专题02圆锥曲线中的面积问题一、单选题21．直线l经过抛物线y4x的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则△PQF的面积的最小值是（）A．23B．4C．42D．622xy2．已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若F1PF2，则△F1PF2的100643面积为（）646431281283A．B．C．D．333322xy3．已知双曲线1的左右焦点分别为F1,F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求△F1PF2的97面积（）73143A．B．C．73D．1433322xy4．已知椭圆1两焦点F1,F2，P为椭圆上一点，若F1PF2，则△F1PF2的的内切圆半径为（）25163323A．B．C．3D．233325．过抛物线y8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，线段AB的中点M在直线y2上，O为坐标原点，则AOB的面积为（）31092A．B．45C．D．922
二、多选题22xy226．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:221a0,b0的焦点在圆O:xy20上，ab圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点E0,3满足MEON(O为坐标原点)，下列说法正确的有（）A．双曲线C的虚轴长为4B．双曲线的离心率为53C．双曲线C的一条渐近线方程为yx2D．三角形OMN的面积为822y7．已知曲线C的方程为x1(0x1)，A0,3,B0,3,D1,0，点P是C上的动点，直线9AP与直线x5交于点M，直线BP与直线x5交于点N，则DMN的面积可能为（）A．73B．76C．68D．7222xy8．双曲线C：1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正42确的是（）6A．双曲线C的离心率为；2B．若POPF，则△PFO的面积为2；C．|PF|的最小值为2；
22yxD．双曲线1与C的渐近线相同.482y29．已知F1、F2是双曲线C:x1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以2线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）A．双曲线C的渐近线方程为y2x22B．以F1F2为直径的圆方程为xy2C．点M的横坐标为2D．△MF1F2的而积为3三、解答题2210．已知圆C:x6xy6y30，直线l:xy20是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线y2x上.（1）求圆E的方程；（2）过点Q(2,0)分别作直线MN、RS，交圆E于M、N、R、S四点，且MN⊥RS，求四边形MRNS面积的取值范围.22xy11．已知椭圆M:1(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B．经过点F的直线2a3l与椭圆M交于C，D两点．（1）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值．212．已知直线l:ykxb(b0)与抛物线C:y4x交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，
1若△PAB重心的纵坐标为，且直线PA、PB的倾斜角互补．3（Ⅰ）求k的值．（Ⅰ）求△PAB面积的取值范围．2x213．已知椭圆C:y1的右焦点为F，直线l:x2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上（异2于椭圆左、右顶点），过点P作直线m:ykxt与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q.（1）求证：PFQF；（2）若点P在x轴的上方，当△PQF的面积最小时，求直线m的斜率k的平方.22xy214．设F1，F2分别是椭圆C:221(a>b>0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为，过F2的直线l1与ab2椭圆交于A、B两点，且ABF1的周长为82，（1）求椭圆C的方程；（2）过F2点且垂直于l1的直线l2与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.22y215．已知抛物线y2pxp0的焦点F恰为椭圆2x1a1的一个顶点，且抛物线的通径（过a抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F作两条直线l1，l2，且l1，l2的斜率之积为1.11Ⅰ设直线l1交抛物线于A，B两点，l2交抛物线于C，D两点，求的值；ABCDⅠ设直线l1，l2与椭圆的另一个交点分别为M，N.求FMN面积的最大值.
22xy316．已知椭圆C:1(ab0)经过点(1,)，且短轴长为2.222ab（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OPOQ，求△OPQ面积的取值范围.17．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线y2的距离与到点F(0,1)的距离之差为1.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M(0,2)的直线l与C交于A、B两点，若AOB的面积为43，求直线l的方程.2x2218．如图，A为椭圆y1的下顶点，过点A的直线l交抛物线x2py(p0)于B,C两点，C是AB2的中点.（1）求证:点C的纵坐标是定值；（2）过点C作与直线l倾斜角互补的直线l交椭圆于M,N两点.问：p为何值时，△BMN的面积最大？并求面积的最大值.22xy19．已知椭圆C:1(ab0)的左、右顶点分别为A,B，|AB|4.过右焦点F且垂直于x轴的22ab直线交椭圆C于D,E两点，且|DE|1.
（1）求椭圆C的方程；（2）斜率大于0的直线l经过点P(4,0)，且交椭圆C于不同的两点M,N（M在点P,N之间）.记PNA与△PMB的面积之比为，求实数的取值范围.22xy20．已知双曲线C的标准方程为1，F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点.36（1）若点P在双曲线的右支上，且F1PF2的面积为3，求点P的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点F2的直线l与双曲线交于M,N两点，求线段MN的长度.22xy121．已知椭圆C:1ab0的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，直线y1与C的两个22ab246交点间的距离为.3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别过F1,F2作l1、l2满足l1//l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A,B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值.22xy222．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1ab0的离心率为e，且点P2，1在椭圆C22ab2上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A,B都在椭圆C上，且AB的中点M在线段OP（不包括端点）上.
