2022年高考数学一轮复习讲练测5.1 平面向量的概念及线性运算（新高考）（练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第五章平面向量、复数专题5.1平面向量的概念及线性运算（练）【夯实基础】1．（2021·全国高三其他模拟（理））点为的重心，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据向量加减的计算方法和重心的性质即可得到答案.【详解】解：由题意可知，故.故选：A.2.（2020·西藏日喀则上海实验学校高二期中（文））若四边形是矩形，下列说法中不正确的是（）A．与共线B．与相等C．与是相反向量D．与模相等【答案】B【解析】根据四边形是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可．【详解】解：四边形是矩形且，故，答案正确；但的方向不同，故答案错误；19/19 且且的方向相反，故答案正确；故选：．3．（2020·全国高一课时练习）已知正六边形，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，结合向量的加法运算得出答案.【详解】如图所示，故选：B4．（2020·全国高二课时练习）已知向量，，满足，则（）A．＝＋B．＝－－C．与同向D．与同向【答案】D【解析】利用向量加法的意义，判断与同向.【详解】19/19 由向量加法的定义＝＋，故A、B错误由，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．故D正确，C错误.故选：D.5．（2020·广东高三一模）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，，故选：B6.（2020·福建福州市·文博中学高一期末）下列命题中正确的是（　　）A．若，则B．若，则是平行四边形C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】利用向量相等可判断AD选项的正误，取、、、四点共线可判断B选项的正误，取可判断C选项的正误.19/19 【详解】对于A选项，若，但、方向不相同时，，A选项错误；对于B选项，若、、、四点共线且，则、、、无法构成四边形，B选项错误；对于C选项，取，虽然有，，但、不一定平行，C选项错误；对于D选项，若，，则，D选项正确.故选：D.7．（2020·全国高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；选项C，显然可得出，该选项正确；选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.故选：C.8．（2020·江苏高三专题练习）设，为非零向量，则“∥”是“与方向相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线性质判断即可.【详解】因为，为非零向量，所以∥时，与方向相同或相反，19/19 因此“∥”是“与方向相同”的必要而不充分条件．故选：B．9．（2020·广东高三专题练习）在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直接利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由题可得，故选：D．10．（2021·全国高一课时练习）若表示“向东走8km”，表示“向北走8km”，则|＋|＝________，＋的方向是________．【答案】8km东北方向【解析】由向量的垂直关系，及模长公式求得结果，并判断方向.【详解】解析：由题意知与垂直，故，＋的方向是北偏东45°，即东北方向．故答案为：km；东北方向；【提升能力】1．（2021·浙江湖州市·高一开学考试）下列说法正确的是（）A．若，则B．在中，必有19/19 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点D．若均为非零向量，则【答案】B【解析】对于A，当时，A不正确；对于B，根据三角形的加法法则可知B正确；对于C，A，B，C三个点也可能在一条直线上，故C不正确；对于D，举特殊向量可知D不正确.【详解】对于A，当时，满足，但是与不一定共线，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，若，则A，B，C三个点也可能在一条直线上，故C不正确；对于D，当，时，，，此时，故D不正确.故选：B2．（2021·全国高一课时练习）设是任一向量，是单位向量，且，则下列表示形式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，知A错误；当时，知与同向或反向，由此得到结论.【详解】当时，无意义，A错误；当时，BCD均正确；当时，由知：与同向或反向，知BC不全面，D正确.故选：D.19/19 3．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则的最小值为（）A．40B．C．D．80【答案】A【解析】由题知，，从而有，则当风叶旋转到最低点时，最小，从而计算出模长的最小值.【详解】由题知，，即，则，则当风叶旋转到最低点时，最小，且值为.故选：A4．（2020·全国高一课时练习）设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（）A．B．C．D．【答案】C19/19 【解析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】如图，＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.故选：C.5.（2021·全国高一课时练习）给出下列5个命题：①若||＝||，则＝；②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③平行四边形ABCD中，一定有；④若，，则；⑤若，，则．其中不正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据向量相等和共线的概念一一判断即可.【详解】根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而命题①中两向量方向不一定相同，故不正确；19/19 命题②中A，B，C，D可能落在同一条直线上，故不正确；零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故命题⑤中若＝0，则与就不一定平行了，因此也不正确，显然平行四边形ABCD中，一定有和若，，则均正确，只有③与④正确．故选：B.6．（2021·天津高一期中）在中，非零向量、、满足，则点是的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】分别取、、的中点、、，分析出为三条底边上中线的交点，由此可得出结论.