新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：11.4 随机事件与概率

第四节　随机事件与概率 课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测 课前·基础巩固 【教材回扣】1．事件的有关概念(1)随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间Ω的子集来表示．(2)必然事件：在每次试验中总有____________发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件．(3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每一次试验中都_________，称∅为不可能事件．一个样本点不会发生 2．事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生_____并事件(和事件)A与B至少一个发生_____或_____交事件(积事件)A与B同时发生_____或_____互斥(互不相容)A与B不能同时发生A＝_____互为对立A与B有且仅有一个发生A＝_____A＝_____A⊆BAA＋BAAB∅∅Ω 3.古典概型(1)特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．(2)计算公式：一般地，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则P(A)＝＝_____． 4．概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有_______．性质2必然事件的概率为____，不可能事件的概率为____，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A＝____________.性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_______，P(A)＝_______．性质5如果A⊆B，那么P(A)____P(B)．性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A＝_____________________P(A)≥010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)≤P(A)＋P(B)－P(A 5．频率与概率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．事件发生的频率与概率是相同的．()2．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()3．两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()4．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．()×√×× 题组二教材改编1．(多选题)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”．则下列结论正确的是()A．C1与C2互斥B．C2，C3为对立事件C．D2＝D2D．D2＝D3解析：A中，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥，A正确；B中，C2＝“点数为2”，C3＝“点数为3”．C2与C3互斥但不对立，B错；C中，D2＝“点数为3，4，5，6”，D3＝“点数为5，6”，∴D2＝“点数3，4，5，6”＝D2，C正确；D中，D1＝“点数为1，2”，D2＝“点数为3，4，5，6”，∴D1＝∅≠D3，D错．故选AC.答案：AC 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机抽一张牌，则抽到的牌是红花色的概率为________．解析：红花色的牌有2×13＝26张，所以概率为＝.答案： 3．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为________．命中环数678910频率0.10.150.250.30.2解析：命中的环数大于8环的概率为P＝0.3＋0.2＝0.5.则命中的环数小于9环的概率为P＝1－(0.3＋0.2)＝0.5.答案：0.5 题组三易错自纠1．(多选题)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析：排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此他们都不互斥，故选BCD.答案：BCD 2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．B．C．D．解析：两位女同学相邻的种数有＝12种，而所有的4个人全排列有＝24种，由古典概率得P＝＝.故选D.答案：D 3．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这样随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：0 课堂·题型讲解 题型一　事件关系的判断[例1](1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的定义作答，A＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B＝∅，B＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．故选D.答案：D (2)生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，用A，B，表示事件D＝“产品不合格”，D＝________．解析：要使产品不合格，需第一道工序和第二道工序中至少有一道工序不合格，故D＝B＋A.答案：B＋A 类题通法判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 巩固训练1：(多选题)某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列事件中是互斥事件的是()A．恰有1名男生和恰有2名男生B．至少有1名男生和至少有1名女生C．至少有1名男生和全是男生D．至少有1名男生和全是女生解析：对于A，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于B，至少有1名男生和至少有1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于C，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件D，至少有1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件，故选AD.答案：AD 题型二　古典概型[例2](1)[2020·全国卷Ⅰ]设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．B．C．D．解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.故选A.答案：A (2)[2021·山东临沂质检]袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率是()A．1B．C．D．解析：由题意从10个球中任取2个的方法数是＝＝45，其中一红一白的事件有＝21，所以所求概率是P＝＝.故选C.答案：C (3)某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．解析：由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，共有23＝8种情况，甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A，B两个自习教室选一个教室自习，然后乙在另一个教室自习，则丙可在A，B两个自习教室随便选一个自习，由分步乘法计数原理可知，有2×2＝4种情况．因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为＝.