2022高考数学满分突破之解析几何篇 02 直线与椭圆方程(解析版)
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2022高考数学满分突破之解析几何篇 02 直线与椭圆方程(解析版)

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时间:2022-03-11

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资料简介
专题02直线与圆锥曲线方程【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】:第一步:代入消元,联立化简:第二步:计算判别式可直接利用结论:(范围、最值问题)第三步:根与系数关系表达式,第四步:利用,计算第五步:利用,计算第六步:利用,,计算弦中点第七步:利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,,计算第九步:利用,计算【考点精选例题精析】:例1.(2020·高三二测)已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合)已知的内切圆半径的最大值为,椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过的直线交椭圆于两点,过作轴的垂线交椭圆与另一点(不与重合).设的外心为,求证为定值.【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)由题意知:,∴,∴.设的内切圆半径为,则,故当面积最大时,最大,即点位于椭圆短轴顶点时,所以,把代入,解得:,所以椭圆方程为. (2)由题意知,直线的斜率存在,且不为0,设直线为,代入椭圆方程得.设,则,所以的中点坐标为,所以.因为是的外心,所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点,的垂直平分线方程为,令,得,即,所以所以,所以为定值,定值为4。例2.(2020·安徽省淮北市高三一模(理)已知椭圆过点离心率为.(1)求的方程;(2)如图,若菱形内接于椭圆,求菱形面积的最小值.【答案】(1);(2)4 【解析】(1)由题意得又解得,.所以的方程为(2)①当与轴或轴重合时,可求菱形的面积为;②当为时,为,由得,所以由弦长公式得,同理可得所以菱形的面积为∵∴,当且仅当时取等号.∵∴菱形面积的最小值为4。例3.(2020·福建省泉州市高三质检)已如椭圆E:()的离心率为,点在E上. (1)求E的方程:(2)斜率不为0的直线l经过点,且与E交于P,Q两点,试问:是否存在定点C,使得?若存在,求C的坐标:若不存在,请说明理由【答案】(1)(2)存在x轴上的定点,使得【解析】(1)因为椭圆E的离心率,所以①,点在椭圆上,所以②,由①②解得,.故E的方程为.(2)假设存在定点,使得.由对称性可知,点必在轴上,故可设.因为,所以直线与直线的倾斜角互补,因此.设直线的方程为:,,由消去,得,,所以,所以,,因为,所以,所以,即. 整理得,所以,即.所以,即,对恒成立,即对恒成立,所以.所以存在定点,使得.例4.(2020·北京市西城区高三一模)设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析【解析】(Ⅰ),,故,,,.故四边形的面积为. (Ⅱ)设为,则,故,设,,故,,同理可得,,故,即,,故.(Ⅲ)设中点为,则,,相减得到,即,同理可得:的中点,满足,故,故四边形不能为矩形. 【达标检测】:1.(2020·高三二诊)已知椭圆的焦距为,斜率为的直线与椭圆交于两点,若线段的中点为,且直线的斜率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点,且满足,问:是否为定值?若是,求出此定值,若不是,说明理由.【答案】(1).(2)为定值.过程见解析.【解析】(1)由题意可知,设,代入椭圆可得:,两式相减并整理可得,,即.又因为,,代入上式可得,.又,所以,故椭圆的方程为.(2)由题意可知,,当为长轴时,为短半轴,此时;否则,可设直线的方程为,联立,消可得,, 则有:,所以设直线方程为,联立,根据对称性,不妨得,所以.故,综上所述,为定值.2.(2020·高三二测)已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合)已知的内切圆半径的最大值为,椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过的直线交椭圆于两点,过作轴的垂线交椭圆与另一点(不与重合).设的外心为,求证为定值.【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)由题意知:,∴,∴.设的内切圆半径为, 则,故当面积最大时,最大,即点位于椭圆短轴顶点时,所以,把代入,解得:,所以椭圆方程为.(2)由题意知,直线的斜率存在,且不为0,设直线为,代入椭圆方程得.设,则,所以的中点坐标为,所以.因为是的外心,所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点,的垂直平分线方程为,令,得,即,所以所以,所以为定值,定值为4。3.(2020·陕西省高三教学质量检测一(理))设椭圆C的方程为,O为坐标原点,A为椭团的上顶点,为其右焦点,D是线段的中点,且.(1)求椭圆C的方程;(2)过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P,Q两点,分别作轴,轴,垂足分别为 E,F,连接,并延长交椭圆C于点M,N两点.(ⅰ)判断的形状;(ⅱ)求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)(ⅰ)为直角三角形(ⅱ)【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意可得,D为的中点,∴,∴,∴,∴椭圆的方程为.(2)(1)设直线的方程为,且点P在第一象限,联立消去y得,显然,∴,.又∵轴,∴,∴,∴直线的方程为,联立消去y得, ,∴.∵,∴,,∴,∴,即为直角三角形.(ⅱ)根据图形的对称性可知,四边形面积是面积的2倍,由(ⅰ)知为直角三角形,且,∴.又,, ∴.令,∵,∴,∴,而在上单调递增,所以,所以即当时,最大,此时的面积也达到最大,由对称性可知,故当时,最大,.

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