2022版新高考数学人教版一轮练习：（25） 解三角形

[练案25]第六讲　解三角形A组基础巩固一、单选题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　C　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.2．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　D　)A．2　　B．1　　C．　　D．[解析]　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.3．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　B　)A．　　B．π　　C．2π　　D．4π[解析]　在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，故C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.4．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，ccosA＋acosC＝2bcosB，△ABC的面积S＝，则b等于(　A　)A．　　B．4　　C．3　　D． [解析]　由题意可得，2sinBcosB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，∴cosB＝，∴B＝.又S＝ac·sinB＝×1×c×＝，∴c＝4.又b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋16－2×1×4×＝13，∴b＝.5．设△ABC的三内角A，B，C成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则这个三角形的形状是(　D　)A．直角三角形　　B．钝角三角形C．等腰直角三角形　　D．等边三角形[解析]　∵△ABC的三内角A，B，C成等差数列，∴B＝.∵sinA，sinB，sinC成等比数列，∴sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，∴ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC为等边三角形．6．(2021·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(　B　)A．A＝30°，B＝45°　　B．C＝75°，A＝45°C．B＝60°，c＝3　　D．c＝1，cosC＝[解析]　由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B.二、多选题7．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是(　ACD　)A．B＝90°　　B．C＝120°C．c＝4　　D．C＝60° [解析]　∵＝，∴sinB＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝4.故选A、C、D.8．(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是(　ACD　)A．在△ABC中，abc＝sinAsinBsinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝BC．在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；若A>B，则sinA>sinBD．在△ABC中，＝[解析]　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以abc＝sinAsinBsinC，故A正确；对于B，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，若sinA>sinB，根据正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，得sinA>sinB，故C正确；对于D，由＝＝，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.三、填空题9．(2021·佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为　　千米．[解析]　∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝千米．10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝sinA－sinB，则C＝　　.[解析]　在△ABC中，∵＝sinA－sinB，∴＝a－b.∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝.∴C＝.11．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝ ，若a2sinC＝5sinA，(a＋c)2＝16＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为2.[解析]　∵a2sinC＝5sinA，∴a2c＝5a，即ac＝5，因为(a＋c)2＝16＋b2，所以a2＋c2－b2＝16－2ac＝6，从而△ABC的面积为2，故答案为2.12．(2021·山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108s后看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为6_340m.(取＝1.732)[解析]　∵108s＝0.03h，∴AB＝1000×0.03＝30km，∵∠C＝75°－15°＝60°，∴＝，∴BC＝，∴C到AB边的距离为h＝BCsin75°＝20sin15°sin75°＝10sin30°＝5＝5×1.732＝8.66km，∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6340m.四、解答题13．(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.[解析]　(1)在△ABD中，cos∠ABD＝＝.∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD. ∴在△BCD中，BC2＝BD2＋DC2－2×BD×DC×cos∠BDC＝12＋12－2×1×1×＝，∴BC＝.(2)设BC＝x，则AB＝2x，cos∠ABD＝＝x.在△BCD中，BC2＝BD2＋DC2－2×BD×CD×cos∠BDC，∴x2＝1＋1－2x，∴x2＋2x－2＝0，解得x＝－1.∴cos∠BDC＝cos∠ABD＝x＝－1.14．(2020·北京，17,13分)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．[解析]　若选条件①：(1)∵a＋b＝11，∴b＝11－a，已知c＝7，cosA＝－，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝(11－a)2＋72－2×(11－a)×7×，解得a＝8.(2)∵cosA＝－，∴sinA＝＝.∵＝，∴sinC＝＝.又∵b＝11－a＝11－8＝3， ∴S△ABC＝bcsinA＝×3×7×＝6.若选条件②：(1)∵cosA＝，∴sinA＝＝.∵cosB＝，∴sinB＝＝.由正弦定理＝，得＝，∴5a＝6b，又∵a＋b＝11，∴a＝6.(2)由(1)可得b＝11－a＝5.sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，∴S△ABC＝absinC＝×6×5×＝.B组能力提升1．(2020·课标Ⅲ，11)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tanB＝(　C　)A．　　B．2　　C．4　　D．8[解析]　解法一：由余弦定理及cosC＝，AC＝4，BC＝3，知AB＝3，于是cosB＝＝>0，所以sinB＝，所以tanB＝4，故选C.解法二：作BD⊥AC于D，由cosC＝，BC＝3，知CD＝2，即D为边AC的中点，所以三角形ABC是等腰三角形，且BD＝，于是tan＝，故tanB＝＝4，故选C.2．(多选题)(2020·山东临沂一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　AD　)A．cosC＝　　B．sinB＝C．a＝3　　D．S△ABC＝[解析]　本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式．A＋3C＝π，故B＝2C .根据正弦定理＝，得2sinC＝3×2sinCcosC，又sinC>0，故cosC＝，sinC＝，故A正确；sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝，故B错误；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，将b＝2，c＝3代入得a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1.若a＝3，则A＝C＝，且B＝，与sinB＝矛盾，故a＝1，故C错误；S△ABC＝absinC＝×1×2×＝，故D正确．故选AD.3．(多选题)(2020·广东中山期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是(　ACD　)A．sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)B.＝C．cos2＝D．acosB－bcosA＝c[解析]　本题考查正弦定理、余弦定理的应用．对于A，sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，由正弦定理角化边得a＋b＝c(cosA＋cosB)，由sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC得a＝bcosC＋ccosB，同理得b＝acosC＋ccosA，代入上式整理得ccosB＋bcosC＋acosC＋ccosA＝c(cosA＋cosB)，即(a＋b)cosC＝0，因为a＋b>0，所以cosC＝0，则C＝，故A正确；对于B，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故B错误；对于C，cos2＝，根据半角公式有＝，即ccosB＝a，即ccosB＝ccosB＋bcosC，整理得bcosC＝0，因为b≠0，所以cosC＝0，即C＝，故C正确；对于D，acosB－bcosA＝c，由A知在任意的三角形中都有acosB＋bcosA＝c，所以两式相减可得bcosA＝0，因为b≠0，所以cosA＝0，即A＝，故D正确，故选ACD.4．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为　　. [解析]　由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20.由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.5．(2020·课标Ⅱ，17)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[解析]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①②得cosA＝－.因为0