2022高考数学满分突破之解析几何篇 02 直线与椭圆方程（解析版）

专题02直线与圆锥曲线方程【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：第一步：代入消元，联立化简：第二步：计算判别式可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式，第四步：利用，计算第五步：利用，计算第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,，计算第九步：利用,计算【考点精选例题精析】：例1．（2020·高三二测）已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意知：，∴，∴.设的内切圆半径为，则，故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，所以，把代入，解得：，所以椭圆方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，则，所以的中点坐标为，所以.因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，令，得，即，所以所以，所以为定值，定值为4。例2．（2020·安徽省淮北市高三一模（理）已知椭圆过点离心率为.（1）求的方程；（2）如图，若菱形内接于椭圆，求菱形面积的最小值.【答案】（1）；（2）4 【解析】（1）由题意得又解得，.所以的方程为（2）①当与轴或轴重合时，可求菱形的面积为；②当为时，为，由得，所以由弦长公式得，同理可得所以菱形的面积为∵∴，当且仅当时取等号.∵∴菱形面积的最小值为4。例3．（2020·福建省泉州市高三质检）已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上. （1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在x轴上的定点，使得【解析】（1）因为椭圆E的离心率，所以①，点在椭圆上，所以②，由①②解得，.故E的方程为.（2）假设存在定点，使得.由对称性可知，点必在轴上，故可设.因为，所以直线与直线的倾斜角互补，因此.设直线的方程为：，，由消去，得，，所以，所以，，因为，所以，所以，即. 整理得，所以，即.所以，即，对恒成立，即对恒成立，所以.所以存在定点，使得.例4．（2020·北京市西城区高三一模）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为. (Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形. 【达标检测】：1．（2020·高三二诊）已知椭圆的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.【答案】(1).(2)为定值.过程见解析.【解析】（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：，两式相减并整理可得，，即.又因为，，代入上式可得，.又，所以，故椭圆的方程为.（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时；否则，可设直线的方程为，联立，消可得，， 则有：，所以设直线方程为，联立，根据对称性，不妨得，所以.故，综上所述，为定值.2．（2020·高三二测）已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意知：，∴，∴.设的内切圆半径为， 则，故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，所以，把代入，解得：，所以椭圆方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，则，所以的中点坐标为，所以.因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，令，得，即，所以所以，所以为定值，定值为4。3．（2020·陕西省高三教学质量检测一（理））设椭圆C的方程为，O为坐标原点，A为椭团的上顶点，为其右焦点，D是线段的中点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作轴，轴，垂足分别为 E，F，连接，并延长交椭圆C于点M，N两点.（ⅰ）判断的形状；（ⅱ）求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）（ⅰ）为直角三角形（ⅱ）【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得，D为的中点，∴，∴，∴，∴椭圆的方程为.（2）（1）设直线的方程为，且点P在第一象限，联立消去y得，显然，∴，.又∵轴，∴，∴，∴直线的方程为，联立消去y得， ，∴.∵，∴，，∴，∴，即为直角三角形.（ⅱ）根据图形的对称性可知，四边形面积是面积的2倍，由（ⅰ）知为直角三角形，且，∴.又，， ∴.令，∵，∴，∴，而在上单调递增，所以，所以即当时，最大，此时的面积也达到最大，由对称性可知，故当时，最大，.