形如下：䬶设是曲线C上一点，䬶ඛⰀ则点P到直线䬶ඛⰀ䁩的距离，即䬶ඛⰀ．因为直线䬶ඛ䁩与直线䬶ඛⰀ䁩的距离为2，而䬶ඛ䁩是双曲线1和ඛ1的一条渐近线，䬶䬶所以点P到直线䬶ඛⰀ䁩的最大距离为2，但达不到，即Ⰰ， 因此䬶ඛⰀⰀ．设直线䬶ඛඛ䁩与椭圆ඛ1在第一象限相切，䬶则直线䬶ඛඛ䁩直线䬶ඛⰀ䁩的距离就是：点P到直线䬶ඛⰀ䁩的最小距离．䬶ඛඛ䁩由得ඛ䬶ඛ䬶䁩，ඛ1䬶因此由䁩得䬶Ⰰ䬶䁩，解得，而直线䬶ඛඛ䁩与椭圆ඛ1在第一象限相切，所以，䬶即直线䬶ඛ䁩与椭圆ඛ1在第一象限相切．䬶Ⰰ又因为直线䬶ඛ䁩直线䬶ඛⰀ䁩的距离为，所以Ⰰ，即䬶ඛⰀⰀ，因此䬶ඛⰀ的取值范围是ⰀⰀ．故选B．12.已知函数ඛsin且ඛ䬶ඛⰀඛ1䁩，则当1时，的取值ඛ1范围是1䬶䬶1ⰀⰀA.B.䁩C.D.䁩ⰀⰀⰀⰀ䬶䬶【答案】A【解析】解：Ѫ݅䍒Ѫඛ݅䍒Ѫ，即Ѫඛ݅䍒是奇函数，Ѫඛ䬶ඛѪⰀඛ1䁩，Ѫඛ䬶ѪⰀඛ1ѪⰀඛ1㈶，由Ѫ1ඛͳ䁩，函数单调递增，ඛ䬶ѪⰀඛ1，即ඛ䬶ඛⰀඛ1䁩，所以Ѫ1ඛѪ1，因为1，所以不等式对应的平面区域为圆心为Ѫ1，半径为1的圆的上半部分， 而的几何意义为动点Ѫ到定点Ѫ1䁩的斜率的取值范围．ඛ1设䁨Ѫ䁨ᦙ䁩，即䁨ඛ䁨䁩，ඛ1䁨1ඛ䁨䬶䁨1当直线和圆相切时，圆心到直线的距离为1，1ඛ䁨1ඛ䁨䬶即䁨䁨䁩，解得䁨，此时直线的斜率最大，Ⰰ1当直线䁨ඛ䁨䁩经过点香Ѫ䬶1时，直线斜率最小，此时䬶䁨1ඛ䁨䁩，解得䁨，Ⰰ1䬶所以䁨．ⰀⰀ故选A．二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于1䁩时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为1䁩.根据以上性质，函数ѪѪ1ඛඛѪඛ1ඛඛඛѪ的最小值为．【答案】ඛ䬶【解析】解：由两点间的距离公式得ѪѪ1ඛඛѪඛ1ඛඛඛѪ为点Ѫ到点香Ѫ1䁩，Ѫ1䁩，Ѫ䁩的距离之和，即求点Ѫ到点Ѫ1䁩，Ѫ1䁩，Ѫ䁩的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如图，在等腰三角形AMB中，香1䁩，1䬶䬶可得香，䁠，ͳ䬶䁩䬶䬶 䬶容易求得最小值为䬶ඛ䬶ඛඛ䬶．䬶䬶䬶故答案为：ඛ䬶．14.已知函数lnඛ，点P为函数图象上一动点，则P到直线䬶Ⰰ距离的最小值为__________.Ѫ注ln䁩.1䁩【答案】1【解析】解：ඛ，ᦙ䁩，11与直线䬶Ⰰ平行的切线斜率䁨䬶ඛ，解得1或，当1时，11，即切点为11，䬶1Ⰰ1䁩此时点P到直线䬶Ⰰ的距离为；1䁩11111当时，ln，即切点为ln，ⰀⰀ䬶111此时点P到直线䬶Ⰰ的距离为：ⰀඛlnⰀⰀln11Ⰰln1䁩1䁩，ᦙ1䁩1䁩Ⰰ䁩1䁩故答案为．15.罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：䬶ඛ䬶1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C围成的图形的面积S____Ѫ选填“ᦙ”、“”、“”，曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是______________．1【答案】；1【解析】解：星形线如图红线所示，当䁩时，1，当䁩时，1，所以星形线顶点坐标分别为Ѫ1䁩，Ѫ䁩1，Ѫ1䁩，Ѫ䁩1，连接这四个点，构成一个正方形，1如图黑色线所示，正方形面积为，星形线面积小于正方形面积，所以．当动点运动至曲线顶点时，到原点距离最大，最大值为1，当动点运动至如图A点Ѫ横纵坐标相等时，到原点的距离最小，1将代入方程䬶ඛ䬶1中，解得，111此时动点与原点的距离为ඛඛ， 1故取值范围为1．1故答案为；1．16.设点P是直线䬶Ⰰඛ䁩上的动点，过点P引圆Ѫ1ඛѪᦙ䁩的切线PA，香Ѫ切点为A，香，若香的最大值为，则该圆的半径r等于___________．䬶【答案】1【解析】解：结合题意，绘制图象如图，可知当香取到最大值时，则也取到最大值，而，当PC取到最小值时，取到最大值，故PC的最小值为点Ѫ1䁩到直线l的距离d，䬶Ѫ1ඛ䁩故，故，解得1．䬶ඛⰀ故答案为1．17.已知点Ѫ是直线kxඛඛⰀ䁩Ѫ䁨ᦙ䁩上一动点，PA，PB是圆C：ඛ−䁩的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．【答案】2【解析】解：∵圆的方程为：ඛѪ−11，∴圆心Ѫ䁩1，半径1．根据题意，若四边形面积最小，得圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时， 1切线长PA，PB最小，且满足×AC×PA×AC1∴切线长为2，即PAPB，∴圆心到直线l的距离为.直线方程为kxඛඛⰀ䁩，1ඛⰀ∴，解得䁨±，䁨ඛ1∵䁨ᦙ䁩，∴所求直线的斜率为：2．故答案为2．18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆ǣඛ与圆ǣඛඛඛ䁩相交于A，B两1点.若圆1上存在点P，使得香为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______．【答案】ඛ【解析】解：两圆方程相减得直线AB为：ඛඛ䁩，当或时，设1到AB的距离为d，因为香等腰直角三角形，1所以香，即，所以，所以，解得，ඛ1当香䁩时，AB经过圆心，则䁩，即，1故答案为：ඛ．