2022年新高考一轮复习考点精选练习26《数列的综合与应用》（含详解）

2022年新高考一轮复习考点精选练习26《数列的综合与应用》若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an－λ(λ＞0，n∈N*).(1)证明数列{an}为等比数列，并求an；(2)若λ=4，bn=(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n.已知数列{an}满足：a1=1，an＋1=an＋.(1)设bn=，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.已知数列{an}为单调递增数列，Sn为其前n项和，2Sn=a＋n.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn=，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项.(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn=，求证：cn＋1>cn(n∈N*). 已知数列{an}是等差数列，a2=6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2=2，a1b3=12，S3＋b1=19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且2Sn=a＋an，等比数列{bn}的公比q>1，b1=2，且b1，b3，b2＋10成等差数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=an·bn＋(－1)n·，记T2n=c1＋c2＋c3＋…＋c2n，求T2n. 答案解析解：(1)证明：∵Sn=2an－λ，当n=1时，得a1=λ，当n≥2时，Sn－1=2an－1－λ，∴Sn－Sn－1=2an－2an－1，即an=2an－2an－1，∴an=2an－1，∴数列{an}是以λ为首项，2为公比的等比数列，∴an=λ2n－1.(2)∵λ=4，∴an=4·2n－1=2n＋1，∴bn=∴T2n=22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n＋2n＋1=(22＋24＋…＋22n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)=＋=＋n(n＋2)，∴T2n=＋n2＋2n－.解：(1)由an＋1=an＋，可得=＋，又bn=，∴bn＋1－bn=，由a1=1，得b1=1，累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1=＋＋…＋，即bn－b1==1－，∴bn=2－.(2)由(1)可知an=2n－，设数列{}的前n项和为Tn，则Tn=＋＋＋…＋　①，Tn=＋＋＋…＋　②，①－②得Tn=＋＋＋…＋－=－=2－，∴Tn=4－.易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，∴Sn=n(n＋1)－4＋.解：(1)当n=1时，2S1=2a1=a＋1，所以(a1－1)2=0，即a1=1，又{an}为单调递增数列，所以an≥1.由2Sn=a＋n得2Sn＋1=a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn=a－a＋1，则2an＋1=a－a＋1，所以a=(an＋1－1)2.所以an=an＋1－1，即an＋1－an=1，所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n. (2)证明：bn===－，所以Tn=＋＋…＋=－＜.解：(1)设数列{an}的公差为d，则解得或(舍去)，所以an=n＋1，Sn=.又b1=a1=2，b2=a3=4，所以bn=2n，Tn=2n＋1－2.(2)证明：因为an·bn=(n＋1)·2n，所以Kn=2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，①所以2Kn=2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②①－②得－Kn=2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，所以Kn=n·2n＋1.则cn==，cn＋1－cn=－=>0，所以cn＋1>cn(n∈N*).解：(1)∵数列{an}是等差数列，a2=6，∴S3＋b1=3a2＋b1=18＋b1=19，∴b1=1，∵b2=2，数列{bn}是等比数列，∴bn=2n－1.∴b3=4，∵a1b3=12，∴a1=3，∵a2=6，数列{an}是等差数列，∴an=3n.(2)由(1)得，令Cn=bncos(anπ)=(－1)n2n－1，∴Cn＋1=(－1)n＋12n，∴=－2，又C1=－1，∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，∴Tn==－[1－(－2)n].解：(1)当n≥2时，由题意得2Sn－2Sn－1=a－a＋an－an－1，2an=a－a＋an－an－1，a－a－(an＋an－1)=0，(an＋an－1)(an－an－1－1)=0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1=1，当n=1时，2a1=a＋a1，∵a1>0，∴a1=1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an=1＋(n－1)×1=n.由b1=2,2b3=b1＋(b2＋10)，得2q2－q－6=0，解得q=2或q=－(舍)，∴bn=b1qn－1=2n. (2)由(1)得cn=n·2n＋(－1)n·=n·2n＋(－1)n，∴T2n=(1×2＋2×22＋…＋2n·22n)＋=(1×2＋2×22＋…＋2n·22n)＋(-1+)，记W2n=1×2＋2×22＋…＋2n·22n，则2W2n=1×22＋2×23＋…＋2n·22n＋1，以上两式相减可得－W2n=2＋22＋…＋22n－2n·22n＋1=－2n·22n＋1=(1－2n)·22n＋1－2，∴W2n=(2n－1)·22n＋1＋2，∴T2n=W2n＋(-1+)=(2n－1)·22n＋1＋＋1.