2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习43《曲线与方程》(含详解)

2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习43《曲线与方程》一、选择题已知圆O的方程为x2＋y2=9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为(　　)A.－=1(x≠0)B.＋=1(x≠0)C.－=1(y≠0)D.＋=1(y≠0)过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是(　　)A.y=－1B.y=－2C.y=x－1D.y=－x－1已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线方程(x2＋y2－2x)=0表示的曲线是(　　)A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　　)A.x＋y=5B.x2＋y2=9C.＋=1D.x2=16y设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，=＋，则点M的轨迹方程为(　　)A.＋=1B.＋=1C.＋=1D.＋=1平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3).若点C满足=λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是(　　)A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若=λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ=，则方程x2sinθ－y2cosθ=1表示(　　)A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　　)A.x＋y=5　　B.x2＋y2=9C.＋=1D.x2=16y在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M为平面上的两点且满足G＋G＋G =0，|M|=|M|=|M|，G∥A，则顶点C的轨迹为(　　)A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)二、填空题已知圆的方程为x2＋y2=4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足=＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是.已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA=sinC，则C点的轨迹方程为.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足=＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________. 答案解析答案为：D；解析：设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|＋|BB′|=2|OP|=6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，所以|FA|＋|FB|=|AA′|＋|BB′|=6＞|AB|=2，所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为＋=1(y≠0).答案为：A.解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y=kx＋1，代入x2=4y得x2=4kx＋4，即x2－4kx－4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4.将y=x2求导得y′=x，所以由x2=4y得两方程相除得=，变形整理得y===－1，所以交点P的轨迹方程是y=－1.答案为：B；解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|=|F2S|=(|QS|－|QF2|)=(|QF1|－|QF2|)=a，∴点P的轨迹为圆.答案为：D；解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3=0或②注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，即②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.答案为：B；解析：∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－=1.A项，直线x＋y=5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2＋y2=9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋=1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋=1与M的轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，∴Δ＞0，满足题意.答案为：A；解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由=＋， 得(x，y)=(x0，0)＋(0，y0)，则解得由|AB|=5，得＋=25，化简得＋=1.答案为：A解析：设C(x，y)，因为=λ1＋λ2，所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2=1，所以＋=1，即x＋2y=5.所以点C的轨迹为直线.故选A.答案为：C；解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0).因为=λ·，所以y2=λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ＜0时，轨迹是双曲线；当λ=0时，轨迹是直线.综上，动点M的轨迹不可能是抛物线.答案为：D；解析：因为(sinθ＋cosθ)2=1＋2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=－＜0，又sinθ＋cosθ=＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故＞＞0，而x2sinθ－y2cosθ=1可化为＋=1，故方程x2sinθ－y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.答案为：B解析：设P(x，y)，则=2，整理得x2＋y2－4x=0，又D2＋E2－4F=16＞0，所以动点P的轨迹是圆.答案为：B；解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－=1.A项，直线x＋y=5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋=1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”.答案为：B；解析：设C(x，y)(y≠0)，由G＋G＋G=0，即G为△ABC的重心，得G. 又|M|=|M|=|M|，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，又G∥A，则有M.所以x2＋2=4＋，化简得＋=1，y≠0.所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).答案为：＋=1(y≠0)解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线焦点的轨迹方程为＋=1(y≠0).答案为：y=2x－2.解析：设C(x，y)，则=(x，y)，＋t(－)=(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x－2.答案为：＋=1(x≠±5)；解析：由sinB＋sinA=sinC可知b＋a=c=10，则|AC|＋|BC|=10＞8=|AB|，∴满足椭圆定义.令椭圆方程为＋=1，则a′=5，c′=4，b′=3，则轨迹方程为＋=1(x≠±5).答案为：y=2x－2解析：设C(x，y)，则=(x，y)，＋t(－)=(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x－2.答案为：y2=x－.解析：如图，过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，易证得PH⊥A1D1.设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2=1，得x2＋1－=1，化简得y2=x－.答案为：＋=1(y≠0)解析：由题知|CA|＋|CB|=|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|=2|CP|＋|AB|=4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M的方程为＋=1(a＞b＞0，y≠0)， 则a2=4，b2=a2－(0.5|AB|)2=3，所以曲线M：＋=1(y≠0)为所求.