2022版新高考数学人教版一轮练习：（28） 平面向量的数量积

[练案28]第三讲　平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　B　)A．－1　　B．0　　C．1　　D．2[解析]　由已知得|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ＝60°，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cosθ－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.2．(2021·安徽六校联考)向量a＝(2，4)，b＝(5，3)，则a·(a－b)＝(　D　)A．－10　　B．14　　C．－6　　D．－2[解析]　∵a－b＝(－3，1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.3．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝(　B　)A．　　B．1　　C．4　　D．3[解析]　因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，又因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos60°＋4|b|2＝(2)2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故选B.4．(2021·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，＝，且||＝2，||＝8，∠ACB＝，则·＝(　A　)A．24　　B．12C．24　　D．12[解析]　设||＝x，∵2＝＋，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴·＝(＋)·＝(2＋·)＝×(64－16)＝24.故选A.5．(2021·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b －a的夹角为(　D　)A．　　B．C.　　D．[解析]　解法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为.解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为.6．(2021·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则在方向上的投影等于(　C　)A．－　　B．　　C．　　D．3[解析]　因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示， 所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.因为||＝||＝||，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，||＝||sin60°＝，所以在方向上的投影为||cos∠ABC＝||cos30°＝×＝.二、多选题7．(2021·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(　CD　)A．a＋b　　B．a＋bC．a－b　　D．a－b[解析]　∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|a－b|2＝(4a2－4a·b＋b2)＝1，故选C、D.[优解]　如图，令＝a，＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴||＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是单位向量.a－b＝(a－b)＝，又∵||＝，故选C、D. 8．(2021·江西期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(　BC　)A．　　B．C．(2，＋∞)　　D．[解析]　∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1－.又a≠μb(μsinA，∴B>A，故A为锐角，∴cosA＝，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，∴·＝accos(π－B)＝－accosB＝－ac≥－5.故·的最小值为－5.