Ⅰ求直线AB的斜率；Ⅰ求AOB面积的最大值.22xy23．已知椭圆M：1a0的一个焦点为F1,0，左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l2a3与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆M方程；（Ⅰ）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（Ⅰ）记ⅠABD与ⅠABC的面积分别为S1和S2，求S1S2的最大值．2224．已知圆M：xy22y100和点N(0,2)，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线xtym交E于B?C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1k29，求ABC面积的最大值.22xy6325．如图，在平面直标xOy中，椭圆C:1(ab0)过点2,,3,.22ab22（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点O，求平行四边形ABCD面积S的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点O到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.四、填空题22xy26．已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两434点，则F1AB的内切圆半径为________．22xy27．椭圆1的左焦点为F，直线ykx1与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长最大时，FAB43的面积为________.2x228．已知椭圆C:y1，过右焦点的直线l:yx1与椭圆交与A,B两点，O为坐标原点，则OAB2的面积为__________.229．直线l与抛物线yx交于A，C两点，B为抛物线上一点，A，B，C三点的横坐标依次成等差数列.若ABC中，AC边上的中线BP的长为3，则ABC的面积为____.230．已知点A(0,2)，抛物线y2px(p0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B．过B作l的垂线，垂足为M，若AMMF，则三角形AFM的面积S__________．231．已知经过点（1，0）的直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，点C（-1，-1），且CAⅠCB，则ⅠABC的面积为________．232．已知经过点1,0的直线l与抛物线y4x相交于A，B两点，点C1,1，且CACB，则ABC的面积为______.五、双空题
233．设抛物线y2pxp0的焦点为F1,0，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B作l的垂线，垂足为C,D，若AF4BF，则AB_________.CDF的面积为_________.专题02圆锥曲线中的面积问题一、单选题21．直线l经过抛物线y4x的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则△PQF的面积的最小值是（）A．23B．4C．42D．6【答案】B【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设直线l：xty1，与抛物线方程联立求出A,B两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值.【详解】2由抛物线y4x可知p2，所以F(1,0)，准线为x1，22依题意设直线l：xty1，代入y4x得y4ty40，设A(x1,y1),B(x2,y2)，22则y1y24t，y1y24，所以|y1y2|(y1y2)4y1y216t164，当且仅当t0时，等号成立.1所以S△PQF2|PQ||y1y2|4.2故选：B
【点睛】关键点点睛：利用A,B两点的纵坐标之差的绝对值表示|PQ|是本题解题关键.22xy2．已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若F1PF2，则△F1PF2的100643面积为（）646431281283A．B．C．D．3333【答案】B【分析】2利用椭圆焦点三角形面积公式SF1PF2btan，即可求解.2【详解】由题意知：F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，2所以△F1PF2是焦点三角形，且b64，，323643所以SFPFbtan64，12233故选：B22xy3．已知双曲线1的左右焦点分别为F1,F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求△F1PF2的97面积（）73143A．B．C．73D．14333【答案】C
【分析】先根据双曲线方程得到a3，b7，c4，设PF1m，PF2n，可得，mn2a2.由222F1PF260，在△F1PF2根据余弦定理可得:F1F2PF1PF22PF1PF2cos60，即可求得答案.【详解】22xy1，所以a3，b7，c4，97P在双曲线上，设PF1m，PF2n，mn2a6①由F1PF260，在△F1PF2根据余弦定理可得:222F1F2PF1PF22PF1PF2cos6022故64mnmn②由①②可得mn28，11直角△F1PF2的面积SF1PF2PF1PF2sinF1PF2mnsin607322故选：C.【点睛】思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.22xy4．已知椭圆1两焦点F1,F2，P为椭圆上一点，若F1PF2，则△F1PF2的的内切圆半径为（）25163
323A．B．C．3D．2333【答案】B【分析】22PF1PF22F1PPF2F1F2由余弦定理得cosF1PF2，2F1PPF21得到F1PPF2，可求得面积，再由SPF1F2PF1PF2F1F2r可得答案.2【详解】22xy2221，a25,b16,c9，2516由题意得F1P+PF22a10，F1F22c6，由余弦定理得22222PF1+PF2F1F2PF1PF22F1PPF2F1F2cosFPF，122PFPF2FPPF1212641164163得F1PPF2，SPFFPF1PF2sinsin60，312223311163设内切圆的半径为r，则SPFFPF1PF2F1F2r16r，1222323所以r.3故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.
