专题4.4导数的综合应用新课程考试要求了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模（例9.10）、直观想象（例3）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；（2）适度关注生活中的优化问题.【知识清单】1．利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.2．与函数零点有关的参数范围问题（1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）求极值的步骤：①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.3．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：4．利用导数证明、解不等式问题无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.【考点分类剖析】考点一：利用导数研究函数的零点或零点个数【典例1】（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知函数（1）当时，求图象在点处的切线方程；（2）当且时，证明有且仅有两个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】（1）当时，代入，求导，根据导数几何意义即切线斜率，求得切线方程；（2）通过二次求导判断导函数的单调性，进而求得原函数单调性，从而解决零点个数问题.【详解】（1）当时，则，则，又则图象在点处的切线方程为；（2）由则恒成立，单调递增；又；，则必然存在一点，使得，且，，单减，，，单增，即，
则，故若有且仅有两个零点，则，只需最小值点不在处取得即可，即，即，故当且时，有且仅有两个零点.【典例2】（2020届山东省高三2月月考）已知函数,为的导函数.(1)求证:在上存在唯一零点;(2)求证:有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)设，当时，，所以在上单调递减，又因为，所以在上有唯一的零点，所以命题得证．(2)①由(1)知：当时，，在上单调递增;当时，，在上单调递减;所以在上存在唯一的极大值点所以又因为所以在上恰有一个零点．又因为
所以在上也恰有一个零点．②当时，，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点．③当时，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点．综上，有且仅有两个零点．【方法技巧】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．【变式探究】
1.（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）【多选题】关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【解析】（1）的定义域为，，所以在上递减，在上递增，所以是的极小值点.故A选项错误.（2）构造函数，，所以在上递减.而，，.所以有且只有一个零点.故B选项正确.（3）构造函数.，由于，开口向下，和时，，即，时，故不存在正实数，使得恒成立，C选项错误.（4）由（1）知，在上递减，在上递增，是的极小值点.由于任意两个正实数，，且，，故.令，.由得，即，即，解得，则
.所以.要证，即证，即证，由于，所以，故即证①.构造函数（先取），；，；.所以在上为增函数，所以，所以在上为增函数，所以.故当时，.即证得①成立，故D选项正确.故选：BD.2.（2019·全国高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意知：定义域为：且令，，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得
当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，①当时，由（1）可知在上单调递增在上单调递减又为在上的唯一零点②当时，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递增，此时，不存在零点又，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点④当时，，即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点考点二：与函数零点有关的参数范围问题【典例3】（2021·高三其他模拟（文））已知关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由参变量分离法得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】由可得，设，其中，当时，，则，此时函数单调递增，当时，，则.
若，，此时函数单调递减，若，，此时函数单调递增，所以，，作出函数与的图象如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【典例4】（2020·全国高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2).【解析】（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.（2）由（1）知，有三个零点，则，且即，解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理，，所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．【答案】B【解析】令f(x)=0，分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】令f(x)=0，则，，令，，令，，则函数在区间单调递增，，所以，函数在区间单调递增，所以有，即，所以，故选：B．2.（2021·全国高三其他模拟）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在[，2]上有两个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，的递增区间是：；递减区间是：.（2）.