答案： 类题通法古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目． 巩固训练2：(1)[2021·山东济南模拟]2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为()A．B．C．D．解析：设小王、小张、小刘、小李分别为A，B，C，D，则从中随机选择两位的所有情况为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，小王(A)和小李(D)至多一人被选中的情况有AB，AC，BC，BD，CD，共5种，所以所求概率为，故选D.答案：D (2)[2021·山东泰安质量检测]甲、乙、丙三名公务员随机分到A，B两个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，则每个村至少有一名公务员的概率为()A．B．C．D．解析：3名公务员分到两个村，每个村至少有1名公务员，则只能是一个村1名公务员，另一个村2名公务员，这种安排方法有＝6种安排方法，而将3名公务员任意安排到两个村，则每名公务员有2种选择．因此共有23＝8种安排方法，因此每个村至少有1名公务员的概率为P＝＝，故选A.答案：A (3)某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学选到文科类选修课程的概率是________．解析：从5门不同的选修课程中任选2门课程学习所包含的基本事件总数n＝＝7，因此该同学选到文科类选修课程的概率P＝＝.答案： 题型三　随机事件的频率与概率[例3]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃.由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃，由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 类题通法随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略(1)随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，利用频率估计概率也成为近几年高考的命题热点．(2)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．(3)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率． 巩固训练3：某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表．贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率． 解析：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56. 题型四　互斥事件与对立事件的概率[例4](1)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.①求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；②求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．(2)某医院派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：①派出医生至多是2人的概率；②派出医生至少是2人的概率． 解析：(1)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A所以P(C)＝P(A＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. (2)记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”．∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.①“派出医生至多2人”的概率为P(A＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②方法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出医生至少2人”与“派出医生至多1人”是对立事件，“派出医生至多1人”的概率P＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，所以“派出医生至少2人”的概率P0＝1－P＝1－0.26＝0.74. 类题通法求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便． 巩固训练4：(1)抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A＝()A．B．C．D．解析：由题意知，P(A)＝，P(B)＝又事件A，B是互斥事件∴P(A＝P(A)＋P(B)＝＝.故选B.答案：B (2)[2021·山东青岛二中模拟]在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同．如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为()A．B．C．D．解析：方法一：从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n＝＝9，因此至少有1个红球的概率P＝＝＝.故选B.方法二：从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n＝＝15，其中全部是黄球包含的基本事件个数是＝6，因此至少有1个红球包含的基本事件个数是15－6＝9，因此至少有1个红球的概率P＝＝.故选B.方法三：设“一次随机取出2个球，至少有1个红球”为事件A，则P(A)＝1－P()＝＝1－＝，故选B.答案：B 高考·命题预测 [预测1]核心素养——数学抽象、数学运算(一题两空)一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次．每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P＝＝.由于事件A“至少取得一个红玻璃球”与事件B“取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.答案： [预测2]概率中的数学文化齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛．若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A．B．C．D．答案：C 解析：由表可知基本事件数共有9种，其中符合题意的有6种，则P(齐王的马获胜)＝＝，故选C.齐王的马田忌的马上中下上(上，上)(上，中)(上，下)中(中，上)(中，中)(中，下)下(下，上)(下，中)(下，下) 状元笔记无放回抽样与有放回抽样的区别一、无放回抽样[典例1]有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．求下列事件的概率：(1)两次抽取的都是正品；(2)抽到的恰有一件为次品；(3)第1次抽到正品，第2次抽到次品．【解析】(1)P(A)＝＝.(2)P(B)＝＝.(3)P(C)＝＝. 二、有放回抽样[典例2]有10个球，其中3个白球7个黑球，某人有放回地进行抽球，求下列事件的概率：(1)第3次抽到白球；(2)第3次才抽到白球．【解析】(1)P(A)＝＝0.3.(2)P(B)＝＝0.147. [典例3]箱中有a个正品，b个次品(a，b均为大于3的正整数)，从箱中连续随机抽取3次，每次抽取一个产品，分别求采用以下两种抽样方式，抽取的3个产品全是正品的概率．(1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回． 【解析】(1)方法一：若把不放回抽样3次看成有顺序，则从a＋b个产品中不放回抽样3次共有.方法二：若不放回抽样3次看成无顺序，则从a＋b个产品中不放回抽样3次共有＝.(2)从a＋b个产品中有放回地抽取3次，每次都有a＋b种方法，所以共有(a＋b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a3种，所以所求概率为＝.