2022届新高考复习必备数学试卷分项解析3 函数及其应用【解析版】

专题3函数及其应用一、单选题1．（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数，则（）A．B．C．7D．11【答案】C【解析】根据函数为奇函数可得将，再代入计算，即可得答案；【详解】，故选：C.2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟）已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用分段的方法，得到，由此确定正确选项.【详解】因为，所以.故选:D3．（2021·山东高三其他模拟）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）(参考数据)A．10分钟B．14分钟C．15分钟D．20分钟【答案】B【解析】根据已知条件求得的值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围，从而确定正确答案.【详解】由题意知，当时，，所以所以，解得，所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选：B4．（2021·山东高三二模）某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（）A．4小时B．7小时C．6小时D．14小时【答案】C【解析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案，分别计算两个方案同时开放的时间，比较可得结论.【详解】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案:方案一:甲､乙两泵同时开放→甲泵开放方案二:甲､乙两泵同时开放→乙泵开放如果用方案一注水，可设甲､乙两泵同时开放的时间为x个小时，由题意得方程．解得:(小时)．如果用方案二注水，可设甲､乙两泵同时注水的时间为y个小时．则， 解得:(小时)．所以选方案一注水，可得甲､乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时，故选：C．5．（2021·山东泰安市·高三三模）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（）A．所有奇函数的图象都不关于原点对称B．所有非奇函数的图象都关于原点对称C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称D．存在一个奇函数的图象关于原点对称【答案】C【解析】根据全称命题的否定形式否定即可.【详解】全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选:C6．（2021·山东泰安市·高三三模）某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为（）（精确到，参考数据）A．30B．31C．32D．33【答案】D【解析】根据所给数据先求，再解即可得解.【详解】由题意当时，，当时，，所以，解得，所以．当时，有，即，解得．故选：D． 7．（2021·山东泰安市·高三三模）已知某城市月平均气温为，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过，则该月平均气温在及以上的日子最多有多少天？（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设平均气温度有天，由题设列方程并整理得，即可求的最大值.【详解】设平均气温度有天，度以下有天，∴，化简得，要使度及以上的天数多，气温就要低，∴度时，天数最多为天（因为不到天），故最多有天.故选：B．8．（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知函数，若，那么实数的值是（）A．4B．1C．2D．3【答案】C【解析】先求出，变成，可得到，解方程即可得解.【详解】，变成，即，解之得：.故选：C.9．（2021·山东潍坊市·高三三模）某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为，（，其中表示5月1日，表示6月1日，以此类推）．若，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（）A．5月和6月B．6月和7月C．7月和8月D．8月和9月【答案】B 【解析】根据条件求得参数n，求导求得函数单调性，根据单减区间判断价格下跌的月份.【详解】，故，，，则，则时，单增；时，单减；时，单增；则和2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月故选：B10．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）A．104倍B．105倍C．106倍D．107倍【答案】C【解析】根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.【详解】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，由题意得解得∴故选：C11．（2021·山东济南市·高三二模）苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时天文学家处理“大数运算”提供了巨大的便利．已知正整数的31次方是一个35位数，则由下面的对数表，可得的值为（） 236789111213141516170.300.480.780.850.900.951.041.081.111.151.181.201.23A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】根据题意可得,即可求出,根据表即可求出.【详解】因为正整数的31次方是一个35位数，所以，则，即，所以，故选：B12．（2021·山东临沂市·高三二模）在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等，它能反映天体的发光本领．如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离．下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差关于距离（光年）的回归方程类型的是（）星名天狼星南河三织女星大角星五车二水委一老人星参宿四距离8.611.462536.7142.8139.44309.15497.950.260.593.154.885.92A．