第五节 椭圆
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课前·基础巩固
【教材回扣】1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的_____等于_____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝_____}，|F1F2|＝2c＜2a，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．和常数焦点焦距2a
2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形
性质范围________________________________________________对称性对称轴：________对称中心：____顶点A1________，A2_______B1________，B2_______A1________，A2________B1________，B2________轴长轴A1A2的长为____短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率e＝，e∈________a，b，c的关系c2＝________－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a坐标轴原点(－a，0)(a，0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b，0)(b，0)2a2b2c(0，1)a2－b2
【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()2．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()3．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()4．＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．()×√√√
题组二教材改编1．(多选题)椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k＜9)的()A．长轴长相等B．焦点相同C．离心率相等D．焦距相等解析：由椭圆＋＝1表示焦点为(±4，0)，长轴长为10，离心率为，焦距为8.椭圆＋＝1(k＜9)表示焦点为(±4，0)，长轴长为，离心率为，焦距为8，故选BD.答案：BD
2．如果椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是()A．6B．12C．14D．26解析：由椭圆＋＝1知a＝10.由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，∴|PF2|＝20－|PF1|＝20－6＝14.故选C.答案：C
3．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________________．解析：设P(x，y)是椭圆上的一点，则＝×2c×|y|＝1，∴|y|＝1.将|y|＝1代入椭圆方程＋＝1得：＋＝1，解得|x|＝.又点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，所以x＝.∴点P的坐标为(，1)或(，－1).答案：(，1)或(，－1)
题组三易错自纠1．已知F1，F2为平面内两个定点，|F1F2|＝2020，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2020，则点P的轨迹是()A．椭圆B．圆C．线段D．无轨迹解析：由|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2020知点P的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选C.答案：C
2．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A．(－3，5)B．(－5，3)C．(－3，1)∪(1，5)D．(－5，1)∪(1，3)答案：C
3．已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为________．解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝，由＝，即＝，解得m＝3；若a2＝m，b2＝5，则c＝.由＝，即＝，解得m＝7.答案：3或7
第1课时 椭圆及其性质
课堂·题型讲解
题型一 椭圆定义的应用角度1|利用定义求轨迹方程[例1]已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.故选D.答案：D
类题通法通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程．
巩固训练1：已知A(－，0)，B是圆(x－)2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．解析：如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|＞|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.答案：x2＋＝1
角度2|利用定义解决焦点三角形问题[例2]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．答案：3
类题通法利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
巩固训练2：过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为()A．8B．4C．4D．2解析：因为＋y2＝1，所以a＝2.由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8.答案：A
角度3|利用定义求最值[例3]在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．3C．4D．5解析：由题意知椭圆＋＝1的焦点坐标为B(0，－1)，B′(0，1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，得|PB|＝4－|PB′|.∴|AP|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当P在AB′延长线上时，等号成立．故|PA|＋|PB|的最大值为5.故选D.答案：D
类题通法抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
巩固训练3：已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.答案：6＋6－
题型二 椭圆的标准方程[例4](1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1答案：C
解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选C.
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－，)，(，)，则椭圆的方程为________．答案：＋＝1
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________________．答案：＋＝1
解析：法一(定义法)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义，知2a＝＋解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(待定系数法)∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在所求椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
类题通法求椭圆方程的两种方法1．定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．2．待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可．
巩固训练4：(1)[2021·山东烟台诊断]已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：设|MF1|＝m，|MF2|＝n.∵MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，∴m2＋n2＝20，mn＝8，∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3.∵c＝，∴b＝＝2，∴椭圆的方程是＋＝1.故选C.答案：C
(2)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由e＝，得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.故选A.答案：A
(3)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆标准方程为________．答案：＋＝1或＋＝1
解析：解法一∵e＝＝＝＝＝，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m＞n＞0)，则1－()2＝.从而()2＝，＝.又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6.∴方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(m＞n＞0)，则＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝.故所求方程为＋＝1.
解法二 若焦点在x轴上，所求椭圆方程为＋＝t(t＞0)，将点(2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ＞0)，代入点(2，－)，得λ＝，∴所求方程为＋＝1.
题型三 椭圆的几何性质[例5](1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)解析：由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3，0)，故c＝3，又因为2b＝8，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝16＋9＝25.故a＝5.所以椭圆的左顶点为(－5，0).故选D.答案：D
(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：依题意可知a＝b，即b＝a.又c＝＝＝a，所以该椭圆的离心率e＝＝.故选B.答案：B
(3)(多选题)[2021·山东潍坊模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为(0，)D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋答案：ACD
解析：由题意知，F1(－1，0)，F2(1，0).对于A：由椭圆的定义知，|QF1|＋|QF2|＝2a，所以|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|≥2a－|PF2|＝2a－1，当P，Q，F2三点共线时等号成立，故A正确；对于B：若椭圆C的短轴长为2，则b＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，椭圆C的方程为＋y2＝1.因为＋12＞1，所以点P在椭圆外，不符合题意，故B错误；对于C：因为点P(1，1)在椭圆内，所以＋＜1，即b2＋a2＜a2b2.又b2＝a2－c2＝a2－1，所以a2－1＋a2＜a2(a2－1)，整理得a4－3a2＋1＞0，解得a2＜或a2＞.因为a2＞1，所以a2＞，则e2＝＜＝＝()2.又0＜e＜1，所以0＜e＜，故C正确；对于D：因为＝，所以F1为线段PQ的中点，则Q(－3，－1)，由椭圆定义可得，2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋，故D正确．故选ACD.
类题通法1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e的不等式再求解．(3)由椭圆的定义求离心率．e＝＝，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．
巩固训练5：(1)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5答案：A
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为(，)，又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝.故选D.答案：D
(3)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是________．解析：如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈[，1).答案：[，1)
高考·命题预测
[预测1]核心素养——逻辑推理、直观想象已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A．－1B．2－C．D．解析：∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝－1.故选A.答案：A
[预测2]新题型——多选题设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF周长的取值范围是[6，12]C．当m＝时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为答案：ACD
解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|为定值6，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0，6)，所以△ABF周长的取值范围是(6，12)，B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B(，).又易知F(，0)，所以·＝(＋)(－)＋(－)2＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，所以S△ABF＝×2×1＝，D正确．
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