25．过抛物线y8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，线段AB的中点M在直线y2上，O为坐标原点，则AOB的面积为（）31092A．B．45C．D．922【答案】B【分析】首先设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点差法得到kAB2，从而得到直线l:y2x2.联立直线与抛物线，利用根系关系得到y1y245，再求AOB的面积即可.【详解】2由抛物线y8x，得F2,0，设Ax1,y1，Bx2,y2，2y18x1由题知：，2y28x2即y1y2y1y28x1x2.由题意知：y1y24，y1y2所以kAB2，xx12故直线l:y2x2.y2x22联立2得：y4y160.y8x所以y1y24，y1y216.
2故y1y2y1y24y1y21641645.11所以SAOBOFy1y224545.22则AOB的面积为45.故选：B.【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题22xy226．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:1a0,b0的焦点在圆O:xy20上，22ab圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点E0,3满足MEON(O为坐标原点)，下列说法正确的有（）A．双曲线C的虚轴长为4B．双曲线的离心率为53C．双曲线C的一条渐近线方程为yx2D．三角形OMN的面积为8【答案】BD【分析】
b根据题中条件，得到双曲线的半焦距为c25，由双曲线方程可得，其渐近线方程为yx，设a22Mx0,y0，则Nx0,y0，根据MEON，以及点Mx0,y0在圆xy20上，求出M的坐标，b得出2，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.a【详解】22xy22因为双曲线C:1a0,b0的焦点在圆O:xy20上，22ab所以双曲线的半焦距为c25，22xyb由C:1a0,b0可得其渐近线方程为yx，22aab因为圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，不妨设Mx0,y0x00,y00，则Nx0,y0，y03y0又E0,3，MEON，所以kMEkON1，即1，x0x02222整理得y03y0x0，又点Mx0,y0在圆O上，所以x0y020，22y03y0x022x02由x0y020解得，即M2,4，y04x00,y00bb又点M2,4在渐近线yx上，所以2，aa222b2aa4xy由解得，因此双曲线C的方程为1；2222cab20b16416所以其虚轴长为2b8，故A错；
c25离心率为e5，故B正确；a2其渐近线方程为y2x，故C错；1三角形OMN的面积为SMNyxy8，故D正确.OMN0002故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及MEON，求出交点坐标，得出a,b之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.22y7．已知曲线C的方程为x1(0x1)，A0,3,B0,3,D1,0，点P是C上的动点，直线9AP与直线x5交于点M，直线BP与直线x5交于点N，则DMN的面积可能为（）A．73B．76C．68D．72【答案】ABD【分析】设Px0,y0，求出kPAkPB9，求出M,N的坐标和|MN|的最小值，得到DMN的面积的最小值，即得解.【详解】22y09y09kPAkPB229设Px0,y0，则x0y0．199设kpAk(k0)，则kPB，k
直线AP的方程为ykx3，则点M的坐标为(5,5k3)，9直线BP的方程为yx3，k45454545则点N的坐标为5,3．所以|MN|5k335k625k624，kkkk45当且仅当5k，即k3时等号成立．k1从而DMN面积的最小值为24672.2故选：ABD．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.22xy8．双曲线C：1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正42确的是（）6A．双曲线C的离心率为；2
B．若POPF，则△PFO的面积为2；C．|PF|的最小值为2；22yxD．双曲线1与C的渐近线相同.48【答案】ABD【分析】22c6由题知，双曲线方程a2,b2，cab6，再利用双曲线离心率e，双曲线渐近线a2b方程yx，点到直线的距离可以分别判断选项.a【详解】22c6选项A，因为a2,b2，所以cab6，则离心率为e，故A正确；a22选项B，若POPF，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在yx上，即2x2y0，点22622F(6,0)到渐近线的距离为d2，则PO622，所以△PFO的面积为61S222，故B正确；2选项C，|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离d2，故C错误；2选项D，它们的渐近线都是yx，渐近线相同，故D正确.2故选：ABD.【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.2y29．已知F1、F2是双曲线C:x1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以2线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）A．双曲线C的渐近线方程为y2x22B．以F1F2为直径的圆方程为xy2C．点M的横坐标为2D．△MF1F2的而积为3【答案】AD【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A选项的正误；求得c的值，可求得以F1F2为直径的圆的方程，可判断B选项的正误；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M的坐标，可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】2ay2由双曲线方程x1知a2,b1，焦点在y轴，渐近线方程为yx2x，A正确；2b22，以FF为直径的圆的方程是22cab312xy3，B错误；2222xy3x1x1xy3x1x1由得或，由得或.y2xy2y2y2xy2y2所以，M点横坐标是，C错误；
