2022年高考数学一轮复习讲练测4.6 正弦定理和余弦定理（新高考浙江）（练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.6正弦定理和余弦定理（练）【夯实基础】1．（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（）A．1B．C．D．3【答案】D【解析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【详解】设故选：C 3.（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，，，根据余弦定理：可得，即由故.故选：A.4.（2021·全国高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，，所以， 所以，解得（负值舍去）.故答案为：.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则________．【答案】【解析】直接利用余弦定理即可求出答案.【详解】由余弦定理可得，所以．故答案为：.6．（2021·高三其他模拟）《数书九章》中称为秦九韶三斜求积公式；已知三角形的三边分别为，则该三角形的面积为__________；最小角的余弦值为__________.【答案】【解析】直接由余弦定理及三角形面积公式求解即可.【详解】由小边对小角可知边长5所对角为最小角，由余弦定理：.,故答案为：； 7．（2021·北京高三二模）在中，，，则________；________.【答案】6【解析】根据的余弦定理列出关于的方程，由此求解出的值；先根据二倍角公式将变形为，然后根据正弦定理以及的值即可计算出的值.【详解】因为，所以，所以，所以（舍去），所以，故答案为：；.8．（2021·浙江台州市·路桥中学高三其他模拟）在中，角，，的对应边分别为，，，若，，，则___________，___________.【答案】【解析】用正弦定理化边为角可得，再由余弦定理可得，进而可得面积.【详解】由及正弦定理得：，，，；由余弦定理得:，，解得(负值舍)， .故答案为:；9．（2021·天津高三其他模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，且满．则（1）=________；（2）若，，则的面积为________．【答案】【解析】由已知条件结合正弦定理进行边角互化可得，再由余弦定理可得；结合正弦定理解三角形可得，由，进而可求出三角形的面积.【详解】解：因为，则由正弦定理可得，，即，则，则;因为，则，又，所以.故答案为:;.10.（2021·浙江高三其他模拟）明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大．在《大测》中提及割圆八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，， ）表示而得名．若图中，，则______，______．【答案】【解析】由诱导公式可得，在中，利用正弦定理可得，再利用余弦定理求得，即可得.【详解】由题意得，所以．在中，由正弦定理及，得，所以．由余弦定理，知，即，解得或（舍去），所以．故答案为：；【提升能力】1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为___________.【答案】【解析】由正弦定理和题设条件，得到，即，再在和中，由余弦定理化简得到，转化为，令，得到，求得，进而得到的最大值. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，可得，所以，所以，在中，由余弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，两式相加，可得，可得，即，所以，令，可得，即，解得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.2．（2021·山西太原市·高三一模（文））已知分别是的内角所对的边，，点在线段上，且，若的面积为，则___________，___________.【答案】4【解析】由正弦定理化角为边，得关系，利用余弦定理可得，从而由三角形面积公式可求得三边长，把用表示后平方，由向量数量积的运算求得向量的模即线段长．【详解】解：由正弦定理及得， 故，由余弦定理得，整理得，因为，所以，因为的面积，所以，因为，所以，即，整理得，，故.故答案为：4，.3．（2021·浙江高三三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，，则角___________；边长___________.【答案】【解析】由正弦定理得到，再利用余弦定理，求得，得到，根据的面积为，求得，最后利用余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由，利用正弦定理，可得，又由余弦定理可得，因为，可得，因为的面积为，可得，解得，又由，解得.故答案为：；.4．（2021·浙江高三其他模拟）已知在中，，，，是线段上一点，且满足，则___________，___________.【答案】【解析】在中，由已知、余弦定理和可得；在中，由正弦定理得.【详解】在中，由余弦定理得，因为，所以，在中，由正弦定理得，即.故答案为：①；②. 5．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．【答案】【解析】结合诱导公式及二倍角公式对已知式子进行化简，然后结合辅助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC边的中线的最小值【详解】∵，∴，而，∴，∵，∴即，∵，∴，∴，故；延长中线到点，使得，不妨设中线长为，如图所示，即， 由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而，∴，，，∴在中，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立.故答案为：；.6.（2017·全国高考真题（理））ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2．(1).求cosB(2).若a+c=6,ΔABC面积为2,求b.【答案】（1）cosB=1517；（2）b=2.【解析】（1）由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2π2，故sinB=4（1-cosB）上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去），cosB=1517（2）由cosB=1517得sinB=817，故SΔABC=12acsinB=417ac又SΔABC=2，则ac=172由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2−2accosB=（a+c）2−2ac(1+cosB)=36−2×172×(1+1517)=4所以b=2.7．