2022年高考数学小题多维练课时12 函数的概念、函数关系及运算 解析版

课时12函数的概念、函数关系及运算（基础题）一、单选题学科网（北京）股份有限公司 1．（2021·上海高三二模）下列选项中，可表示为的函数是（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【分析】根据函数的概念判断即可.【详解】选项A，当时，，故不正确；学科网（北京）股份有限公司 选项B，当时，，故不正确；选项C，当时，等等，故不正确；选项D，由，可得，为指数型函数，所以正确.学科网（北京）股份有限公司 故选：D.2．（2020·上海市行知中学高三月考）解析式为，值域为的函数有A．4B．6C．8D．9学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【分析】根据的值求出相应的的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由，解得；学科网（北京）股份有限公司 由，解得．所以函数的定义域可为，共9种情况．学科网（北京）股份有限公司 故选D．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．3．（2020·上海高三三模）下列函数中，值域是的函数是（）学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的值域以及复合函数值域的求法确定选项中函数的值域，从而得出结论.学科网（北京）股份有限公司 【详解】选项A中，函数的值域为，故函数的值域为；选项B中，函数的值域为，故函数的值域为；选项C中，函数的值域为，故函数的值域为；学科网（北京）股份有限公司 选项D中，函数的值域为，故函数的值域为.故选：D.【点睛】本题主要考查利用基本初等函数的值域求复合函数的值域，难度不大.学科网（北京）股份有限公司 二、填空题4．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）已知函数的反函数为，则________学科网（北京）股份有限公司 【答案】10【分析】先求出反函数的解析式，即可得出所求函数值.【详解】由得，学科网（北京）股份有限公司 即函数的反函数为，因此.故答案为：.学科网（北京）股份有限公司 5．（2020·上海高三一模）已知函数的反函数,则_______【答案】【分析】因为,可得,即可求得答案.学科网（北京）股份有限公司 【详解】可得学科网（北京）股份有限公司 故答案为:.【点睛】本题主要考查了求函数值,解题关键是掌握反函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6．（2020·上海）已知函数，分别由下表给出学科网（北京）股份有限公司 123131123321则的值为________________；满足的的值是______________．学科网（北京）股份有限公司 【答案】1，2【解析】=；当x=1时，，不满足条件，学科网（北京）股份有限公司 当x=2时，，满足条件，当x=3时，，不满足条件，∴只有x=2时，符合条件．学科网（北京）股份有限公司 7．（2020·上海市进才中学高三期中）函数的定义域是______.【答案】[-1，2]【分析】根据解析式的形式得到关于的不等式，解不等式后可得函数的定义域.学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题设可得即，故，所以，故答案为：.学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题8．（2020·上海市大同中学）学科网（北京）股份有限公司 有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）见解析（2）乙科【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量总是下降，只需利用函数的单调性证明单调递减即可；⑵中，根据题意，建立方程求的估计值，结合给出的范围，进行判断.⑴证明：当时，，，学科网（北京）股份有限公司 函数单调递增，故单调递减，所以当时，掌握程度的增加量总是下降.⑵解：由题意知整理可得学科网（北京）股份有限公司 所以由此可知，该学科为乙科.9．（2020·上海）求函数的定义域．学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】根据非负实数有算术平方根的性质、分式的中分母不为零的性质、对数中真数大于零的性质进行求解即可【详解】由题意可得：或．学科网（北京）股份有限公司 所以函数的定义域为．【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了对数的性质，考查了数学运算能力.学科网（北京）股份有限公司 （能力题）1．（2020·上海高三专题练习）设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有学科网（北京）股份有限公司 A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y].