B．C．D．【答案】B 【解析】由表格数据在直角坐标系中标注点坐标，勾画出大概图象，对比的图象，即可知其回归方程类型.【详解】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如下图示，图象左侧无限靠近y轴，不与y轴相交，故其拟合曲线比较接近的图象，故选：B.13．（2021·山东高三其他模拟）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的函数值与函数的单调性进行判断即可. 【详解】由题知当时，函数，排除A，C，又由，，，排除B.故选：D.14．（2021·山东高三二模）已知函数，且，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定函数的对称性与单调性，然后由对称性和单调性解不等式．【详解】∵，∴的图像关于直线对称，∵和都在上是减函数，在上是增函数，∴在上为减函数，在上为增函数．又，∴，即或，解得或．故选：C．15．（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D 【解析】由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果.【详解】由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题；若甲、乙成立，即，，则，所以，即函数的周期为4，即丁为假命题.由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选：D.16．（2021·山东淄博市·高三二模）函数的部分图像大致为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】 先判断函数的奇偶性，在取特殊值验证即可.【详解】因为,，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，故排除C选项，当时，，故排除B选项；当时，，故排除A，故选：D17．（2021·山东德州市·高三二模）函数的部分图像大致为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数解析式，取特殊值，判断正负，即可判断图像.【详解】由知，为偶函数，，，故排除BC选项；，，易知在随着x增大过程中出现递减趋势，且趋近于x轴，故A正确.故选：A. 18．（2020·山东高三其他模拟）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性排除A、C，再通过特殊点排除D.【详解】因为，所以是偶函数，所以的图象关于y轴对称，排除A，C；因为，排除D.故选：B.19．（2021·山东聊城市·高三三模）函数的图象大致为（）A．B．C．D． 【答案】A【解析】首先判断函数的奇偶性，然后再判断当或时的函数值即可得出选项.【详解】由，定义域为，所以函数为奇函数，故排除BD；当时，；当时，函数的增长速度比的增产速度快，所以，故排除C；故选：A20．（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示， ∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.21．（2021·山东济宁市·高三二模）已知函数，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由得到，把转化为，利用函数单调性求出最小值.【详解】函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标分别为a、b，不妨设.由可得：，解得：， 所以记，任取，则。因为，所以，所以，所以则在上单调递减，所以故选：C22．（2021·山东高三其他模拟）已知，，则方程的解的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将方程因式分解，求得或，结合的图象判断出正确选项.【详解】因为，所以，所以或，画出的大致图象，如图，因为，所以，因为直线与函数的图象有1个交点，直线与函数的图象有2个交点，故方程的解的个数是3. 故选：B.23．（2021·山东日照市·高三二模）已知函数是定义域为R的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数k取值范围是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】依据题干可知函数的周期为4，数形结合结合进行判断即可.【详解】∵偶函数，∴，是奇函数，得，即，，得函数的零点个数即方程根的个数即与的图像交点的个数，因为的图像为半圆，因为如图所示： 故由图像可知斜率k应该在与之间或为，点到直线的距离为1，故（舍）点到直线的距离为1，故（舍）点到直线的距离为1，故（舍）所以或，故选：C．24．（2021·山东泰安市·高三一模）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】比较的大小，再根据单调性，即可得答案；【详解】偶函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，又，，，，故选：D.二、多选题25．（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得，即， 单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.26．（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（）A．为奇函数B．为减函数C．有且只有一个零点D．的值域为【答案】AC【解析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.【详解】,,,故为奇函数，又，在R上单调递增，，，，，，即函数值域为令，即，解得，故函数有且只有一个零点0. 综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC27．（2021·山东泰安市·高三三模）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（）A．函数是周期为4的周期函数B．C．当时，D．不等式的解集为【答案】ABD【解析】根据函数为偶函数知函数的对称轴为，进而由对称轴得，结合求得函数是周期为4，由奇函数知求出，然后根据分段函数求解析式即可求出在上的解析式，接下来解不等式即可，最后选项逐个排除即可选出正确结果.