11S△MF1F2F1F2xM2313，D正确．22故选：AD．【点睛】2222xybyx双曲线1a0,b0的渐近线方程为yx，而双曲线1a0,b0的渐近线2222abaabab方程为yx（即xy），应注意其区别与联系.ba三、解答题2210．已知圆C:x6xy6y30，直线l:xy20是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线y2x上.（1）求圆E的方程；（2）过点Q(2,0)分别作直线MN、RS，交圆E于M、N、R、S四点，且MN⊥RS，求四边形MRNS面积的取值范围.22【答案】（1）xy9（2）[65,14]【分析】（1）设出经过圆C和直线l的圆系方程，利用圆心在直线y2x上可求得结果；（2）当直线MN的斜率不存在时，可求出四边形的MRNS面积为65，当直线MN的斜率存在时，设直线MN:yk(x2)，则直线RS:xky20，利用几何方法求出|MN|和|RS|，求出四边形MRNS面积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】22（1）依题意可设圆E的方程为x6xy6y3(xy2)0，22整理得xy(6)x(6)y320，
66所以圆心E(,)，2266因为圆心E在直线y2x上，所以2，解得6，2222所以圆E的方程为xy9.1（2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|25，|RS|6，四边形MRNS面积为25665，2当直线MN的斜率存在时，设直线MN:yk(x2)，即kxy2k0，则直线RS:xky20，|2k|2圆心E到直线MN的距离d1，圆心E到直线RS的距离d2，22k11k224k424所以|MN|29d1292252，|RS|29d2292，k1k11k144所以四边形MRNS面积为|MN||RS|2(52)(92)，2k1k11令t，则0t1，2k1442245所以(52)(92)(54t)(94t)16t16t4516(tt)，k1k1161245当t，即k1时，16(tt)取得最大值49，此时四边形的MRNS面积的最大值为14，216245当t1，即k0时，16(tt)取得最小值45，此时四边形MRNS面积的最小值为65，16综上所述：四边形MRNS面积的取值范围为[65,14]【点睛】22结论点睛：经过直线AxByC0与圆xyDxEyF0的交点的圆系方程为22xyDxEyF(AxByC)0.
22xy11．已知椭圆M:1(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B．经过点F的直线2a3l与椭圆M交于C，D两点．（1）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值．24【答案】（1）；（2）3.7【分析】22xy22xy12（1）同椭圆方程为1，直线方程为yx1，联立43，得7x8x80，由此利43yx1用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出CD的长．（2）当直线l无斜率时，直线方程为x1，|SS|0，当直线l斜率存在时，设直线方程为1222xy12222yk(x1)(k0)，联立43，得(34k)x8kx4k120，由此利用根的判别式，韦yk(x1)达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|S1S2|的最大值．【详解】2解：（1）因为F(1,0)为椭圆的焦点，所以c1，又b3，222xy所以a4，所以椭圆方程为1，43因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为yx1，和椭圆方程联立得到
22xy1243，消掉y，得到7x8x80，yx188所以△288，x1x2，x1x2，772224所以线段CD的长|CD|1k|x1x2|2(x1x2)4x1x2．7（2）当直线l无斜率时，直线方程为x1，33此时D(1,)，C(1,)，ABD，ABC面积相等，|S1S2|0，22当直线l斜率存在（由题意知k0)时，设直线方程为yk(x1)(k0)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，22xy12222和椭圆方程联立得到43，消掉y得(34k)x8kx4k120，yk(x1)228k4k12△0，方程有根，且x1x22，x1x22，34k34k此时|S1S2|2||y1||y2||2|y1y2|2|k(x21)k(x11)|12|k|12121232|k(x2x1)2k|23(k34k332122时等号成立）4|k|24|k||k||k|所以|S1S2|的最大值为3．【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．212．已知直线l:ykxb(b0)与抛物线C:y4x交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，
1若△PAB重心的纵坐标为，且直线PA、PB的倾斜角互补．3（Ⅰ）求k的值．（Ⅰ）求△PAB面积的取值范围．3【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）0,.4【分析】（Ⅰ）设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，利用斜率公式得到直线PA、PB、AB的斜率，根据直线PA、PB的倾斜角互补．得到2y0y1y20，根据三角形的重心的坐标公式可得y1y22，从而可得k2；（Ⅱ）联立直线l:y2xb与抛物线方程，根据弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求出AB边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.【详解】（Ⅰ）设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，y0y1y0y14kPA2244则x0x1y0y1y0y1，同理可得kPB,kAB，y0y2y1y24444因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以0，y0y1y0y2即2y0y1y20，1又△PAB重心的纵坐标为，根据三角形的重心的坐标公式可得yyy1，01234所以y1y22，所以kkAB2．222（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l:y2xb，与抛物线方程联立，并整理得4x4(b1)xb0，