（2020·天津高考真题）在中，角所对的边分别为．已知． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.8．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：； （2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.【详解】（1）由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证.（2）由题意知：，∴，同理，∵， ∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.9．（2021·普宁市普师高级中学高三其他模拟）在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理可得，由面积可得，解得，再由余弦定理可求.【详解】（1）.则由正弦定理可得，整理得：，由于：， 故：；（2），由正弦定理可得：，①的面积为，解得：，②由①②解得：，，由余弦定理可得：.10．（2021·全国高三月考（理））在锐角中，角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理化简可得出，由角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）因为，由正弦定理.因为，，所以.因为，所以；（2）因为，，由（1）得，所以根据余弦定理得， 化简整理为，解得.所以的面积.【拓展思维】1．（2021·全国高三其他模拟（文））在中，，且，，均为整数．(1)求的大小；(2)设的中点为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】(1)从角入手，根据条件确定，结合为整数，通过假设法，得到的值，也就确定了角大小.(2)首先利用角和角和的正切展开式，确定角和角满足的等式，再结合，均为整数，确定，的值，最后利用解三角形知识证明即可.【详解】(1)因为，所以为锐角，则，若，且在内单调递增，．又都大于，与矛盾，，即．(2)证明：．又，即．由均为整数，且，得，可得， 则.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理，可得又的中点为．在中，由余弦定理，得，，即证．2．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求B；（2）当，求的周长的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，则的值可求；（2）根据余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，由此可求解出周长的最大值.【详解】（1）因为，所以，所以，所以且，所以，所以；（2）因为，所以， 所以，所以，所以，取等号时，所以，所以的周长的最大值为.3．（2021·高三其他模拟（理））在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理进行边角互化，将边化为角，然后运用两角和正弦公式逆用进行化简，即可求出角的大小；（2）运用余弦定理和不等式计算出的最值，然后运用三角形面积公式即可求出面积最大值.【详解】（1）已知，则由正弦定理可得，即，即，即，，，又，则（2）由余弦定理可得，即， 即，当且仅当时，等号成立，，的面积为.的面积的最大值为.4．（2021·浙江高三其他模拟）在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为：（1）求∠C的的大小；（2）若c=2，求的取值范围【答案】（1）∠C=30°；（2）（4，16+]．【解析】(1)根据诱导公式和两角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，结合题意即可得出∠C=30°；(2)结合余弦定理和基本不等式即可.【详解】（1）∵tan（A+B）=tan（=-tanCtan（A+B）=∴-tanC=∴tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC又有=,∴=，∵0＜∠C＜故∠C=;（2）∵，， ∴4==≥∴≤16+当且仅当a=b时取等号又因为＞4所以综上取值范围是（4,16+]5．（2021·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.6．（2021·北京高考真题）已知在中，，． （1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：； 若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.7．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.【详解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以. 所以.由于，所以.所以.8．（2020·海南高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析： 据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，为边的中点，求的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用正弦定理及余弦定理，求出的值． （2）根据三角形的面积公式和平面向量基本定理，利用基本不等式即可求得的最小值．【详解】解：（1）中，内角，，的对边分别为，，，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．（2）因为的面积为，解得；在中，,两边同平方得：，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为．10．（2021·广西师大附属外国语学校高三其他模拟（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c=2bcosA.（1）证明∶B=2A；（2）设D为BC边上的中点，点E在4B边上，满足，且，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）结合正弦定理边化角，然后化简证明即可；（2）根据题意作出图形，然后结合正余弦定理解三角形即可.【详解】 （1）由正弦定理得∶∵A，B∈(0，π)∴A=B-A∴B=2A（2）由∴DE⊥AB∴∴，，∴而四边形ACDE的面积∴由余弦定理得∶