专题03极值问题目录1.二次函数极值法12.和积不等式极值法63.三角函数极值法114.几何极值法13 极值法是中学物理教学中重要的解题方法，在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。在应用极值法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系，再利用数学方法求其极值。极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法、几何极值法等。1.二次函数极值法函数，依的正负，可有极大值、极小值。①若求极植可用配方法, 当，。（综合图像解）②亦可用判别式法：整理为关于的一元二次方程：，若有实解，则，。典例1.（19年海南卷）三个小物块分别从3条不同光滑轨道的上端由静止开始滑下。已知轨道1、轨道2、轨道3的上端距水平地面的高度均为；它们的下端水平，距地面的高度分别为、、，如图所示。若沿轨道1、2、3下滑的小物块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为、、，则（）A.B.C.D.
【答案】BC【解析】小物块在轨道上下滑的高度为h，到轨道末端速度为v0①在轨道末端开始做平抛运动②③①②③得当时水平位移s最大当,时，水平位移相等。故选择BC【总结与点评】对于极值问题，要善于找到未知物理量与某一物理量的关联性，利用物理规律建立函数关系，然后利用函数极值法求解。针对训练1a..在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取;g=10m/s2）。求：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SM为多少？（3）若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？【解析】（1）运动员由到，斜面长，由动能定理得：
①（2）运动员在点做平抛运动②③①②③解得④令由二次函数配方法得：当运动员最大的水平位移为：（3）把数据代入④整理得：解得：【总结与点评】本题第（2）小题求运动员的水平位移，要能自觉地利用动能定理、平抛运动规律构建平抛水平位移与竖直位移函数关系，并注意其在滑道上的水平位移保持不变，这样，构建的函数关系只有两个变量，顺理成章的应用二次函数配方极值法求出极值，也可以应用判别式法求其极值。针对训练1b.如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球的速度大小；碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为、……的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第个球经过依次碰撞后获得的动能与之比为第1个球对第个球的动能传递系数
a)求b)若为确定的已知量。求为何值时，值最大【解析】（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律①设碰撞后与的速度分别为和，根据动量守恒定律②碰撞过程机械能守恒③①②③解得（2）a.由④式，考虑到得根据动能传递系数的定义，对于1、2两球同理对于2、3两球碰撞后，动能传递系数应为④依次类推⑤b.将，代入④为使最大，通过配方，只需使
最大当，即时，最大。【总结与点评】本题考查了机械能守恒定律、及碰撞中的动量守恒定律、动能守恒定律，数学方面考查了递推归纳法、二次函数配方极值法的应用。把以上物理规律与数学方法综合在一起，体现了数学方法在解决物理问题中重要作用，也让学生在解题过程中体会到数学方法的美妙。本题是一道难度较大的压轴题。针对训练1c.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如图3所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小，和球落地时的速度大小（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】（1）设绳断后小球的飞行时间为，由平抛规律得：解得：由机械能守恒定律得：解得：
（2）设绳能承受最大拉力为,小球做圆周运动的半径为解得：（3）设绳长为，绳断时小球的速度为绳断后，小球做平抛运动解得：令由判别式得此时【总结与点评】本题是圆周运动与平抛运动的结合，要综合应用圆周运动与平抛运动规律以及动能定理来解题。要注意绳断时的速度即为平抛初速，绳断时既是圆周运动的终点，也是平抛运动的起点，以此临界点为转折，构建其水平位移与绳长的函数关系，进而用二次函数判别式法求出水平位移最大值。1.和积不等式极值法在数学，有算术平均数与几何平均数之别，若有，算术平均数，几何平均数为，算术平均数总大于或等于几何平均数：。由是观之，不等式两边，若为定值，则取值最大，若为定值，取最小值。
典例2（18年北京卷）如图所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U-I图像的示意图，并说明U-I图像与两坐标轴交点的物理意义。（2）a．请在图2画好的U-I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。【解析】（1）U–I图象如图所示，图象与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流（2）a．如图所示b．电源输出的电功率，积定和最小，P取最大值。当外电路电阻，即R=r时，电源输出的电功率最大，为
