2022届新高考（全国I卷）地区优质数学分项3 函数及其应用【解析版】

2022届新高考（全国I卷）地区优质数学试卷分项解析专题3函数及其应用（11月卷）一、单选题1．（2021·山东泰安·高三期中）已知函数，则（）A．B．-1C．0D．1【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】，.故选：D2．（2021·江西·高一期中）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.3．（2021·福建省长乐第七中学高三期中）已知,则的值是（）A．0B．–1C．1D．2【答案】D【分析】 根据函数的解析式，分别求得的值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，，所以.故选：D.4．（2021·山东临沂·高三期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出的值，利用奇函数的性质可求得的值.【详解】由已知可得，故.故选：C.5．（2021·福建宁德·高三期中）某种水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）近似满足函数关系式为（为非零常数）.若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度（）（）A．33小时B．35小时C．38小时D．43小时【答案】A【分析】根据已知条件，结合待定系数法，求出的值，即可求得，再将代入函数中，即可求解.【详解】由题意可得，解得，故， 当时，，解得.故选：A6．（2021·福建省长乐第七中学高三期中）已知函数，，则的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先分析出为偶函数.，其图像关于y轴对称，即可得到答案.【详解】定义域为R.因为，所以为偶函数.，其图像关于y轴对称，对照四个选项的图像，只能选D.故选:D7．（2021·福建·高三期中）设函数的图象与的图象关于直线对称，，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】 利用反函数的知识列方程，化简求得的值.【详解】依题意函数的图象与的图象关于直线对称，，，由于，所以.故选：B8．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）集合，设，则的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求得集合A，可得的定义域，根据的解析式，即可得答案.【详解】由题意得，则，所以的值域为.故选：D9．（2021·山东德州·高三期中）声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为).已知声音大小与声压的关系式为，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（）倍A．B．C．10D．20【答案】A【分析】利用指数与对数的互化以及指数的运算性质即可求解.【详解】 声音大小与声压的关系式为，当时，，即，解得，当时，，即，解得，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压比为.故选：A10．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点问题，画出函数图象，利用数形结合思想进行运算求解即可.【详解】函数图象如下图所示： 关于的方程有两个不同的实数根，说明函数和有两个不同的交点，由数形结合思想可知：，故选：D11．（2021·山东潍坊·高三期中）我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点，，，中“和谐点”的个数为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设对数函数，指数函数，根据题中所给定义，逐一检验四个点是否符合，即可得答案.【详解】设对数函数，指数函数,且，对于点：，所以点M不在对数函数图象上，故点M不是“和谐点”；对于点：，解得a=2，即点N在对数函数上，又，解得b=1，不符合题意，即点N不在指数函数图象上，故点N不是“和谐点”；对于点：，解得，即点P在对数函数图象上，又，解得，即点P在指数函数图象上，故点P为“和谐点”；对于点：，无解，故点Q不在指数函数图象上，故点Q不是“和谐点”；所以四个点中，“和谐点”个数为1故选：A12．（2021·山东临沂·高三期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由指对数的运算性质可得，根据单调性比较大小即可. 【详解】由题设，，，，∴.故选：C13．（2021·福建宁德·高三期中）已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由，由，，所以，故选：B14．（2021·福建省泉州第一中学高三期中）已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据解析式，分别代入和，再结合函数的奇偶性，即可求解和，再求其比值.【详解】取得①，取得，即②，①－②得，①＋②得，所以． 故选：C15．（2021·江苏·金陵中学高三期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（）（参考数据：）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【答案】D【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.【详解】由题知，，，所以，，可得，所以，，.故选：D.16．（2021·江苏泰州·高三期中）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】估算，及后再比较大小.【详解】，，，，所以故选：B 17．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）中国科学院院士吴文俊在研究中中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：－个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4－x）＝f（x），且当x∈[0，2]时y＝f（x）的图像如图，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝－6围成封闭图形的面积是（）A．