2211其判别式16(b1)16b0b，所以0b．222b而x1x21b,x1x1，4222因此，|AB|14x1x24x1x25(1b)b512b，2y011又由（Ⅰ）知，y01，所以x0，所以P,1，444131|21b|bP,1到直线l:2xyb0的距离为42，4d4152113113所以S△PAB|AB|d512bb(12b)b222522231令f(b)(12b)b,0b，222333则f(b)2b12b2b(6b1)b0恒成立，22219故f(b)在0,上单调递减，所以f(b)(0,)，243故SPAB0,.4【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为xxxyyy123123A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则三角形的重心的坐标为,，33
2②弦长公式：|AB|1k(x1x2)4x1x2，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.2x213．已知椭圆C:y1的右焦点为F，直线l:x2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上（异2于椭圆左、右顶点），过点P作直线m:ykxt与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q.（1）求证：PFQF；（2）若点P在x轴的上方，当△PQF的面积最小时，求直线m的斜率k的平方.51【答案】（1）证明见解析；（2）.2【分析】（1）联立直线m的方程和椭圆C的方程，利用判别式列方程，求得P点的坐标，求得Q点的坐标，通过计算得到FPFQ0，由此证得PFQF.（2）求得|FP|,|FQ|，由此求得三角形PQF面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF面积的最小值，进而得出直线m的斜率k的平方.【详解】（1）证明：由题意得，点F的坐标为1,0，设Px0,y0.2x2y1222由2，得2k1x4ktx2t20ykxt22kt2kt2k2ktt1x022，y02t2.2k1tt2k12k1t2k1即点P坐标为,.tt当x2时，可求得点Q的坐标为2,2kt，
2k12kt1FP1,,，FQ1,2kt.tttt2kt2ktFPFQ0tt故PFQF.22（2）解：点P在x轴上方，t2k1，t122kt12由（1）知FP；FQ2kt1tPFQF2212kt13t4kt13t1S△POFFPFQ2k22t2t22t2t13t21①当k0时，由（1）知k，S△PQF2t1222t3t21函数ft2t1t1单调递增22tS△POFf11.2t13t21②当k0，由（1）知k，S△PQF2t1222t3t21令gt2t1t122t232t13t12t则gt222t212t2tt2122223t212t3t12t2t63t45t21由242422tt214tt14tt1
242222t1t4t1t1t25t2542424tt14tt1当t25时，gt0，此函数gt单调递增；当1t25时，gt0，此函数gt单调递减.函数gt即S△PQF的最小值g25g11，22251此时，t252k1，解得k.251综上，当△PQF的面积最小时，直线m的斜率的平方为.2【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标表示垂直关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，解决本题的关键点是表示出S△PQF，按k0和k0分别将k用t表示，并构造函数求导判断单调性和最值，考查了学生分析解决问题的能力和运算求解能力，属于中档题.22xy214．设F1，F2分别是椭圆C:221(a>b>0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为，过F2的直线l1与ab2椭圆交于A、B两点，且ABF1的周长为82，（1）求椭圆C的方程；（2）过F2点且垂直于l的直线l与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.1222xy64【答案】（1）1；（2）.849【分析】
2（1）由ABF1的周长为82，可得a22，又椭圆的离心率为，即可得出结果；（2）分类讨论：22当AB所在的直线斜率不存在时，此时四边形ABCD的面积为：S2b；当AB所在的直线斜率存在且不为0时，不妨设直线AB的方程为：ykx2，Ax1,y1,Bx2,y2，直线CD的方程为：1yx2，分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AB,CD,利用四边形k1ABCD的面积SABCD，可得关于斜率k的式子，再利用基本不等式求最值即可得出结果.2【详解】（1）由ABF1的周长为82，可得4a82a22，2又椭圆的离心率为，2cc2可得ec2，a222222所以bac844，22xy所以椭圆C的方程为：1；8422xy（2）又椭圆1可得：84a22,b2,c2,F2,0，①当AB所在的直线斜率不存在时，CD所在的直线斜率为0，2112b2此时四边形ABCD的面积为：SABCD2a2b8；22a
②当AB所在的直线斜率存在时，由题意知AB所在的直线斜率不为0，不妨设直线AB的方程为：ykx2，Ax1,y1,Bx2,y2，1则直线CD的方程为：yx2，kykx2联立22，化为：xy184222212kx8kx8k80，28kx1x2212k由韦达定理得：，28k8x1x2212k22242k1所以AB1kx1x24x1x22，12k21421k把k换成，可得CD，k2k2所以四边形ABCD的面积为：221142k1421kSABCD222212kk22216k12k44k22k288122424212kk22k5k22k5k2181，222k52k
2222由2k522k59，22kk2当且仅当k1时取等号；1164此时S8181，22992k25k64综上：四边形ACBD面积的最小值为.9【点睛】思路点睛：两条直线相互垂直，先考虑有一条直线的斜率不存在，再分析直线的斜率存在的情况，利用斜率之间的关系转化，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式，四边形面积计算公式以及基本不等式求最值.22y215．已知抛物线y2pxp0的焦点F恰为椭圆x1a1的一个顶点，且抛物线的通径（过2a抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F作两条直线l1，l2，且l1，l2的斜率之积为1.11Ⅰ设直线l1交抛物线于A，B两点，l2交抛物线于C，D两点，求的值；ABCDⅠ设直线l1，l2与椭圆的另一个交点分别为M，N.求FMN面积的最大值.22y2116【答案】（1）y4xⅠx1(2)①②249【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a，c，即可求