【详解】如下图所示：分别取、、的中点、、，连接、、，，所以，，所以，，故、、三点共线，即，同理可知，，即为三条底边上中线的交点，因此，为的重心.故选：C.19/19 7．（2020·青海西宁市·湟川中学高一期末）如图，在中，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.【详解】故选：B8．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在中，，是上的一点，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】19/19 解：因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，故选B．9．（2021·全国高一课时练习）下列说法中正确的是__．①单位向量都共线；②若，则∥；③若||＞||＞||，则||＞||；④||≤||且||≤||．【答案】②【解析】根据单位向量、相等向量的定义判断①②，由判断③，由判断④.【详解】单位向量方向不一定相同或相反，故单位向量不一定共线，故①错误；若，则方向相同，所以是共线向量，故②正确；当时，，故③错误；当时，故④错误．故答案为：②．10．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知四边形，点､､､分别是､､､的中点，则与的关系为___________.(用文字叙述)【答案】相等【解析】可画出图形，并连接，根据条件可得出，这样即可得出与的关系．【详解】如图，连接，19/19 、、、分别是、、、的中点，是的中位线，是的中位线，，即，同理，与的关系为：相等．【拓展思维】1．【多选题】（2021·全国高一专题练习）在中，长为的是边的高，若，则（）A．B．C．D．是正三角形【答案】AC【解析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据化简整理得出，再然后根据单位向量的性质以及向量运算法则得出是顶角为的等腰三角形，最后根据即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：19/19 因为是边的高，，所以，即，，，因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，所以易知是顶角为的等腰三角形，因为，所以，，，故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查单位向量的性质以及向量运算法则的应用，能否根据得出是解决本题的关键，考查推理能力，体现了转化与化归思想，是中档题.2．（2021·江西新余市·高一期末（理））若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接，，延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案.【详解】是所在平面内一点，连接，，延长至使，∵，∴，连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，19/19 由于，所以，又，所以，在平行四边形中，，则与的面积比为，故选：C.3．（2020·湖北高一月考）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.【详解】如图，设，，已知均为单位向量，19/19 故四边形为菱形，所以平分，由得，又与有公共点，故三点共线，所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.故选：A.4．（2021·四川成都市·成都七中高一月考）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点.设则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用表示出，再结合结论：若三点共线且，则.即可得出的关系式，即可得出有最小值.【详解】19/19 因为，所以.又因为三点共线，所以.所以.所以所以当时,有最小值为.故选:A.5．（2021·全国高一专题练习）已知为平面内两个不共线的向量，，若M，N，P三点共线，则λ=________.【答案】-4【解析】结合向量的共线性质和相等向量的运算即可得出结果.【详解】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得=k，所以，又，为平面内两个不共线的向量，可得，解得λ=-4.故答案为：-46．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量不共线，.若三点共线，则实数___________．【答案】【解析】用表示出，再由向量共线的充要条件列式即可得解.【详解】19/19 因，则，又三点共线，即，则存在，有，，而向量不共线，于是得，解得，所以实数.故答案为：7．（2021·全国高一专题练习）设a，b是不共线的两个向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值为________.【答案】-1【解析】根据三点共线可得向量平行，建立方程求解即可.【详解】，∵A，B，D三点共线，，则存在实数λ使得：，，得得：.故答案为：8．（2021·全国高一专题练习）已知直线x+y=a与圆交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________.【答案】【解析】由结合向量加减法的意义可得为等腰直角三角形，再经计算得解.【详解】因，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA，OB19/19 为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等，从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形，于是点O到直线AB距离为，所以，即.故答案为：9．（2021·天津高一期末）已知向量是两个不共线的向量，且与共线，则实数m的值为______．【答案】或2【解析】根据向量共线的充要条件，若与共线，就能得到含的等式，即可得到答案.【详解】因为向量是两个不共线的向量，且与共线，则存在常数k使得，解得或故答案为：-1或210．（2021·高三其他模拟）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.【答案】【解析】先根据三点共线求解出之间的关系，由此确定出为周期数列，并求解出前项的值，然后根据周期性可求的值.【详解】设，所以，所以，19/19 所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，因为，所以，所以，所以，故答案为：.19/19