【详解】对于选项A，由函数为偶函数得函数的对称轴为，故得，又，所以，从而得，所以函数是周期为4的周期函数，故选项A正确；对于选项B，又奇函数当时，，故得，解得，所以当时，．所以，故选项B正确；对于选项C，当时，，所以，故选项C不正确；对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可．当时，由，解得，故得；当时，由，解得，故得， 综上可得不等式在一个周期上的解集为，所以不等式在定义域上的解集为，故选项D正确．综上ABD正确．故选：ABD.28．（2021·山东济宁市·高三二模）已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（）A．是以为周期的周期函数B．C．函数的图象与函数的图象有且仅有个交点D．当时，【答案】ACD【解析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出、的值，可判断B选项的正误；数形结合可判断C选项的正误；求出函数在区间上的解析式，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由已知条件可得，所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；对于B选项，，，则，B选项错误；对于C选项，作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，，结合图象可知，.当时，，即函数与函数在上的图象无交点，由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；对于D选项，当时，，则，所以，，D选项正确.故选：ACD.29．（2021·山东临沂市·高三二模）若，，，则（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】对四个选项一一验证：对于A：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C：利用不等式的传递性比较大小；对于D：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A：，又，且为增函数，所以，所以，即.故A正确； 对于B：，，因为为增函数，所以；故B正确；对于C：因为，，所以，故C错误；对于D：因为，所以，而又，所以，所以，所以，故D错误.故选：AB.30．（2021·山东青岛市·高三二模）下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】A.根据，指对数和0或1比较大小，判断选项；B.两个值和1比较大小，判断选项；C.利用分析法，变形判断选项；D.两个数变形为，，再和特殊值比较大小.【详解】A.，，，，故A不正确；B.,,，故B正确；C.要判断，即判定，即判定，即，即，即成立，故C正确；D.，，，且，，，故D正确.故选：BCD 31．（2021·山东高三其他模拟）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】画出的函数图象，根据图象讨论的根的情况，结合二次函数的性质可求解.【详解】当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，作出的图象，如图所示，令，则，令，由题意得方程有两个不同的根：①有两个不同的根，，且，，则有，解得.②有两个不同的根，，且，，则有，则， 方程为，得，，满足条件.③有两个不同的根，，且，，因为，则，方程为，得，，不符合题意，舍去.综上所述，实数.故选：BCD.三、填空题32．（2021·山东泰安市·高三三模）请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数_______．【答案】【解析】由余弦函数的性质知：符合题设函数性质.【详解】由在上偶函数，值域为且在上单调递减，故答案为：33．（2021·山东日照市·高三其他模拟）写出一个满足的奇函数______.【答案】（答案不唯一）【解析】由可知的图象关于直线对称，又为奇函数，所以的周期为4，写一个符合条件的函数即可.【详解】取，下面为证明过程：显然，其定义域为R； 由，故为奇函数；又.故答案为：（答案不唯一）.34．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．【答案】（答案为唯一）【解析】根据可以知道该函数是偶函数，根据定义域、值域、奇偶性写出一个函数即可.【详解】的定义域为，值域为，且，因此符合题意．故答案为：35．（2021·山东高三二模）已知函数，则关于的方程的实根的个数是___.【答案】5【解析】由方程得或，结合分段函数解析式，即可求实根的个数.【详解】由知：或，∴由函数解析式，知：当时，有，解得，满足； 当时，若且，有；若，解得，满足；∴综上知：方程一共有5个根.故答案为：536．（2021·山东潍坊市·高三三模）设函数则不等式的解集为________．【答案】【解析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知在R上单调递增，且，则，由单调性知，解得故答案为：37．（2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)【解析】由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．【详解】 由题意函数是上的增函数，设，，由，解得，所以，所以故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．38．（2020·山东高三其他模拟）已知函数，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】根据题意，能判断出不是方程的实数根，从而得到，将方程有两个根转化为与的图象恰有两个不同的交点，画出函数图象，观察图象得到结果【详解】由题意可得，显然不是方程的实数根，则， 故关于x的方程恰有两个实数根，等价于与的图象恰有两个不同的交点.画出的大致图象，如图所示，由图象可得.故答案为：.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据方程根的个数求参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）观察式子，对其变形；（2）将方程的根的个数转化为图象交点个数来完成；（3）画函数图象，得到结果.