出椭圆方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.【详解】2y2(1)x1(a1),2a右顶点为(1,0)，2即抛物线y2pxp0的焦点F(1,0),p2，2故抛物线方程为y4x，因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，22a所以2p4，c2222a2cbcc1，c1,a2，2y2椭圆的标准方程为：x122(2)①设l1:ykx1，代入y4x消元得：2222kx(2k4)xk0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
22k44x1x2222kk，xx112222424(k1)ABk11(2)4，1222kk1又kCD，214(1)2k2同理可得|CD|4(k1)12k211k1122ABCD4(k1)4(k1)4②仍设l1:ykx1，2y2代入椭圆方程x1消元得：2222kx12x20，2即(x1)k(x1)2(x1)0，2k2xF1,xN2，k2224|FM|k1|xx|k1，FM2k214|FN|1同理得21，k22k
8121SFMNFM|FN∣k2222，2k2k25k2121k22k22（当且仅当k1时，等号成立），kk21212令tk22222，则k2t2，kk8t8t8SFMN222t252t11,2tt1对于12，在[2,)上是增函数，y2t2(t)tt9当t2时，即k1时，ymin，28SFMN1，2tt16△FMN面积的最大值为.9【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积821SFMNk222后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.22k5k2k22xy316．已知椭圆C:1(ab0)经过点(1,)，且短轴长为2.222ab（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OPOQ，求△OPQ面积的取值范围.
2x24【答案】（1）y1；（2）[,1].45【分析】（1）利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程；（2）(i)当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S1；(ii)当OP，OQ斜率都存在且不为0时，OPQykx设l:ykxP(x，Q(x，2求出P的坐标，然后推出Q坐标，求解|OP|，|OQ|，OP，1y1)，2y2)，由x2y14求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值.【详解】13（1）由题意知，221，2b2，解得a2，b1，a4b2x2故椭圆方程为：y1.4（2）(i)当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，SOPQ1，(ii)当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设lOP:ykx，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，ykx22242224k由x2消y得x12，y1kx12，y114k14k41yx214k24k222，得x22，y22x22，x24kkk4y14222244k2244kOPx1y12,OQx2y22，14kk4
221144k44k1SOPQOP·OQ2·222，2214kk49k442k2k129k9904又42，所以S1k2k1214OPQ，k252k4综上，△OPQ面积的取值范围为[,1].5【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.17．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线y2的距离与到点F(0,1)的距离之差为1.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M(0,2)的直线l与C交于A、B两点，若AOB的面积为43，求直线l的方程.2【答案】（1）x4y；（2）yx2或yx2.【分析】22（1）本题首先可以设动点P(x,y)，然后根据题意得出(2y)x(y1)1，通过化简即可得出结
果；（2）本题首先可排除直线l斜率不存在时的情况，然后设直线方程为ykx2，通过联立方程并化简得出2x4kx80，则x1x24k，x1x28，再然后根据SAOBSAOMSBOM得出2S△AOB16k32，最后根据AOB的面积为43即可得出结果.【详解】（1）设动点P(x,y)，因为动点P到直线y2的距离与到点F(0,1)的距离之差为1，222所以(2y)x(y1)1，化简可得x4y，2故轨迹C的方程为x4y.（2）当直线l斜率不存在时，其方程为x0，此时，l与C只有一个交点，不符合题意，当直线l斜率存在时，设其方程为ykx2，ykx222联立方程2，化简得x4kx80，16k320，x4y令A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1x24k，x1x28，因为SAOBSAOMSBOM，111所以S△AOBOMx1OMx2OMx1x22221222(x1x2)4x1x216k32，2因为AOB的面积为43，
所以2，解得k1或1，16k3243故直线l的方程为：yx2或yx2.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，能否根据题意列出等式是求动点的轨迹方程的关键，考查韦达定理的应用，在计算时要注意斜率为0这种情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.2x2218．如图，A为椭圆y1的下顶点，过点A的直线l交抛物线x2py(p0)于B,C两点，C是AB2的中点.（1）求证:点C的纵坐标是定值；（2）过点C作与直线l倾斜角互补的直线l交椭圆于M,N两点.问：p为何值时，△BMN的面积最大？并求面积的最大值.932【答案】（1）证明见解析；（2）当p时，面积最大值为.144【分析】22ttt2p2（1）由题意可得：A0,1，不妨设Bt,，则C,，代入抛物线方程，整理得t4p，2p24p
