2022年高考数学一轮复习讲练测2.4 二次函数与幂函数（新高考讲）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第一章函数专题2.4二次函数与幂函数（讲）【考试要求】1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.【高考预测】1．与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；要格外注意“三个二次”的结合问题；2．幂函数的图象与性质的应用.【知识与素养】知识点1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【典例1】（2021·浙江省高一期末）幂函数的图象经过点，则_______【答案】20/20 【解析】由幂函数的定义可设，代入运算即可得解.【详解】由题意，设，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以.故答案为：.【思路点拨】幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，利用待定系数法，先求幂指数，得到函数解析式，进一步求函数值.知识点2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0．若对任意x∈［–3，+∞），f(x)≤x恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［18，2］【解析】分类讨论：①当x>0时，fx≤x即：−x2+2x−2a≤x，整理可得：a≥−12x2+12x，由恒成立的条件可知：a≥−12x2+12xmaxx>0，结合二次函数的性质可知：当x=12时，−12x2+12xmax=−18+14=18，则a≥18；②当−3≤x≤0时，fx≤x即：x2+2x+a−2≤−x，整理可得：a≤−x2−3x+2，由恒成立的条件可知：a≤−x2−3x+2min−3≤x≤0，结合二次函数的性质可知：当x=−3或x=0时，−x2−3x+2min=2，则a≤2；综合①②可得a的取值范围是18,2.【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为________.【答案】【解析】设不等式对任意实数都成立，只需满足，即可.所以有因此实数的最大值为.20/20 考点6二次函数的综合应用例7.（2021·浙江高三二模）已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．【答案】【解析】考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值．【详解】设，，图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，时，，时，，时，，因此时，，时，，，所以①，②，由①得，代入②得，因为，此式显然成立．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．故答案为：．关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．例8.（2019·陕西省汉中中学高三月考（理））已知函数fx=x2+ax+3．（Ⅰ）当a=−4时，求函数fx的零点；（Ⅱ）若函数fx对任意实数x∈R都有f1+x=f1−x成立，求函数fx的解析式；20/20 （Ⅲ）若函数fx在区间−1,1上的最小值为−3，求实数a的值．【答案】（Ⅰ）1和3（Ⅱ）fx=x2−2x+3（Ⅲ）a=−7或a=7.【解析】（Ⅰ）当a=−4时，fx=x2−4x+3=x−1x−3，由fx=0可得x=1或x=3，所以函数fx的零点为1和3．（Ⅱ）由于f1+x=f1−x对任意实数x∈R恒成立，所以函数fx图像的对称轴为x=1，即−a2=1，解得a=−2．故函数的解析式为fx=x2−2x+3．（Ⅲ）由题意得函数fx=x2+ax+3图像的对称轴为x=−a2．当−a2≥1，即a≤−2时，fx在−1,1上单调递减，所以fxmin=f1=a+4=−3，解得a=−7．符合题意．当−1b>cD．c>a>b【答案】C【解析】20/20 幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4)，∴2m＝4，m＝2；∴a=m12=2>1，b=(13)m=19∈0,1，c=−logm3＝﹣log23＜0，∴2＞19＞−log23，∴a>b>c．故选：C．【学科素养提升】转化与化归思想转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等【典例】（2021·浙江高一期末）设函数（1）若是偶函数，求k的值（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；（3）设函数若在有零点，求实数的取值范围．【答案】（1），（2），（3）【解析】（1）由偶函数的定义可得，，列方程可求出的值；（2）由，可得，分离出，换元转化后利用二次函数的性质求解即可；（3）结合已知条件，代入可求，然后结合在有零点，利用换元法，结二次函数的性质求解.【详解】20/20 解：（1）因为是偶函数，所以，即，，解得；（2）由，可得，则，即存在，使成立，令，则，因为，所以，令，则对称轴为直线，所以在单调递增，所以时，取得最大值，即，所以，即实数m的取值范围为；（3），则，所以，设，当时，函数为增函数，则，若在上有零点，即在上有解，即，，因为函数在为增函数，所以，20/20 所以的取值范围为.20/20