（3）电动势定义式根据能量守恒定律，在图1所示电路中，非静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热，即【总结与点评】构建电源的输出功率与外电阻的函数关系，利用和积不等式求解，利用和积不等式和定积最大，积定和最小。针对训练2a.在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图4所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点，选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角=，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度，，（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；（2）若绳长l=2m,选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力，平均阻力，求选手落入水中的深度；（3）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。【解析】（1）由机械能守恒定律得①在最低点
解得人对绳的拉力（2）由动能定理得（3）选手从最低点开始做平抛运动且有①式解得有和积不等式知当即时，有最大值【总结与点评】本题第（3）小题中，应用动能定理与平抛运动规律推导出、的函数关系式，要有意识地整理出和定积最大的不等式形式，再利用和积不等式极值法求解即可，本题要求学生对和积不等式的各种变式要了然于心。只有这样，才能在解题过程中熟练地应用起来。我们发现，以上几个问题，通过构建物理模型，建立的函数关系非常相似，每个问题均可用以上三个极值法求解，你如果有兴趣，可以试试。笔者再以2012年全国高考（大纲版）理科综合能力测试物理部分试题第26题为例，赏析三种极值法在该题中的具体应用。针对训练2b.一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图5所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
【解析】（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，由平抛运动规律有：，，整个过程中，由动能定理可得：由几何关系，坡面的抛物线方程解以上各式得：（2）探险队员落到坡面的最小动能，可用三种方法求解方法一：配方得极小的条件为上式中的平方项等于0，由此可得此时，则最小动能为方法二：整理为关于的一元二次方程：
由判别式得:解不等式得：当时，方法三：由，令，则由和积不等式得：当时时，即，探险队员的动能最小，最小值为【总结与点评】方法一利用配方法，方法二利用判别式法，方法三利用和积不等式求探险队员落到坡面动能的最小值，三种方法异曲同工，相得益彰。本题不仅考查了平抛运动规律、动能定理等物理知识，也考查了抛物线方程、求极值的三种求解方法，较全面地考查了学生的综合能力，是一道名符其实的压轴题。3.三角函数极值法待求物理量与角度具有关联性，建立函数关系，当角度变化时，待求物理量也发生变化，此时的极值依赖于三角函数求解。典例3.质量为的小车，在地面上用卷扬机来牵引它，它与地面动摩擦因数为，求用力最省时的牵引角。【解析】[模型构建小车为质点，小车做匀速直线运动数理整合小车受力如图，建立如图直角坐标系由平衡条件得①②③①②③得④
令代入上式当时，最小【总结与点评】牵引力的极值与力的方向有关，显然要列出两者的函数关系再根据三角函数的值域来确定其极值。针对训练3.如图2，一个质量为的圆环用细绳悬挂着，有两个质量均为的小球套在圆环上，可沿圆环无摩擦地滑动，现将两小球同时从环的顶端释放，使其沿相反方向自由滑下，欲使圆环能够升起，求小球的最小质量。【解析】模型构建两小球视为质点，环为光滑的圆环，两小球在环两侧对称的圆周运动。数理整合设小球滑到图示位置，对小球受力分析①由机械能守恒定律得：②解得：③对圆环在竖直方向进行受力分析，设绳拉力为,则:④圆环上升时，绳对大圆环产生的向上的拉力⑤以上各式联立解得：.
由和积不等式得：≤，所以小球的最小质量为4.几何极值法此种极值问题的特点是其解取决于几何方法和几何特征的理解与应用。典例4如图3，在竖直平面内有一个半径为的圆环，同一平面内有一点，从点到圆环上任一点连光滑直线轨道，在重力作用下，一个金属小球从静止出发滑到，问位于何处，滑动所用时间最短？【解析】模型建构：小环为质点，轨道光滑，小环作匀加速直线运动。数理整合：小环沿直线轨道下滑加速度①②①②得过作圆环切线切点，由切割线定理得·＝∴ 当取最大，即过圆环最低点时，最小。【总结与点评】本题是巧用几何方法中的切割线定理，如果不用这个方法，也可以作图法求解，大家可以试一试。可以证明：物体由静止开始沿着一个端点在圆环最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环上的时间相等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一个端点在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑到圆环最低点的时间相等。
作图法：在竖直平面内，定点A与圆环O之间架设光滑直轨道，作图求出物体由静止开始沿光滑直轨道滑到圆环O上最短时间的径迹。作法：如图5.过O点作竖直半径交圆环于B点，AB连线交圆环于P点，过A作竖直线AC，连OP交AC于Q点，以Q为圆心、AQ为半径作圆。AP径迹即为所求。 高中物理中的极大值、极小值、临界值、边界值等问题需要用数学极值法来解决，数学极值法是物理问题与数学方法结合解题的典范，除了上述极值法，还有三角函数极值法、几何极值法、极限法等。希望一线教师在教学中有针对性地加强极值法的训练，提高学生应用数学方法解决物理问题的能力。
微信/支付宝扫码支付