【答案】D学科网（北京）股份有限公司 【详解】取，则，所以A项错误；，所以B项错误；再取，则，所以C项错误.【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题2．（2020·上海高三专题练习）已知定义在上的函数满足：学科网（北京）股份有限公司 ①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【详解】试题分析：不妨令，则学科网（北京）股份有限公司 法一：，学科网（北京）股份有限公司 即得，另一方面，当时，，符合题意，当时，，学科网（北京）股份有限公司 故法二：当时，，当时，学科网（北京）股份有限公司 ，故学科网（北京）股份有限公司 考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.3．（2020·上海高三专题练习）二次函数满足，且，（1）求的解析式；学科网（北京）股份有限公司 （2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）设，代入，待定系数即得解；学科网（北京）股份有限公司 （2）转换的图象恒在图象上方为，令，转化为二次函数在定区间的最小值即得解.【详解】（1）由题设∵　学科网（北京）股份有限公司 ∴　又∴∴学科网（北京）股份有限公司 ∴　∴∴（2）当时，的图象恒在图象上方学科网（北京）股份有限公司 ∴时恒成立，即恒成立令，时，学科网（北京）股份有限公司 故只要即可，实数的范围【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.学科网（北京）股份有限公司 4．（2020·上海）已知函数（a，b为常数），且方程有两个实根，．（1）求函数的解析式；（2）设，解关于x的不等式：．学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）当时，或；当时，且；当时，或．【分析】（1）把方程根代入得关于的方程组，解之可得，从而得函数解析式；（2）把分式不等式转化整式不等式，然后分类讨论求解．学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）由题意得，解得，所以；（2）原不等式可化为，即．所以当时，或；当时，且；当时，或．学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查求解函数解析式，考查解分式不等式．解分式不等式一般是通过移项通分，因式分解后化为整式不等式求解．5．（2020·高三月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间学科网（北京）股份有限公司 上的“保值函数”，区间称为“保值函数”.（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，因此函数不是定义域上的“保值函数”.（2）因为函数在内是单调增函数，学科网（北京）股份有限公司 因此，，因此是方程的两个不相等的实根，等价于方程有两个不相等的实根.学科网（北京）股份有限公司 由解得或.（3），学科网（北京）股份有限公司 ，即为对恒成立.令，易证在单调递增，学科网（北京）股份有限公司 同理在单调递减.因此，，.学科网（北京）股份有限公司 所以解得.又或，学科网（北京）股份有限公司 所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.学科网（北京）股份有限公司 6．（2020·上海高三专题练习）对定义域的函数，，规定：函数（1）若函数，，写出函数的解析式；学科网（北京）股份有限公司 （2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）；（3），当时，，此时.【解析】试题分析：（１）依题意得，分讨论，利用函数性质可求得函数的解析式；（２）当学科网（北京）股份有限公司 时，易求；当时，，再对分和讨论，利用基本不等式即可求得函数的值域；（３）构造函数，可求得，继而可证得．试题解析：（1）.学科网（北京）股份有限公司 （2）当时,,若时,则,其中等号当时成立,若时,则,其中等号当时成立,函数的值域是.（3）令,则学科网（北京）股份有限公司 ,于是,另解令,学科网（北京）股份有限公司 于是.考点：抽象函数及其应用．7．（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高三期中）已知函数，且．学科网（北京）股份有限公司 （1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数的取值范围，使得关于的方程分别为：学科网（北京）股份有限公司 ①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．【答案】（1）；（2）函数在区间上是单调递增函数，证明见解析；学科网（北京）股份有限公司 （3）答案不唯一，见解析【分析】（1）将已知条件，解得，再结合是正数，可得；（2）将（1）的结论代入得,根据函数单调性的定义，可设，且，通过作差化简整理，最后得到，说明函数在区间上是增函数；（3）首先，方程有一个解，然后分和加以讨论：当且时，方程转化为学科网（北京）股份有限公司 ，解得，解不等式得或，当时，则，解得，解不等式得；最后综合可得方程解集的情况．