2022年高考数学一轮复习讲练测3.4 导数的综合应用（新高考浙江练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第三章导数专题3.4导数的综合应用（练）【夯实基础】1.（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令f(x)=0，分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】令f(x)=0，则，，令，，令，，则函数在区间单调递增，，所以，函数在区间单调递增，所以有，即，所以，故选：B．2．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（）37/37 A．B．C．D．【答案】C【解析】函数零点即方程的解，（），取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【详解】显然，有两个零点，即方程，在上有两个解，两边取对数得到，令，，在单调递增，在单调递减，又当时，，当时，，因为有两个零点，则，解得.所以正数的取值范围是.故选：C．3．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数，，又当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据求出，进而参变分离解决恒成立的问题即可.【详解】因为，所以，即，所以当时，恒成立，即，37/37 即，当时，恒成立，符合题意；当时，有，即，令，则，所以在上单调递增，而，所以，故选：A.4．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，﹣）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪{﹣}【答案】D【解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出；结合题意得出在有且仅有1个解，计算的值即可.【详解】当时，则令，解得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，37/37 所以，故在定义域上恒成立，由有且只有2个实数根，得方程有2个解，又，所以，则在有且仅有1个解，因为，则或，所以或，即实数的取值范围是，故选：D5．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））平行于轴的直线与函数的图像交于两点，则线段长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可.【详解】根据题意，画出的图象如下所示：37/37 令，，故可得，解得；，解得.故可得，，故，，故可得，恒成立，故是单调递增函数，且，关于在成立，在成立，故在单调递减，在单调递增，故.即的最小值为.故选：D6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】参变分离可得，研究函数，根据导函数37/37 以及，可得函数的极大值为，当，，所以，根据的最大值的范围即可得解.【详解】由，得，令，则，当时，，函数在，上单调递增，在上单调递减，故函数的极大值为，极小值为，且时，，所以，由，得，由恒成立，得，故选：D．7．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最大值为________m3（不计损耗）．【答案】.【解析】设长方体的底面边长为，高为，由题可得，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值.【详解】设长方体的底面边长为，高为，37/37 则由题可得，，则可得，则，则该容器容积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，即该容器容积的最大值为.故答案为：.8．（2021·湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，根据已知条件可得出，根据柱体的体积公式可得，利用导数可求得的最大值及其对应的的值，即为所求.【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为.则由题意可得，所以.37/37 由，得.故容器的容积，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.，令，解得（舍）或.显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得最大值，此时，.故答案为：；.9．（2021·全国高三其他模拟）若函数只有一个零点，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】将函数的零点转化为方程的根，令，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案；【详解】，令，则，令，则在恒成立，37/37 在单调递减，且，，在单调递增，在单调递减，且，当时，，如图所示，可得当或时，直线与有且仅有一个交点，故答案为：或10．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，37/37 因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.【提升能力】1.（2019·山东高考模拟（文））已知函数，则使不等式成立的的最小整数为（）A．-3B．-2C．-1D．0【答案】D【解析】根据题意，函数，其导数，时，可以看成是1为首项，为公比的等比数列，则有，函数在上为增函数，又由，37/37 ，则函数在上存在唯一的零点，设其零点为，，又由，则，故不等式成立的的最小整数为0；故选：D．2.（2021·沙坪坝区·高三其他模拟）已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意恒成立，则当取最大值时，实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式对任意恒成立，化为不等式对任意恒成立，必然有．令，化为：．令，．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论．【详解】解：不等式对任意恒成立，则不等式对任意恒成立，则．令，则，化为：．令，．不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，令，则，可得：时，函数取得极大值即最大值，，满足题意．37/37 可以验证其他值不成立．故选：C．3.（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为，则高为，小圆柱体体积，设，则则当时，故答案为：4.（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．【答案】1；证明见详解【解析】37/37 （1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，假设能取到，则，故；当时，，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立5．（2021·全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.37/37 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若，要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，37/37 因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：.设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.37/37 6.（2020·山东海南省高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,37/37 ∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)