专题3.4幂函数新课程考试要求1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5--10）、数学建模、逻辑推理（例10）、直观想象（例2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；2.幂函数的图象与性质的应用.3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.【知识清单】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【考点分类剖析】考点一：幂函数的概念例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.
【答案】(1)m＝1.(2)m＝－1.(3).(4)－1±.【解析】(1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则，∴m＝.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.【总结提升】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．【变式探究】（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（）A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【答案】A【解析】利用幂函数的性质逐一验证选项即可．【详解】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选：A.考点二：幂函数的图象例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（）
A．B．C．D．【答案】B【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.故选：B.例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数的图象，在内取同一值，作直线，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图，故选D．
例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数的图像过点，则________，_________．【答案】【解析】将点的坐标代入解析式求解即可.【详解】由题意知，，所以可得，所以，可知.故答案为：；【总结提升】1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式探究】1．（2020·广西壮族自治区高二月考（文））函数的图像大致是（）A．B．
C．D．【答案】A【解析】，该函数的定义域为，所以排除C；因为函数为偶函数，所以排除D；又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.故选A．2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为()A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一曲线过点，且在第一象限单调递增，，为.显然对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，，为.显然对应，对应.
方法二令，分别代入，得，，所以曲线相对应的依次为.故选：.3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（）A．幂函数的图像过和两点B．幂函数的图像不可能出现在第四象限C．当时，是增函数D．的图像是一条直线【答案】B【解析】幂函数的图像都过点,但不一定过点，如，所以A错；因为当时，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B对；当时，不一是增函数，如在上单调递减，所以C错；的图像是一条去掉一点的直线，所以D错.故选:B考点三：幂函数的性质例5.（2021·北京高三其他模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.【详解】由题得.函数是上的增函数.
因为，，所以，所以，所以.故选：A例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.【答案】，的取值范围为【解析】先根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可.【详解】∵幂函数经过点，∴，即∴=.解得=或=.又∵，∴=.∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.由得解得.∴的取值范围为.例7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数在上是减函数，则整数a的值是________．【答案】2【解析】
由在上是减函数，可得，进而可得结果.【详解】因为在上是减函数，所以，解得，又函数为偶函数，且，当时，为奇函数当时，为偶函数当时，为奇函数；所以故答案为：2【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1.（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【答案】D【解析】根据题意，点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，则有28＝3n+1，解可得n＝3；则f（x）＝x3+1，易得f（x）在R上为增函数，又由1＜lnπ，则有c＜a＜b.故选：D.
2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当时，幂函数和直线重合，不满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意综上，故答案为3．（2020·内蒙古自治区高二月考（文））已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.【答案】2【解析】∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝2或-1（舍）．故答案为2．考点四：幂函数综合问题例8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.【详解】由是幂函数，知：，又在上，∴，即，则且，∴.故选：D.例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】－1或【解析】设点，则
令令（1）当时，时取得最小值，，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.例10.（2020·江西省高一月考）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．【解析】（）∵为幂函数，∴，∴或．当时，在上单调递减，故不符合题意．当时，在上单调递增，故，符合题意．∴．
（），令．∵，∴，∴，．当时，时，有最小值，∴，．②当时，时，有最小值．∴，（舍）．③当时，时，有最小值，∴，（舍）．∴综上．（），易知在定义域上单调递减，∴，即，令，，则，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∴．【变式探究】1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）
A．B．C．D．-1【答案】C【解析】设幂函数，图象过点，故故，，令，则，，∴时，.故选：C2.（2020·上海高一课时练习）若，求实数a的取值范围．【答案】【解析】由幂函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减，又由，则满足，解得或，所以实数a的取值范围．
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