【详解】（1）由，得，，∵，∴．（2）由（1），，从而，只需研究在上的单调性．学科网（北京）股份有限公司 当时，．设，且，则，学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，，，∴，即．∴函数在区间上是单调递增函数．学科网（北京）股份有限公司 （3）原方程即为……①恒为方程①的一个解．若时方程①有解，则，解得，学科网（北京）股份有限公司 由，得；若且时方程①有解，则，解得，由且，得或．学科网（北京）股份有限公司 综上可得，当时，方程有且仅有一个解；当时，方程有两个不同解；当时，方程有三个不同解．学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了函数零点的分布与单调性等知识点，属于难题．（真题/新题）学科网（北京）股份有限公司 一、单选题1．（2021·江苏）已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，，若，则（）学科网（北京）股份有限公司 A．2020B．3C．2D．1【答案】D【分析】本题由不等式和，带入后得到即，即，可得，可得周期为1，即可得解.学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为对任意的，都有，，所以，即.又对任意的，，学科网（北京）股份有限公司 所以，即，所以，即，所以，从而是周期为1的周期函数.学科网（北京）股份有限公司 又，所以.故选：D2．（2021·四川高三二模（文））已知定义在R上的函数满足，，则（）学科网（北京）股份有限公司 A．B．1C．D．【答案】B【分析】当时，（1）①；当时，（1）②，由此进行计算能求出（1）的值．学科网（北京）股份有限公司 【详解】定义在上的函数满足，，当时，（1），①当时，（1），②学科网（北京）股份有限公司 ②①，得（1），解得（1）．故选：B3．（2021·浙江衢州·高三二模）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（）学科网（北京）股份有限公司 A．2B．5C．D．3【答案】D【分析】根据题意由带入，可得：学科网（北京）股份有限公司 整理化简可得，解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.【详解】由任意的，均有，由带入可得：学科网（北京）股份有限公司 ，所以所以，学科网（北京）股份有限公司 由为减函数，所以所以即学科网（北京）股份有限公司 由，所以，化简整理可得，学科网（北京）股份有限公司 所以或，由为减函数所以，故当时，学科网（北京）股份有限公司 ，当且仅当时，等号成立.故选：D.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了单调性求解过程中的应用，考查了较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）带入化简，把带入在利用原式进行化简，是本题的关键；（2）掌握利用基本不等式求最值.学科网（北京）股份有限公司 二、填空题4．（2021·北京高三其他模拟）若函数的定义域是，则的值域是___________.【答案】学科网（北京）股份有限公司 【分析】先分离常数将函数解析式化为，结合的范围，先得出分母的范围，由反比例函数的性质和不等式的性质可得答案.【详解】由当时，，所以，则学科网（北京）股份有限公司 所以，即的值域为故答案为：5．（2021·吉林高三其他模拟（文））已知函数，则___________.学科网（北京）股份有限公司 【答案】1010【分析】根据函数解析式可得，进而可得结果.【详解】∵，学科网（北京）股份有限公司 ∴，∴学科网（北京）股份有限公司 .故答案为：1010.学科网（北京）股份有限公司 三、双空题6．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数的值域为_______，则与是“同域函数”的一个解析式为____________.学科网（北京）股份有限公司 【答案】，或者（答案不唯一）【分析】分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：因为，所以且，所以函数的定义域为，．下面求函数的值域，不妨先求函数的值域，令，令，，，所以，，学科网（北京）股份有限公司 从而得出，，所以，，即函数的值域为，．只要满足定义域为，，且值域为，的函数均符合题意，例如或，，或，，故答案为：；或，，或，，或学科网（北京）股份有限公司 （答案不唯一）7．（2021·浙江高三期末）已知，则______；若，则______．【答案】41或【分析】直接代入函数即可求得的值；根据分段函数每一段的自变量的范围，对学科网（北京）股份有限公司 进行分类讨论，分别求出相应的的值即可.【详解】∵，∴；∵，学科网（北京）股份有限公司 ∴当时，，解得，当时，，解得.故答案为：4；1或.学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司