B．24C．D．32【答案】B【分析】根据题意给的原理画出在时的图象，利用割补法可得矩形的面积为所求面积，求出矩形面积即可.【详解】当时，关于中心对称，作出在时的图象，将图中的Ⅰ补到Ⅲ，Ⅱ补到Ⅳ，∴围成的图形的面积为矩形的面积．，故选：B． 18．（2021·河北衡水中学高三月考）正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由三角函数的有界性可得出的范围，构造函数并由其单调性结合特殊点函数值可得的范围，构造函数并由其单调性结合特殊点函数值可得的范围，从而得出答案.【详解】由，得，因为所以，可得设函数在是增函数，且所以由，即，所以函数在是增函数，且由，即，所以 所以故选：A19．（2021·河北·高三期中）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）A．B．C．2D．【答案】B【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值.【详解】由于为幂函数，则，解得：，则；函数，当时，，故的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故选：B.20．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（）A．B．C．D．【答案】C 【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当时，，取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当时，可以小于1，所以排除A,故选：C21．（2021·河北·高三期中）已知若，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】依题意构造函数，判断其单调性即可得结果．【详解】由题意知可以化为，所以可以构造函数，因为在上为增函数，又因为．所以故选：B22．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为()A．-1B．C．D．【答案】A【分析】 首先利用一次函数性质和对数型复合函数的性质求出上的单调性，然后再利用偶函数性质可得到不等式，然后结合一次函数性质和的范围求解即可.【详解】由一次函数性质可知，在上单调递减，且对于，；由对数型复合函数易知，在上也是单调递减的，且对于，，故在上单调递减，又由，得为偶函数，且，若要对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，不妨令，，由一次函数性质可知，，解得，故实数的最小值为.故选：A.23．（2021·高三月考）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A．B． C．D．【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D中的函数为偶函数，故排除D；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.故排除A，选C.故选：C24．（2021·湖北·高三期中）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】讨论函数奇偶性可排除两个选项，再探讨在x>1时，函数式的分子与分母的大小关系即可判断作答.【详解】函数的定义域是，，即函数是定义域上的奇函数，显然，选项B，D不满足； 当时，，令(x>1)，，则在上单调递增，即当时，，则有，因此，，则当x>1时，，从而得恒成立，选项C不满足，选项A满足.故选：A25．（2021·山东烟台·高三期中）设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则()A．B．C．D．【答案】B【分析】首先利用函数的奇偶性求出，再利用的对称性和奇函数性质求解即可.【详解】因为是定义域的奇函数，所以，，因为当，，所以，从而，因为是偶函数，即的图像关于轴对称，因为图像是图像向左平移一个单位得到的，所以的图像关于对称，故，因为，所以，因为，，所以.故选：B.26．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在上的偶函数满足，且当时， ，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】确定函数周期为4，关于对称，画出函数图像，根据函数图像结合奇偶性得到，解得答案.【详解】为偶函数，，即，函数周期为.，函数关于对称.和均为偶函数，故只考虑的情况，画出函数图像，如图所示：根据图像知：不等式的整数解有且仅有个，则需要满足，解得.故选：D.27．（2021·高三期中）设，，都是正数，且，那么（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设，则，，，再根据对数的运算结合换底公式逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.【详解】 设，则，，，，所以，故选项A正确，选项B不正确；，所以，故选项C不正确；对于D：，所以，故选项D不正确；故选：A.28．（2021·高三期中）已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；③.若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【详解】分析：先根据条件确定函数图像，再根据过定点（1，0）的直线与图像关系确定实数k的取值范围.详解：因为，当时；所以可作函数在上图像，如图，而直线过定点A（1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为, 选D.29．（2021·福建福州·高三期中）已知函数，若实数满足且，则的取值范围为（）A．（6，16）B．（6，18）C．（8，16）D．（8，18）【答案】B【分析】作出函数的图象，求出的取值范围，可得出的取值范围，利用结合绝对值的性质可求得，由此可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：当时，，由图可知，，即，解得，则，由，即，即，可得，因此，.