【解析】（1）求导函数，分和两种情况讨论可得结果；（2），令，，通过求导列表作出的简图，数形结合可得结果.【详解】（1）显然，函数的定义域为.因为，求导得.当时，对任意，恒成立，所以，在上单调递增；当时，由得或；由得，所以，的递增区间是：，；递减区间是：.综上可知，当时，在上单调递增；当时，的递增区间是：，；递减区间是：.（2），.所以令，，则，令得或（舍）.列表0
且.作出函数的简图，由图可知，当即时，的图象与直线由两个不同的交点.故在上有两个不同的零点时，的取值范围是.【易错提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．考点三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题【典例5】（2021·河南商丘市·高三月考（文））设函数（1）求函数的极值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．【解析】（1）先求导函数，然后利用导数判断函数单调性即可得函数极值；
（2）原问题等价于在上有解，即，构造函数即可求解.【详解】解:（1）由于函数的定义域为易知在上单调递增，且有，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，因此函数的极小值为，无极大值．（2）由题意，，即在上有解．记，则，若，当时总有，所以在上单调递增，所以，要使在上有解，只需，所以．若，当时，，若原不等式在上有解，则，即，即，与已知矛盾．综上，的取值范围为．【典例6】（2020·全国高考真题（理））已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【解析】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.【规律方法】1.一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min．2.含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：①的图象和图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.【变式探究】1．（2020·湖南长郡中学高三其他（文））已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若恒成立，求实数a的最大值.（e为自然对数的底）【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知，时，﹔时，，①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递减，上单调递增；③当时，在的单调递减；（2）由已知恒成立，令，则，由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，则，即整理得，
令，恒成立，即在R上单调递增，而，，所以，即a的最大值为.2.（2019·全国高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点，使得又在上单调递减为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减
可知不恒成立综上所述：考点四：利用导数证明、解不等式问题【典例7】（2019·山东高考模拟（文））已知函数，则使不等式成立的的最小整数为（）A．-3B．-2C．-1D．0【答案】D【解析】根据题意，函数，其导数，时，可以看成是1为首项，为公比的等比数列，则有，函数在上为增函数，又由，，则函数在上存在唯一的零点，设其零点为，，又由，则，故不等式成立的的最小整数为0；故选：D．【典例8】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，然后分和判断导数的正负，从而可求得其单调区间；（2）要证明，只需要使的最大值小于等于，而由（1）可知，再构造函数，利用导数可得，从而可得，进而可证得结论【详解】解：（1），当时，，在上单调递增，当时，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，综上：当时，在上单调递增，当时，在递增，在递减.（2）证明：由（1）知，当时，，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，
故的最大值是，故即，故，故，故当时，.【规律方法】利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.【变式探究】1．（2019·北京高考真题（文））已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ），令得或者.当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.（Ⅱ）设，，令得或者
，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；而，所以，即；同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的较大者，若，即时，；若，即时，；所以当最小时，，此时.2.（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：，其中，.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求得导数，根据和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）由（1）得到当时，在是减函数，求得，进而得到，得出，即可作出证明.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
可得，其中，当，即，即时，，在为减函数；当，即，即时，由得，，且，，，在上，，为减函数；在上，，为增函数，在上，，为减函数，综上可得，当时，在为减函数；当时，在和上为减函数，在为增函数（2）由（1）知，当时，在是减函数，所以当时，，即，所以，所以，其中所以，所以，所以
所以.高频考点五：利用导数解决生活中的最优化问题【典例9】（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为，则高为，小圆柱体体积，设，则则当时，故答案为：【典例10】（2020·江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）米【解析】（1）由题意得米（2）设总造价为万元，，设，(0舍去)当时，；当时，，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【规律方法】1.常见生活最优化问题：（1）面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．（2）利润最大、效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．（3）用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为关于自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．2.利用导数解决生活中的优化问题的步骤
第一步分析实际问题中各量之间的关系，构建数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)第二步求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0第三步比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值第四步回归实际问题，给出优化问题的答案3.在解决生活中遇到的优化问题时，可以利用基本不等式．利用基本不等式求最值时，必须注意使用的前提以及等号成立的条件成立，否则易犯错误，注意f′(x0)＝0的x0是否在定义域内，从而进行分类讨论．【变式探究】1.（2021·广东江门市·高三一模）如图，抛物线与动圆相交于四个不同点．（1）求的取值范围；（2）求四边面积的最大值及相应的值．【答案】（1）；（2）的最大值，.【解析】（1）联立抛物线和圆的方程，要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根，写出满足的不等式组，求得r的取值范围.（2）设出A，B坐标，根据（1）中联立结果写出韦达定理，表示出四边形ABCD的面积表达式，方法一借助导数求单调区间，从而求得最大值；方法二把表达式写成因式乘积的形式，借助不等式求得最大值.【详解】
解：（1）联立抛物线与圆方程消可得：要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根．所以，解得：的取值范围为；（2）设，其中，则令当时，单调递增；当时，单调递减．当时，取得最大值，即，方法二：
当时，即取得最大值，2.（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）2018年森林城市建设座谈会在深圳举行.会上宣读了国家森林城市称号批准决定，并举行授牌仪式，滕州市榜上有名，被正式批准为“国家森林城市”.为进一步推进国家森林城市建设，我市准备制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列两个条件：①每年用于风景区改造的费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年用于风景区改造的费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若每年改造生态环境的总费用至少1亿元，至多4亿元；请你分析能否采用函数模型作为生态环境改造投资方案.【答案】能采用函数模型作为生态环境改造投资方案，理由见解析【解析】∵，.∴当时，函数是增函数，满足条件①.设，.则.令，得.当变化时，，的变化情况，如下表：124－0+
21%递减极小值16%递增24%当时，有最小值为，当时，，当时，，满足条件②.所以能采用函数模型作为生态环境改造投资方案.
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