1计算可得点C的纵坐标值为，从而得证；23（2）由题意可得：SBMNSAMN，求得直线l的斜率，可求得直线l的斜率和方程，不妨记m，则t22l:ymx2，代入椭圆方程并整理得2m1x8mx60，3设Mx1,y1，Nx2,y2，求得MN的值和点A到直线l的距离d，进而根据三角形的面积2m1公式和基本不等式可求△BMN的面积的最大值，即可求解.【详解】22ttt2p（1）易知A0,1，不妨设Bt,，则C,，2p24p22tt2p2代入抛物线方程得2p，得t4p，24p4p2p1∴yC，4p2故点C的纵坐标为定值.（2）∵点C是AB的中点，SBMNSAMN，1123设直线l的斜率为k，则k，tt23所以直线l的斜率为k，t13t3∴直线l的方程为yx，即yx2，2t2t
3不妨记m，则l:ymx2，t22代入椭圆方程并整理得2m1x8mx60，设Mx,y，Nx,y，则11228m6x1x22,x1x222m12m12222m3MN1m|x1x2|221m2,2m13点A到直线l的距离d，2m1212m33232SAMNMNd322所以22m12442m322m324当且仅当2m3时取等号，22m32272918t9解得m，所以t2，从而p2m74149故当p时，△BMN的面积最大.14【点睛】22ttt2p2关键点点睛：设出Bt,结合A0,1，可得C,利用点C在抛物线上可求出t4p，利2p24p2t2p用其计算的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l与直线l的斜率互为相反数，直线l的方程4p3为yx2，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将△BMN的面积表示出来，最关键t的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.
22xy19．已知椭圆C:1(ab0)的左、右顶点分别为A,B，|AB|4.过右焦点F且垂直于x轴的22ab直线交椭圆C于D,E两点，且|DE|1.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率大于0的直线l经过点P(4,0)，且交椭圆C于不同的两点M,N（M在点P,N之间）.记PNA与△PMB的面积之比为，求实数的取值范围.2x21【答案】（1）y1；（2）,1.43【分析】（1）由椭圆性质结合通径运算即可得解；（2）设直线l的方程为xmy4,m0，Mx1,y1,Nx2,y2，联立方程组结合韦达定理得y1y2102,，再由三角形的面积公式即可得解.y2y13【详解】（1）因为|AB|4，所以2a4即a2，设椭圆右焦点Fc,0，222cb2b当xc时，yb1，所以1，b1，2aaa
2x2所以椭圆C的方程为y1；4（2）设直线l的方程为xmy4,m0，Mx1,y1,Nx2,y2，则0y1y2，xmy4222由x，整理可得m4y8my120，2y14222264m48m416m1920，解得m12，8m12所以y1y22，y1y22，m4m428m222y1y2y1y2m416m则2222y2y1y1y2123m42m4161022,43，312my2所以1,3，y11PAy2S△PNA2y21所以,1.S△PMB13y13PBy12【点睛】y2关键点点睛：解决本题的关键是将三角形的面积比转化为，结合韦达定理即可得解.3y122xy20．已知双曲线C的标准方程为1，F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点.36
（1）若点P在双曲线的右支上，且F1PF2的面积为3，求点P的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点F的直线l与双曲线交于M,N两点，求线段MN的长度.21414【答案】（1）,1或,1；（2）83.22【分析】（1）由双曲线方程可得FF126，进而可得点P的纵坐标，代入即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.【详解】（1）由题意，双曲线的焦距F1F22366，1设点Pm,n,m0，则S△F1PF2F1F2n3n3，解得n1，214代入双曲线方程可得m，21414所以点P的坐标为,1或,1；22（2）由题意，F23,0，则直线MN:yx3，设Mx1,y1,Nx2,y2，22xy12由36，化简可得x6x150，yx3则x1x26，x1x215，
22所以MN1kx1x24x1x22366083.22xy121．已知椭圆C:1ab0的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，直线y1与C的两个22ab246交点间的距离为.3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别过F,F作l、l满足l//l，设l、l与C的上半部分分别交于A,B两点，求四边形ABFF面1212121221积的最大值.22xy【答案】（Ⅰ）1；（Ⅰ）3.43【分析】(I)利用离心率及直线y=1与C的两个交点间的距离，求出a，b，即可求椭圆C的方程;（Ⅰ）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形ABF2F1面积的最大值.【详解】26（Ⅰ）易知椭圆过点(,1)，381所以221，①3abc1又，②a2222abc，③22由①②③得a4，b3，
22xy所以椭圆的方程为1.43（Ⅰ）设直线l1:xmy1，它与C的另一个交点为D.22与C联立，消去x，得(3m4)y6my90，2144(m1)0.设交点Ax1,y1,Dx2,y26m9则yy,yy，1221223m43m42226m49121m|AD|1m，2223m43m43m42又F2到l1的距离为d，21m21m所以S△12.ADF223m4122S△ADF2令t1m1，则1，3tr所以当t1时，最大值为3.111又S四边形ABF2F1(|BF2||AF1|)d(|AF1||DF1|)d|AD|dS△ADF2222所以四边形ABFF面积的最大值为3.21【点睛】关键点点睛：设直线l1:xmy1，联立方程，消元后利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示三角形的面积，换元后由均值不等式可求出最值，找到四边形与三角形的关系即可解决，属于中档题.
