全国版2022高考数学一轮复习解题思维5高考中数列解答题的提分策略试题理含解析

解题思维5　高考中数列解答题的提分策略1.[2020南昌市三模,12分]已知数列{an}中,a1=2,anan+1=2pn+1(p为常数).(1)若-a1,12a2,a4成等差数列,求p的值;(2)若{an}为等比数列,求p的值及{an}的前n项和Sn.2.[2021山东济南模拟,12分]设等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=13.第7页共7页 (1)求数列{an}的通项公式;(2)若{an}是递增数列,求数列{|an-n-2|}的前n项和.3.[2021河南省名校第一次联考,12分]已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和为Sn,且满足Sn+1=2Sn+n+1.(1)求证:数列{an+1}是等比数列.(2)令bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.第7页共7页 4.[原创题,12分]已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn2=an+12-λSn+1,其中λ为常数.(1)证明:Sn+1=2Sn+λ.(2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.第7页共7页 答案解题思维5　高考中数列解答题的提分策略1.(1)令n=1,则a1a2=2p+1,又a1=2,所以a2=2p.anan+1=2pn+1　①,an+1an+2=2pn+p+1　②,②①得an+2an=2p,故a4=2pa2=(2p)2.(3分)若-a1,12a2,a4成等差数列,则a4-2=a2,即(2p)2-2=2p,解得2p=2,即p=1.(6分)(2)若{an}为等比数列,则由a1>0,a2>0,知此数列的首项和公比均为正数.设其公比为q,因为an+2an=2p,所以q2=2p,q=2p2,故2p2=a2a1=2p2,得p=2.(9分)此时a1=2,q=2,所以an=2n,故anan+1=22n+1,故2pn+1=22n+1,因此p=2,所以数列{an}的前n项和Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.(12分)2.(1)设等比数列{an}的公比为q.由题意得a1+a1q+a1q2=13,即1+q+q2=13,解得q=3或q=-4.故数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*或an=(-4)n-1,n∈N*.(4分)(2)由(1)知,an=3n-1,n∈N*.第7页共7页 令bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|.(6分)由3n-1-n-2≥0得3n-1≥n+2,所以n≥3.由3n-1-n-20,∴Sn+1>0,∴Sn+1-2Sn-λ=0,∴Sn+1=2Sn+λ.(5分)(2)∵Sn+1=2Sn+λ,∴Sn=2Sn-1+λ(n≥2),两式相减,得an+1=2an(n≥2).(8分)∵S2=2S1+λ,即a2+a1=2a1+λ,∴a2=1+λ,由a2>0,得λ>-1.若{an}是等比数列,则a1a3=a22,(10分)即2(λ+1)=(λ+1)2,得λ=1.(11分)经检验,λ=1符合题意.故存在λ=1,使得数列{an}为等比数列.(12分)第7页共7页 第7页共7页