11.4电学中的动量和能量问题必备知识清单1．应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量．如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题．2．在相互平行的水平轨道间的双导体棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律．命题点精析（一）动量定理和功能关系的应用典型例题例1如图为电磁驱动与阻尼模型，在水平面上有两根足够长的平行轨道PQ和MN，左端接有阻值为R的定值电阻，其间有垂直轨道平面的磁感应强度为B的匀强磁场，两轨道间距及磁场宽度均为L.质量为m的金属棒ab静置于导轨上，当磁场沿轨道向右运动的速度为v时，棒ab恰好滑动．棒运动过程始终在磁场范围内，并与轨道垂直且接触良好，轨道和棒电阻均不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(1)判断棒ab刚要滑动时棒中的感应电流方向，并求此时棒所受的摩擦力Ff大小；(2)若磁场不动，使棒ab以水平初速度2v开始运动，经过时间t＝停止运动，棒始终处在磁场内，求棒ab运动的位移大小x及回路中产生的焦耳热Q.
练1如图所示，两光滑平行金属导轨置于水平面内，两导轨间距为L，左端连有阻值为R的电阻，一金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B、方向竖直向下的有界匀强磁场区域。已知金属杆质量为m，电阻也为R，以速度v0向右进入磁场区域，做减速运动，到达磁场区域右边界时速度恰好为零。金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。求：(1)金属杆运动全过程中，在电阻R上产生的热量QR；(2)金属杆运动全过程中，通过电阻R的电荷量q；(3)磁场左右边界间的距离d。练2如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为L，电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上(两棒始终与导轨垂直且接触良好)。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中( )A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反B．两棒最终的速度大小均为，方向相同C．MN棒产生的焦耳热为D．通过PQ棒某一横截面的电荷量为命题点精析（二）动量守恒定律和功能关系的应用1．问题特点
对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线，在该闭合回路中形成一定的感应电流；另一根导体棒在磁场中因受安培力的作用开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用．2．方法技巧解决此类问题时通常将两棒视为一个整体，于是相互作用的安培力是系统的内力，这个变力将不影响整体的动量守恒．因此解题的突破口是巧妙选择系统，运用动量守恒(动量定理)和功能关系求解．例2如图所示，MN、PQ两平行光滑水平导轨分别与半径r＝0.5m的相同竖直半圆导轨在N、Q端平滑连接，M、P端连接定值电阻R，质量M＝2kg的cd绝缘杆垂直静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场．现有质量m＝1kg的ab金属杆以初速度v0＝12m/s水平向右与cd绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计其他电阻和摩擦，ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好，取g＝10m/s2，求：(1)cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时的速度大小v；(2)电阻R产生的焦耳热Q.练3(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是( )
练4(多选)如图所示，有相距L的光滑金属导轨，其半径为R的圆弧部分竖直放置，平直部分固定于水平地面上，MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。金属棒ab和cd垂直于导轨且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触，cd离开磁场时的速度是此刻ab速度的一半，已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的有( )A．cd在磁场中运动时电流的方向为c→dB．cd在磁场中做加速度减小的加速运动C．cd在磁场中运动的过程中流过的电荷量为D．从ab由静止释放至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为mgR命题点精析（三）电场或磁场中动量和能量问题例3如图所示，在空间直角坐标系中，Ⅰ、Ⅱ象限(含x、y轴)有磁感应强度为B1＝1T、方向垂直于纸面向外的匀强磁场和电场强度为E＝10N/C、方向竖直向上的匀强电场；Ⅲ、Ⅳ象限(不含x轴)有磁感应强度为B2＝T、方向沿y轴负方向的匀强磁场，光滑圆弧轨道圆心为O′，半径为R＝2m，圆弧底端位于坐标轴原点O。质量为m1＝1kg、所带电荷量为q1＝＋1C的小球M从O′处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点。质量为m2＝2kg、所带电荷量q2＝＋1.8C的小球N穿在光滑圆弧轨道上，从与圆心等高处由静止释放，