22xy222．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221ab0的离心率为e，且点P2，1在椭圆Cab2上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A,B都在椭圆C上，且AB的中点M在线段OP（不包括端点）上.Ⅰ求直线AB的斜率；Ⅰ求AOB面积的最大值.22xy32【答案】（1）1；（2）①1；②.632【分析】222（1）利用离心率，点代入椭圆方程，及abc，解方程即得参数a，b，即得方程；（2）先利用两点坐标代入椭圆方程，再作差即求得直线AB的斜率；设直线AB的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB的长度，再利用点到直线的距离公式计算AOB的高，即得到面积，最后利用基本不等式求其最大值即可.【详解】c241222解：（1）离心率e，P2，1代入椭圆C方程得221，又abc，a2ab22xy解得a6,bc3，故椭圆C的方程是1；632222x1y1x2y2（2）①点A,B都在椭圆C上，设Ax1,y1,Bx2,y2，则1,1，作差得6363y1y2y1y21x1x2x1x22y1y2y1y2，即，x1x2x1x22
y1y2y1y21因为kAB，kOPkOM，kAB1，即直线AB的斜率是1；x1x2x1x2222xy22②设直线AB的方程是yxt，联立椭圆1得3x4tx2t60，632224t2t6由16t122t60解得3x3，且x1x2,x1x2，332224t2t642故AB2x1x24x1x2249t，333t又O到直线AB的距离为d，2221142t2222t9t32故AOB面积SABd9tt9t，当且仅22323322222932当t9t时，即t时等号成立，故AOB面积的最大值为.22【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．22xy23．已知椭圆M：1a0的一个焦点为F1,0，左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l2a3与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆M方程；（Ⅰ）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（Ⅰ）记ⅠABD与ⅠABC的面积分别为S1和S2，求S1S2的最大值．22xy24【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）|S1S2|的最大值为3.437【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出a,b可得结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l：xty1(t0)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，联立直线l与椭圆M的方程，利用韦达定理12|t|求出y1y2，|S1S2|2，变形后利用基本不等式可求得最大值.3t4【详解】2222（Ⅰ）因为椭圆的焦点为F1,0，所以c1且b3，所以abc314，22xy所以椭圆M方程为1.43（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l的方程为yx1，yx1联立22，消去y并整理得2xy7x8x80，143设C(x,y)，D(x,y)，112288则x1x2，x1x2，77
284824所以|CD|11.777（Ⅲ）由（Ⅰ）知A(2,0),B(2,0)，设直线l：xty1(t0)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，xty1联立22，消去x并整理得22xy(3t4)y6ty90，1436t9则y1y22，y1y230，所以y1,y2异号，3t43t41112|t|所以|S1S2||4|y1|4|y2||2||y1||y2||2|y1y2|2223t41212123234443,当且仅当|t|时，等号成立.3|t|23|t|3|t||t|所以|S1S2|的最大值为3.【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用C,D两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.2224．已知圆M：xy22y100和点N(0,2)，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线xtym交E于B?C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1k29，求ABC面积的最大值.
22y3【答案】（1）x1；（2）.34【分析】（1）首先利用线段垂直平分线的性质得PNPQ，再表示为椭圆定义，得到曲线方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示k1k29，求得m2，再表示ABC的面积求最值.【详解】22（1）圆M：xy22y100的圆心为M0,2，半径为23，点N0,2NQ的垂直平分交MQ于点PⅠPNPQ在圆M内，PMPNPMPQ23MN，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为23的椭圆，222y由a3，c2，得b321，所以曲线E的方程为x1.3xtym,（2）Ⅰ设Bx,y，xtym，联立方程组2得11Cx2,y2，直线BC：2yx1,322213ty6mty3m30，226mt3m3由0，解得t1，y1y22，y1y22，13t13t由k1k29知y1y29x11x219ty1m1ty2m1229ty1y29m1ty1y29m1，
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