6.4数列求和第六章2022
内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破
必备知识预案自诊
【知识梳理】1.基本数列求和方法(3)使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法.
2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项公式:
3.常用求和公式
【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.()(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,则当a≠0,且a≠1时,Sn的值可用错位相减法求得.()(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()×√√√√
2.已知数列{an}满足:当n≥2且n∈N+时,有an+an-1=(-1)n×3.则数列{an}的前200项的和为()A.300B.200C.100D.0答案A解析由题意,当n取偶数时,an+an-1=3,S200=a1+a2+a3+a4+…+a200=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a199+a200)=3(1+1+…+1)=300,故选A.
3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2答案C
答案ABD
关键能力学案突破
考点1分组求和【例1】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(n∈N*).
解题心得1.分组转化求和数列求和应从通项公式入手,若无通项公式,则先求通项公式,然后通过对通项公式变形,转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和.2.分组转化法求和的常见类型
对点训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3+S4=S5.(1)求数列{an}的通项公式;
解(1)设等差数列{an}的公差为d,由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2.∴an=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)可得当n为偶数时,Tn=1-3+5-7+…+(2n-3)-(2n-1)=-n.当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-(n-1)+(-1)n-1(2n-1)=-(n-1)+(2n-1)=n.综上,Tn=(-1)n+1n.
考点2错位相减求和【例2】(2020全国1,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
解(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2.(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n
解题心得错位相减法求和的基本步骤及注意事项(1)基本步骤
(2)注意事项①在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn;②作差后,应注意减式中所剩各项的符号要变号.
对点训练2(2020全国3,理17)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.
(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.①从而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.②①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.
考点3裂项相消求和(多考向探究)
答案C
【例5】已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an-n+1,数列{bn}满足b1=2,bn+1=bn+an-n,n∈N*.(1)证明:{an-n}为等比数列;
证明(1)因为an+1=2an-n+1,所以an+1-(n+1)=2(an-n).又a1=3,所以a1-1=2,所以数列{an-n}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an-n=2·2n-1=2n.所以bn+1=bn+an-n=bn+2n,即bn+1-bn=2n.b2-b1=21,b3-b2=22,b4-b3=23,……bn-bn-1=2n-1.
解题心得裂项法求和的基本步骤注意:在应用裂项相消法求和时,消项的规律具有对称性,即消项后前面剩多少项,后面就剩多少项.
本课结束
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