2022新高考必备2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线小题（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编圆锥曲线小题（精解精析）一、选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即．故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．2．(2021年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由 可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=(　　)A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．故选：C．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为(　　)A．4B．8C．16D．32【答案】B解析：双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故 联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=(　　)A．1B．2C．4D．8【答案】A解析：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题． 6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则．，故选A．【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．8．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A 【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵，∴，为以为直径的圆的半径，∴为圆心．∴，又点在圆上，∴，即，∴，∴，故选A．【点评】准确画图，由图形对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与关系，可求双曲线的离心率．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D．10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于 ，两点．若，，则的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：如图，设，则，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．在中，由余弦定理可得，所以，即，即，又，所以椭圆方程为．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为 ，联立方程，解得由整理可得即即即，所以，所以，故选C．法二：由双曲线的性质易知，，所以在中，在中，由余弦定理可得所以，整理可得，即所以，所以，故选C．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，所以，而，由已知，得，即，故选D．13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．B．C．D． 【答案】A解析：因为，所以，所以，渐进线的方程为，故选A．14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B．15．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线的焦点为．过点且斜率为的直线与交于两点，则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，不妨，，，，则，故选D．16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为(　　)A．B．C．D．【答案】A 【解析】法一:设,,直线方程为取方程,得∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当(或)时,取得等号．法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为根据焦点弦长公式有:．故选A．法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而则,代入抛物线中,可得设对应的参数分别为,则有所以同理可得 所以．故选A．法四:设点,则设直线的方程为联立直线与抛物线方程消去可得所以,所以同理所以(当且仅当时等号成立)小结:本质回归抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．于是本题可以直接利用这个性质秒杀,所以．椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则．其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离．【考点】抛物线的简单性质【点评】对于抛物线的焦点弦长问题,要重点抓住抛物线的定义,到定点的距离要想到转化到准线上,另外,直线与抛物线联立,求判别式、韦达定理是通法,需要重点掌握．考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式法． 17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A．【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出，代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为 又椭圆的焦点坐标为所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B．【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可．19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为(　　)A．2B．C．D．【答案】A【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想．【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得．解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法三：几何法 从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，解得．【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A 【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为(　　)A．B．C．D．2【答案】A【解析1】由题可令，则所以，，所以，所以故选Ａ．【解析2】离心率，由正弦定理得．故选A．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为(　　)(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图： 设，，点在抛物线上，∴……①点在圆上，∴……②点在圆上，∴……③联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．故选B．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是(　　)(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】表示双曲线，则，∴由双曲线性质知：，其中是半焦距∴焦距，解得∴故选A．24．(2015高考数学新课标2理科)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：设双曲线方程为，如图所示，，，过点 作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．25．(2015高考数学新课标1理科)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是(　　)A．(-，)B．(-，)C．(，)D．(，)【答案】A解析：由题知，，所以==，解得，故选A．考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法．26．(2014高考数学课标2理科)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A．B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A．B．C．D．【答案】D 解析：由题意可知：直线AB的方程为：，带入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为，故选D。考点：（1）圆锥曲线中的弦长问题；（2）直线与抛物线的位置关系。难度：C备注：常考题27．(2014高考数学课标1理科)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=(　　)A．B．C．3D．2【答案】C【解析】:过Q作QM⊥直线L于M,∵∴,又,∴,由抛物线定义知选C考点:(1)抛物线的定义(2)直线与抛物线的位置关系的应用难度:C备注:高频考点28．(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为(　　)A．B．3C．D．【答案】A解析:由:,得,设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离 =,选A．．考点:(1)双曲线的几何性质(2)点到直线的距离公式(3)函数与方程的思想难度:B备注:高频考点29．(2013高考数学新课标2理科)设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为(　　)A．或B．或C．或D．或【答案】C解析：由题意知：，抛物线的准线方程为，则由抛物线的定义知，，设以为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，又因为点在上，所以，解得或，所以抛物线的方程为或，故选C．考点：（1）8．3．1求圆的方程；（2）8．7．1抛物线的定义及应用难度：C备注：高频考点30．(2013高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A．B．C．D【答案】Ｄ解析：设，则=2，=－2，①②①-②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9， =18，∴椭圆方程为，故选D．考点:（1）8．8．2圆锥曲线中的对称点与点差法．难度：Ｂ备注：高频考点31．(2013高考数学新课标1理科)已知双曲线：()的离心率为，则的渐近线方程为(　　)A．B．C．．D．【答案】C解析:由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为，故选．考点:（1）8．6．3双曲线的几何性质．难度：Ａ备注：高频考点32．(2012高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为(　　)A．B．C．4D．8【答案】C解析：设等轴双曲线，则由抛物线得准线∵与抛物线的准线交于两点，∴将A点坐标代入双曲线方程得．考点：（1）8．6．3双曲线的几何性质；（2）8．6．3双曲线的几何性质；（3）8．2．3距离公式的应用．难度:B备注：高频考点 33．(2012高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：如上图，是底角为的等腰三角形可得=2c在中，即又∵，所以将等式两边同时除以a，得．考点：(1)8．5．1椭圆的定义;(2)8．5．3椭圆的几何性质．难度：A备注：高频考点二、填空题34．(2021年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于． 故答案：．35．(2021年高考全国乙卷理科)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4解析：由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．【答案】2【解析】联立，解得，所以．依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．37．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．【答案】【解析】由已知可得，．． 设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．法二、在得出．．，∴．∴，的坐标为．法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．38．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为．【答案】2解析：注意到，得到垂直平分，则，由渐近线的对称性，得，可得，所以，可得离心率． 39．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则．【答案】解析：法一：抛物线的焦点坐标为，可设直线，联立方程，消去并整理可得所以，由点在抛物线上，可得，所以，由，可得，所以所以即所以即，解得故所求直线的斜率．法二：抛物线的焦点，准线方程为由依题意可知以为直径的圆与准线相切于点，故线段中点的纵坐标为设直线，联立方程，消去并整理可得 则有，解得故所求直线的斜率．40．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为__________．【答案】【解析】如图所示,作因为圆与双曲线的一条渐近线交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且,,因为,所以,到直线的距离,在中,,代入计算得,即,由得,所以．【考点】双曲线的简单性质．【点评】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐．做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是;③双曲线的顶点到渐近线的距离是．41．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．【答案】 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想运算求解的能力【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴，又由定义，且，∴．【点评】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。【知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题，课本习题常有练习．42．(2015高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为。【答案】解析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为．考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程