故选：B 30．（2021·福建·高三期中）已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先通过简单的放缩比较和的大小，再通过构造函数比较和的大小.【详解】解：设，，当时，与相交于点和原点时，，即故选：A.31．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）已知，.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小，再根据对数的性质和基本不等式可判断的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】 因为，故，所以，故，同理，所以，故，而，而，所以即，所以，所以故选：B.32．（2019·河北·衡水中学实验学校高三期中（理））对于函数，若存在区间使得则称函数为“同域函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①；②；③；④.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是A．①②③B．①②C．②③D．①②④【答案】A【详解】①，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．二、多选题33．（2021·浙江省桐庐中学高一期中）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（）． A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍【答案】AD【分析】利用度指数、对数的运算性质逐一判断即可得出选项.【详解】因为，所以，故A正确；因为，所以B错误；因为，，所以C错误，D正确．故选：AD34．（2021·福建省高三期中）设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据题意，分析可得“美丽函数”的值域关于原点对称，据此分析选项，即可求解.【详解】根据题意，若，，使得成立，可得函数的值域关于原点对称，对于A中，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；对于B中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于C中，函数的值域为关于原点对称，符合题意；对于D中，函数的值域为关于原点对称，符合题意. 故选：BCD.35．（2021·河北·高三期中）已知函数的定义域为，则（）A．的最大值是最小值的2倍B．函数为单调递增函数C．函数的最大值为D．将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象【答案】AD【分析】根据的单调性可判断AB，，其定义域为，可判断C，根据图象的平移变换可判断D.【详解】因为在上单调递增，所以的最大值与最小值的比值为；函数为单调递减函数；由得，所以的定义域为，且为增函数，故；将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象.故选：AD36．（2021·广东·高三月考）已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（）A．在上单调递增B．的图象与x轴有2个交点C．D．不等式的解集为【答案】BC【分析】变换得到，函数单调递减，A错误，计算，B正确，根据 结合奇偶性得到C正确，解不等式得到D错误，得到答案.【详解】，两边同时除以得，即，，则在上单调递减，A错误；因为是定义域为的奇函数，且，所以在上单调递减，且，B正确.由得，即，即，C正确.不等式的解集为，D错误.故选：BC.37．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）关于函数的性质的描述，正确的是（）A．的定义域为B．有且仅有一个零点C．的图象关于原点对称D．的值域为【答案】AC【分析】根据对数的真数大于0和分式中的分母不等于0，可求得函数的定义域判断A选项；令，结合函数的定义域可判断B选项；由函数的定义域和，得出函数为奇函数，根据奇函数的图象性质可判断C选项；由C选项可知的值域应关于原点对称，可判断D选项．【详解】解：依题意可知，，解得且，故A正确；因为函数的定义域为，所以，令得，但注意到，函数没有零点，故B不正确； 因为，且定义域，所以为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；由C正确可知的值域应关于原点对称，故D不正确．故选：AC．三、填空题38．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若正实数满足，则的最小值__________.【答案】【分析】先利用求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】解：正实数满足，，，，当且仅当“”时，即“”时取等号.故的最小值为.故答案为：.39．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若函数的零点在区间，内，则________________．【答案】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理计算可得；【详解】 解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以；故答案为：40．（2021·广东·高三月考）函数的定义域为___________.【答案】【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】要使函数有意义，则，∴.故答案为：.41．（2021·山东临沂·高三期中）函数在上存在零点，则m的取值范围是______.【答案】【分析】根据零点存在性定理，列出不等式即可求解.【详解】因为在上存在零点，所以，即解得，故答案为：42．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知函数f(x)的定义域是(0，+¥)，，，当x1时，f(x)0，则满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围为__________.