与M同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球P(碰撞过程无电荷损失)。小球M、N、P均可视为质点，不计小球间的库仑力，g取10m/s2，求：(1)小球M在O′处的初速度；(2)碰撞完成后瞬间，小球P的速度；(3)分析P球在后续运动过程中，第一次回到y轴时的坐标。练5如图1所示，两平行长直光滑金属导轨水平放置，间距为L，左端连接一个电容为C的电容器，导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m的金属棒垂直导轨放置，某时刻金属棒获得一个水平向右的初速度v0，之后金属棒运动的v－t图象如图2所示。不考虑导轨的电阻。(1)求金属棒匀速运动时的速度v1；(2)求金属棒匀速运动时电容器的电荷量q；(3)已知金属棒从开始到匀速运动的过程中，产生的焦耳热为Q，求电容器充电稳定后储存的电能E。练6如图所示，质量M＝3.0kg的小车静止在光滑的水平地面上，AD部分是表面粗糙的水平导轨，DC部分是光滑的圆弧导轨，AD和DC部分平滑相连，整个导轨都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上E＝40N/C的匀强电场和垂直于纸面水平向里B＝2.0T的匀强磁场。今有一质量为m＝1.0kg带负电的滑块(可视为质点)以v0＝8m/s的水平速度向右冲上小车，当它过D点时对地速度为v1＝5m/s，对水平导轨的压力为10.5N，g取10m/s2。求：
(1)滑块的电荷量大小；(2)滑块从A到D过程中，小车、滑块系统损失的机械能；(3)若滑块通过D时立即撤去磁场，求此后小车所能获得的最大速度。例4半径为L的圆形边界内分布有垂直圆所在平面的磁场，垂直纸面向里的磁感应强度大小为2B，垂直纸面向外的磁感应强度大小为B，如图3所示．AEO为八分之一圆导线框，其总电阻为R，以角速度ω绕O轴逆时针匀速转动，从图中所示位置开始计时，用i表示导线框中的感应电流(顺时针方向为正)，线框中感应电流i随时间t变化图象可能是( )图3练7(多选)如图甲所示，半径为1m的带缺口刚性金属圆环导轨固定在水平面内，在导轨上垂直放置一质量为0.1kg、电阻为1Ω的直导体棒，其长度恰好等于金属圆环的直径，导体棒初始位置与圆环直径重合，且与导轨接触良好．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为0.3，不计金属圆环的电阻，导体棒受到的最大静摩擦力等于其滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2.现若在圆环内加一垂直于纸面向里的变化磁场，变化规律如图乙所示，则( )
A．导体棒中的电流是从b到aB．通过导体棒的电流大小为0.5AC．0～2s内，导体棒产生的热量为0.125JD．t＝πs时，导体棒受到的摩擦力大小为0.3N练8如图甲所示，间距为L＝0.5m的两条平行金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.2T，轨道左侧连接一定值电阻R＝1Ω.垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，并始终与导轨接触良好．t＝0时刻，导体棒从静止开始做匀加速直线运动，力F随时间t变化的规律如图乙所示．已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒和导轨的电阻均不计．取g＝10m/s2，求：(1)导体棒的加速度大小；(2)导体棒的质量．核心素养大提升例5如图所示，长为d、质量为m的细金属杆ab，用长为L的细线悬挂后，恰好与水平光滑的平行金属导轨接触，平行金属导轨间距也为d，导轨平面处于竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。闭合开关K后，细金属杆ab向右摆起，悬线的最大偏角为θ。重力加速度为g，则闭合开关的短时间内通过细金属杆ab的电荷量为( )
A． B．C．D．练9在真空中同时存在着竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场，已知电场强度为E，竖直向下；磁感应强度为B，垂直于纸面向里。如图所示，一带电液滴在垂直于磁场的竖直平面内做匀速圆周运动，轨道半径为R，若液滴运动到最低点A时分裂成两个液滴1和2，假设液滴电荷量和质量都恰好均分，液滴1在原运行方向上做匀速圆周运动，半径变为3R，圆周最低点也是A，则下列说法正确的是( )A．液滴一定是带正电荷B．液滴分裂前运动速率为C．液滴2也做匀速圆周运动且沿逆时针方向转动D．液滴2做匀速圆周运动的半径也为3R练10如图所示，间距为L＝2m的两平行光滑金属导轨由倾斜部分和水平部分平滑连接而成，水平导轨处于B＝0.5T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中，以磁场左边界为坐标原点，磁场右边界坐标为x1(数值未标出)，在坐标x0＝1.2m处垂直于水平导轨放置有一质量m＝1kg、电阻为R＝0.1Ω的导体棒ab。现把质量为M＝2kg、电阻也为R＝0.1Ω的导体棒cd，垂直于导轨放置在倾斜轨道上，并让其从高为h＝1.8m处由静止释放。若两导体棒在磁场内运动过程中不会相碰，ab棒出磁场右边界前已达到稳定速度，且两导体棒在运动过程中始终垂直于导轨并接触良好，不计导轨的电阻，忽略磁场的边界效应，g取10m/s2。求：
(1)cd棒恰好进入磁场左边界时的速度大小；(2)ab棒离开磁场右边界前的稳定速度的大小；(3)cd棒从进入磁场到离开磁场的过程中，安培力对系统做的总功。
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