第三节 圆的方程
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课前·基础巩固
【教材回扣】1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程______________________(r＞0)圆心为________，半径为________一般方程________________________(D2＋E2－4F＞0)圆心为_____________，半径为________(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(－，－)
2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则______________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则_______________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则_______________________．(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．确定圆的几何要素是圆心与半径．()2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为(－，－a)，半径为的圆．()3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()4．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()√×√√
题组二教材改编1．圆心为C(8，－3)，且过点A(5，1)的圆的方程是()A．(x－8)2＋(y＋3)2＝5B．(x＋8)2＋(y－3)2＝5C．(x＋8)2＋(y－3)2＝25D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25解析：圆的半径为|AC|＝＝5故圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.故选D.答案：D
2．圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是()A．(x－2)2＋y2＝10B．(x－2)2＋y2＝100C．(x＋2)2＋y2＝10D．(x＋2)2＋y2＝100解析：由题意知，圆心在AB的垂直平分线上，其方程为x＋y－2＝0.又因为圆C和圆心在x轴上，所以两交线的交点就为圆心，即为C(2，0)，则圆的半径为|AC|＝＝.故圆C的方程是(x－2)2＋y2＝10，故选A.答案：A
3．(一题两空)当m∈______时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，此时半径最大时圆的一般方程为________．解析：原方程化为(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，当－m2＋2m＋3＞0，即－1＜m＜3时，方程表示圆．由－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4知，当m＝1时，圆的半径最大，此时圆的方程为：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案：(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
题组三易错自纠1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－，＋∞)B．(－∞，－2，＋∞)C．(－∞，－，＋∞)D．(－∞，－2，＋∞)解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得(x＋)2＋(y－1)2＝－2.由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2.故选B.答案：B
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±4解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.故选A.答案：A
3．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．解析：由题意可设圆心坐标为(a，a)则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝9∴|a|＝r＝3，∴a＝±3，∴所求圆的方程为：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9.答案：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
课堂·题型讲解
题型一 求圆的方程[例1](1)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A．(x－)2＋y2＝B．(x＋)2＋y2＝C．(x－)2＋y2＝D．(x－)2＋y2＝解析：由题意可设圆E的圆心坐标为(a，0)(a＞0)，半径为r则有解得a＝，r2＝，故所求圆的方程为(x－)2＋y2＝.故选C.答案：C
(2)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8D．x2＋(y－1)2＝16解析：由题意可得圆心(0，1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝＝＝≤.当且仅当b＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r＝，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.答案：B
类题通法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
巩固训练1：(1)经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：由，得，即所求圆的圆心坐标为(1，1)．又由该圆过点(1，0)，∴半径为1，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选B.答案：B
(2)圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为________．解析：设圆C上的任意一点M(x，y)，则点M关于y＝－x的对称点为(－y，－x)．∵点(－y，－x)在圆(x－1)2＋y2＝1上，∴(－y－1)2＋(－x)2＝1即x2＋(y＋1)2＝1.答案：x2＋(y＋1)2＝1
题型二 与圆有关的轨迹问题[例2]已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：(1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
类题通法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
巩固训练2：设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
解析：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为()，线段MN的中点坐标为()．因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝＝，整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点(－)和(－)，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点(－)和(－)．
题型三 与圆有关的最值问题高频考点角度1|斜率型最值问题[例3]已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任一点，则的最大值为________．解析：设＝k，即kx－y－k＋2＝0，圆心C(－2，0)，r＝1.当直线与圆相切时，k有最值，∴＝1，解得k＝，∴的最大值为.答案：
类题通法形如μ＝型的最值问题，可转化为过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如＝表示过坐标原点的直线的斜率．
巩固训练3：已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
角度2|截距型问题[例4]已知点P(x，y)在C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．解析：设x＋y＝b，则当直线x＋y＝b与圆(x＋3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则||＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2.所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
类题通法求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值，具体方法是：(1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；(2)把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值．
巩固训练4：已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是()A．(－2，4)B．[－2，4]C．[－4，4]D．[－4，2]解析：∵y≥0，∴x2＋y2＝4为上半圆，如图，当直线过点(－2，0)时，m＝－2，∴即解得m∈[－2，4].故选B.答案：B
角度3|距离型最值问题[例5]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．解析：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
类题通法求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解．
巩固训练5：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝＋(y0－1)2＝)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.答案：74
角度4|利用对称性求最值[例6]已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值为________.解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，则圆心C(2，1)，半径r＝.设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B(a，b)，则，∴a＝－4，b＝－2，∴B(－4，－2)．∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝＝2.答案：2
类题通法形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
巩固训练6：已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5－4B．－1C．6－2D．解析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标(3，4)，半径为3，由图象可知当P，C2，A三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，(|PM|＋|PN|)min＝|AC2|－r1－r2＝－4＝－4＝5－4.故选A.答案：A
高考·命题预测
[预测1]核心素养——直观想象、数学运算已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值为________．解析：|3x＋4y－26|最小值的几何意义是圆心到直线3x＋4y－26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x＋4y－26|min＝5(－r)，(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2，3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为＝4，所以|3x＋4y－26|的最小值为5×(4－1)＝15.答案：15
[预测2]新题型——多选题已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为()A．x2＋(y＋)2＝B．x2＋(y－)2＝C．(x－)2＋y2＝D．(x＋)2＋y2＝解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋(y±)2＝.故选AB.答案：AB
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