【答案】【分析】 根据已知等式可以判断出函数的单调性，利用单调性进行求解即可.【详解】设是(0，+¥)上任意两个实数，且，即，所以，因此，于是有，即，所以函数f(x)在(0，+¥)上单调递增，因为，所以，因此f(x)-f(x-2)≥2，于是有：，所以，所以有，故答案为：43．（2021·全国·高一单元测试）若函数为偶函数，则_____．【答案】1【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．44．（2021·山东烟台·高三期中）已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】画出的图象，数形结合解决问题 【详解】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意故答案为：45．（2021·河北·高三期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是_______．【答案】【分析】由于函数在上的减函数，所以分段函数的每段都要是减函数，且，从而可求出的取值范围【详解】解：因为是上的减函数，所以，解得，所以的取值范围为，故答案为：46．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）已知函数是上的奇函数，当时， ，则函数的解析式为______．【答案】【分析】根据奇函数的性质可得，再利用奇偶性求出时的函数解析式，即可得解；【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以，又当时，，设，则，则，因为为奇函数，所以，所以，所以故答案为：47．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数为奇函数，设，则___________.【答案】4042【分析】由函数的性质先得出的对称性，再得出的对称性，即可求解.【详解】解：函数为奇函数，关于对称关于对称关于对称 故答案为：.48．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知是定义域为的奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是________.【答案】##【分析】先分析得到函数的最小正周期为4，再利用函数的周期性求值得解.【详解】解：由题得，所以，所以，所以函数的最小正周期为4.所以，，.所以.故答案为：49．（2021·高三期中）已知函数，若，则实数的取值范围为______.【答案】或【分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】 令，对任意的，，故函数的定义域为，因为，则，所以，函数为奇函数，当时，令，由于函数和在上均为减函数，故函数在上也为减函数，因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，所以，函数在上也为减函数，因为函数在上连续，则在上为减函数，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案为：或.50．（2021·山东潍坊·高三期中）若函数，则________．【答案】##【分析】先根据时，得，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.【详解】因为时，，所以，即，故..故答案为：51．（2021·山东聊城·高三期中）已知函数为奇函数，，若当时， ，则______．【答案】【分析】由可求得；利用可知周期为，由周期可得，进而求得结果.【详解】为奇函数，，解得：；，，是周期为的周期函数，.故答案为：.52．（2021·福建省长乐第七中学高三期中）若函数定义域为实数集，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】问题转化为：对任意,恒成立,然后对进行分类：,,分别计算出对应范围求解最终结果.【详解】由题意可知：对任意,恒成立;当时,为常数函数,定义域为满足;当时,因为对任意成立,所以,解得：;综上可知：,故答案为.53．（2021·福建省高三期中）函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过 的最大整数，例如，.已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据新定义，作出的图象，结合图象即可求解【详解】根据新定义，作出的图象如下：要使的图象上恰有3对点关于原点对称，则与的图象恰有3个交点，如图所示，则解得.故答案为：四、解答题54．（2021·福建省长乐第七中学高三期中）小明有100万元的闲置资金，计划进行投资.现有两种投资方案可供选择，这两种方案的回报如下：方案一：每月回报投资额的2%；方案二：第一个月回报投资额的0.25%，以后每月的回报比前一个月翻一番.小明计划投资6个月.（1）分别写出两种方案中，第x月与第x月所得回报y（万元）的函数关系式； （2）小明选择哪种方案总收益最多？请说明理由.【答案】（1）方案一：（且）；方案二：（且）；（2）方案二，理由见解析.【分析】（1）根据题设的回报方案可得两种回报中函数关系式.（2）通过计算6个月的总回报可得哪种方案总收益最多.【详解】（1）设第x月所得回报为y万元，则方案一：（且）；方案二：（且）.（2）两个方案每月的回报额列表如下：x（月）方案一：y（万元）方案二：y（万元）120.25220.5321422524628若选择方案一，则总回报为（万元），若选择方案二，则总回报为（万元）.故选择方案二总收益最多.55．（2021·河北·高三期中）已知定义在R上的偶函数的图象经过点，且的最小值为负数.（1）写出的一个解析式（无需写出过程）；（2）若是周期为4的函数，求的值.【答案】（1）（答案不唯一） （2）【分析】（1）结合函数的性质，满足条件即可；（2）将周期性与奇偶性相结合即可得结果.（1）.本题答案不唯一（例如），只要同时满足定义域为R.，，且的最小值小于0即可.（2）因为是周期为4的函数.所以.又因为是偶函数，且，所以.故.56．（2021·山东德州·高三期中）1.