2022年高考数学重点必备解题方法01 集合问题常见结论的巧用(解析版)

专题01集合问题常见结论的巧用一、集合相等结论两个集合相等的两个解决思路:(1)一个集合所有元素的和与积分别等于于另一个集合所有元素的和与积;(2)两个集合中对应元素相等(注意分母不能为0).例1:某含有三个元素的集合可以表示为,也可以表示为,求的值.【分析】可直接根据集合相等元素和与积对应相等的结论求值,求值时要注意集合元素的互异性.【解析】因为,由集合相等的结论知,解得,显然违背集合元素互异性,所以,所以.例2:已知集合若,求的值.【分析】并不是所有题都可以通过元素和与积相等的结论来解决.有部分题目中含有较多元素,通过和与积相等建立方程组解题较为困难.此题要解决的求值问题,应根据相等集合的对应元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式进行解答.【解析】根据题意,通过集合相等结论建立方程组解题难度较大.可进行分类谈论,分两种情况进行讨论:①若,消去,得.当时,集合中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故.所以,即,此时中的三个元素又相同,所以.所以此时无解.②若.消去得因为,所以,即所以.综上可知,.评注: 1.解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.2.有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手,把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题,通过逐一判断来解决这些问题,从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法就是分类讨论的方法,要学会并能灵活运用这种思维方法.二、集合运算的相互转化两集合之间的关系与运算可以相互转化，即.例3:已知集合若,则实数的值是()A.0B.2C.0或2D.0或1或2【答案】C【解析】因为,所以,因此或故选例4:已知集合若,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】故选三、整数集结论若整数集的元素可用表示,则整数分类的标准可以按照余数来分类:若分成两类，则可用,(或,)()表示,其中和都表示奇数;若分成三类，则可用,,(或,,)()表示,其中和表示一类数,和表示一类数;若分成四类,则可用,,,(或,,,)()表示.....以此类推.例5:设集合,则(). 【答案】【解析】,即,即,奇数集是整数集的真子集.因此.故选.例6:已知集合,则之间的关系是（）.A.B.C.D.【答案】【解析】判断集合中元素的共性和差异.因为与表示一类数,所以又因为,每当时,所以表示的数集范围比大,所以故选.评注:辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手,可将元素列举出来直观分析也可从描述法中认识集合中元素具备的特性定性分析,以上两种思想是解决此类问题的通法,应根据问题的具体情况合理选择.四、子集个数结论结论1:设集合中有个元素,则的子集的个数是的真子集的个数是的非空子集的个数是的非空真子集的个数是. 结论2:设集合中有个元素,集合中有个元素.(1)若,则集合的个数是;(2)若,则集合的个数是;(3)若,则集合的个数是;(4)若,则集合的个数是.例7:求满足的集合的个数.【分析】依题意,集合中一定含有元素1,3,另外还可含有2,4,5中的0个、1个或2个元素,所以本题可转化为求集合的子集个数问题.【解析】析依题意,集合的个数即为集合的真子集个数,共有个.例8:同时满足:(2)的非空集合有()A.16个B.15个C.7个D.6个【答案】【解析】由题知时,,即1与5作为一个整体同时存在;同理时,与4作为一个整体同时存在;时,自己作为一个整体;所以非空集合的个数等价于三个整体构成集合的非空子集的个数:(个).故选C.五、补集结论设为全集,集合A,B是它的两个子集,则,例9:已知全集,集合.求.【分析】若先求补集再求并集,相当麻烦,因此可以考虑将转化为求解. 【解析】因为,所以.例10:已知全集中有个元素,中有个元素.若非空，则的元素个数为().A.B.C.D.【答案】【解析】注意到,则中元素的个数为故选六、空集的解读结论1:空集是不含任何元素的集合.结论2:空集是任何集合的子集.结论3:空集是任何非空集合的真子集.结论4:空集与任何集合的交集仍是空集.结论5:空集与任何集合的并集仍是集合.例10:已知集合,若,则实数的取值组成的集合是().A.B.C.D.【答案】D【解析】(1)当时,方程无解,所以,满足(2)当时,方程的解为,要使,则,或解,或综上可知,,或,或,故的取值的集合是故选 达标训练1．已知集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由是集合，所以，因为,由集合相等结论知,因为，所以,得.故选D.2．若集合，，则集合之间的关系为（）A．B．AC．D．【答案】C【详解】原集合变形为，,都表示所有奇数．故选：C.3．已知集合，若，则（）A．1B．0C．D．无法确定【答案】C【分析】此题目通过元素和与积相等的结论来解决较为困难.可根据相等集合的对应元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式进行分类讨论进行解答.【详解】由可知，，因为，所以或，①当时，得或（舍），则，解得或（舍）， 此时，符合题意，此时；②当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时.综上所述：.故选：C4．已知集合，则集合的子集个数是（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【分析】利用列举法求出A集合中的元素，再求出，然后求出的子集个数.【详解】中有3个元素的子集个数是个.故选：B5．设集合，则满足的非空集合B的个数是（）A．1B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据给定条件可得，且，求出集合A的非空子集个数即可.【详解】依题意，，因此有，且，而集合A的子集有个，则集合A的非空子集有7个，所以符合条件的非空集合B的个数是7.故选：C二、多选题6．设集合，，，则下列说法中正确的是（） A．ÜB．ÜC．D．【答案】CD【分析】根据题意列举出集合M，N，P，进行判断．【详解】，，，故Ü，Ü.，故A错，，故B错，，故C对，，故D对，故选：CD．三、填空题7．已知集合M，N，若，则实数m的值为___________.【答案】0【分析】根据两个集合的包含关系，可得，解得m的值【详解】因为，所以N中元素来自于，故，解得：.故答案为：08．设集合，，，则集合的子集个数为___________.【答案】【分析】解不等式可求得集合，由交集和补集定义可求得，结合元素个数可得结果. 【详解】，，，则的子集个数为个.故答案为：.四、解答题9．若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值．【答案】,【分析】此题通过集合相等,则集合内元素和与积相等的结论来解决较为简单,通过和与积相等建立方程组解题.【详解】因为,集合相等的结论知,解得,显然违背集合元素互异性,所以,.10．已知全集，若集合，或.（1）求，，；（2）若集合且，求实数的取值范围.【答案】（1），或，；（2）.【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义可求得结果；（2）分析可知，求出集合，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为全集，，或，所以，，或， 所以；（2）因为，则，，故.所以，实数的取值范围为.