专题6.5《平面向量》单元测试卷考试时间：120分钟满分：150注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·泉州鲤城北大培文学校高一期末）下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若与都是单位向量，则C．D．若，则【答案】C【解析】利用向量的定义和性质判断即可.【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A错误；对于B，，与的夹角不确定，故B错误；对于C，由向量数乘的定义可知正确；对于D，，说明与垂直，故D错误；故选：C.2．（2021·河北高一期末）在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由向量的线性运算直接转化求解即可.
【详解】，.故选：B.3．（2021·湖北高一期末）已知向量，，若，则（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出【详解】因为，所以，解得，所以，所以，故选：C.4．（2021·湖南高二期末）在中，，点是边上的中点，，，则的值为（）A．B．C．14D．【答案】A【解析】充分利用直角三角形的特点，向量的加减法运算，以及来求解，将转化为已知长度的来计算.
【详解】，，则．故选：A5．（2021·泉州鲤城北大培文学校高一期末）设，，且，则锐角的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由向量共线的坐标表示列出关于的三角函数式，由三角运算求出角.【详解】解：∵，，且，∴，∴．∵为锐角，．故选：6．（2021·天津高一期中）在中，若，且，则为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】
由，可得，得，由可得,从而可判断出三角形的形状【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以为等腰直角三角形，故选：C7．（2021·湖北高一期末）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）A．B．10C．D．5【答案】A【解析】由向量的线性运算，求得，根据三点共线，得到，列出方程组，即可求解.【详解】由，，可得，因为，，三点共线，所以，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，解得，.故选：A.8．（2021·湖北高一月考）G是的重心，分别是角的对边，若
，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由G是的重心，得，可令，可求得，再运用余弦定理计算可得选项.【详解】因为G是的重心，所以，又，可令，解得，所以，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·辽宁高一期中）设向量，，则（）A．B．与的夹角是C．D．与同向的单位向量是【答案】BC【解析】由条件算出，，即可判断A，算出的值可判断B，算出的值可判断C，与同向的单位向量是，可判断D.【详解】因为，，
所以，，故A错误因为，所以与的夹角是，故B正确因为，所以，故C正确与同向的单位向量是，故D错误故选：BC10．（2021·福建漳州市·高一期末）设向量、满足，且，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】将等式两边平方，求出，可判断AD选项的正误，利用平面向量数量积可判断BC选项的正误.【详解】，在等式两边平方可得，可得，故A选项正确，D选项错误；，B选项错误；，C选项正确.故选：AC.11．（2021·湖南高一期中）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．与的夹角为【答案】BC【解析】由，，，求得，再逐项判断.【详解】
，∴，∴，∴，，，∴与的夹角不是，故选：BC.12．（2021·湖北高一期中）下列关于平面向量的说法中错误的是（）A．若，则存在唯一的实数，使得B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C．若且，则D．若点为的垂心，则【答案】ABC【解析】直接利用向量的共线，向量的坐标运算，向量垂直的率要条件，向量的数量积的应用判断A，B，C，D的结论即可【详解】解：对于A，当时，满足，但不满足存在唯一的实数，使得，所以A错误；对于B，因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，与共线，所以且，所以B错误；对于C，由于，，所以当时，等号成立，所以C错误；对于D，因为点为的垂心，所以，所以,所以
,同理可得所以，所以D正确，故选：ABC第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·河北高一期末）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是___________．【答案】或.【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.【详解】由题意，单位向量与向量共线，则向量，即向量的坐标是或.14．（2021·陕西商洛市·高二期末（理））已知向量与垂直，则___________.【答案】【解析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由即可求值.【详解】由题意，，则，.故答案为：15．（2021·高二期末）已知向量，且，那么与的夹角大小是___________.【答案】【解析】根据题意求出，
，然后根据平面向量的夹角公式求解即可.【详解】，，，所以，故答案为：16．（2021·湖南长沙市·长郡中学高一期末）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，点在边上，且，，则的面积最大值为___________.【答案】【解析】利用余弦定理求得，从而求得角，然后利用平面向量数量积结合基本不等式求得的最大值，然后利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为，所以，即，所以.因为，解得.
因为，故，所以，由基本不等式可得，，当且仅当，时，等号成立，即的最大值为，所以.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·湖北高一期中）已知向量，.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设，利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，代入模即可求出的值．【详解】解：（1）设，因为，所以，因为，所以，解得或，所以或.（2）因为向量与互相垂直
所以，即，而，，所以，，因此，解得.18．（2021·湖南高一期中）在中，是的中点，，，.（1）求的面积；（2）若为上一点，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据为中线可得，两边平方后可求，求出后可求三角形的面积.（2）根据三点共线可求的值.【详解】（1）∵是中点，且，，，∴，∴，∴，∴，而为三角形内角，故，∴.（2）∵，且，，三点共线，∴，解得.19．（2021·安徽高二期末（文））已知在中，角的对边分别为，且
，．（1）求；（2）若，且，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用余弦定理角化边可化简已知等式得到关于的方程，解方程求得；（2）根据平面向量基本定理可确定，利用可构造方程求得，进而求得，开平方得到结果.【详解】（1），，，解得：（舍）或，.（2）由可知：是上靠近的三等分点，，，解得：，，.20．（2021·湖南高一期中）在条件①；②；③中任选一个，补充以下问题并解答：
如图所示，中内角A､B､C的对边分别为a､b､c，___________，且，D在AC上，.（1）若，求；（2）若，求AC的长.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】若选①，由正弦定理可得，化简后再利用余弦定理可求出，；若选②，由结合，可得，化简后可得，从而可求出；若选③，对利用二倍角公式化简可得，再由正弦定理得，从而由余弦定理可求出，（1）由题意可得为等边三角形，所以，然后在中，利用正弦定理可求出的值；（2）设，则，，在中利用余弦定理可求出，从而可求出AC的长【详解】解：选①，，由正弦定理得，，整理得，，由余弦定理得：，由A为三角形内角得，；
选②，，由得，因为，所以，即，由于，所以，即，故；选③，，所以，整理得，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，由A为三角形内角得，；（1）因为，，且，所以为等边三角形，所以，，，中，由正弦定理得，，即，所以，（2）设，则，，中，由余弦定理得，，故，.21．（2021·湖北高一期中）在中，角，，所对的边分别为，，且.（1）求；
（2）已知，若为的中点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理把转化为可求得；（2）由，两边平方可求得长，从而求得的面积．【详解】解：（1）因为，由正弦定理得，即，所以，因为在中，，所以，因为，所以.（2）因为为的中点，则两边平方得，因为，所以，解得或(舍去)，所以的面积为.22．（2021·湖南高一期末）已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点.
（1）.求；（2）当的周长为2时，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】（1）用基底表示向量，利用向量的运算法则求解即可；（2）的周长为2时，设，，计算、和的值，从而求得的值．【详解】（1）因为,（2）设，，，其中、、；则，，的周长为，解得则，同理；，，
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