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本万元，当年产量不足50千件时，，当年产量不小于50千件时，，已知每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【答案】（1）（2）59【分析】（1）分段函数，分别写出与时利润(万元)关于年产量(千件)的函数；（2）在第一问的基础上，分别求出与时利润的最大值及此时的x的值，再比较两个利润最大值，最终求出答案. （1）当时，当时，所以（2）当时，当时，取得最大值，当时，，其中，当且仅当，即时，等号成立所以因为，所以当年产量为59千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为762万元57．（2021·山东德州·高三期中）已知函数是奇函数.（1）若，求的取值范围；（2）若的解集为，求的值.【答案】（1）；（2）4.【分析】（1）根据奇函数的定义可知，则有，再根据对数的运算性质化简求出的值，从而得出，再由，解对数不等式即可得出结果；（2）解分式不等式得出的定义域为，再由，得出，进而变形得，根据分式不等式的解法，从而得出方程的两根分别为和，再结合题意可求出的值，即可求得结果. （1）解：是奇函数，则，即，即，则，得，解得：或，当时，，此时无意义，不符合题意；当时，是奇函数，符合题意；所以，若，则，即，解得：，所以时，的取值范围为.（2）解：由于，解得：，所以的定义域为，若，即，得，变形得，即，，则可得方程的两根分别为和，由题可知的解集为，即方程的两个根为和，所以得，，解得：，所以.58．（2021·山东烟台·高三期中）首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕， 家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本万元，每生产一箱需另投入元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.【分析】（1）分和两种情况列出解析式即可；（2）分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求出结果.（1）当时，，所以，当时，；所以，因此；（2）由（1）知当时，，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，因此当时；当时， ，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.59．（2021·山东菏泽·高三期中）设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.（1）证明：函数的图象关于点对称；（2）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据题意可知对任意的，，根据对称中心的定义即可证明结果；（2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则，根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出结果.（1）解：，..即对任意的，都有成立.函数的图像关于点对称.（2） 解：若对任意的，总存在，使得成立，则.，易知在上单调递增..时，，，即函数的图象过对称中心.当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增.函数在上单调递增.，，即.当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.由对称性，知在上单调递增，在上单调递减.函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.或.，，易知.即时符合条件.当，即时，函数在上单调递减.由对称性，知在上单调递减.函数在上单调递减.，，即.综上，实数的取值范围为.60．（2021·高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.（1）当时，求的解析式；（2）计算.【答案】（1） （2）【分析】（1）利用奇函数和判断出为周期为4的函数，用代入法求出解析式；（2）利用函数的周期即可求值.（1），，是周期为4的周期函数.当时，，由已知得.又是奇函数，，，又当时，，，又是周期为4的周期函数，，从而求得时，.（2），，，，又是周期为4的周期函数，.又，.61．（2021·山东潍坊·高三期中）已知函数（为常数，）是上的奇函数．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的值域为，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得，代入可求得． （1）由是奇函数得，，此时是奇函数；（2）由复合函数的性质得在定义域内是增函数，所以，，，或（舍去），，所以．62．（2021·山东聊城·高三期中）随着人们生活水平的不断提高，对蔬菜的品质要求越来越高．为了给消费者带来放心的蔬菜，某蔬菜种植基地准备种植有机蔬菜，经过调查发现，适合基地种植蔬菜的株数不少于2万株，不超过12万株，当种植蔬菜的株数（单位：万株）时，收入满足二次函数模型，已知种植5万株和8万株的收入相当，并且当种植4万株时，收入为6万元：当种植蔬菜的株数（单位：万株）时，收入为固定值7万元．（1）根据题中条件，写出收入函数的解析式；（2）如果，则每x万株的投入是；若，则每x万株的投入是．写出利润函数的解析式，并求出利润的最大值．【答案】（1）（2），利润最大值为5万元【分析】(1)根据题干所给条件，时可以得到二次函数的对称轴为，故可设函数解析式为，再代入已知点，即可得函数解析式，当 时为常函数，最终得到分段函数的解析式；（2）由题干条件可得，根据第一问得到的解析式代入即可得到分段函数的解析式，分两段，分别求各段的最大值，再最终取两个最大值中的较大值即可.（1）由于二次函数满足，所以该函数对称轴为，设函数解析式为，∵二次函数经过点，，∴，解得，．∴（2）由题知，当时，，∴当时，的最大值为，当时，∵当且仅当时，等号成立，此时最大值为．∵， ∴综上，当种植株数为6万株时，利润最大值为5万元.63．（2021·福建宁德·高三期中）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；②.已知函数.（1）选择，求的值；（2）在（1）的条件下，求的单调区间.【答案】（1）选择①时，；选择②时，.（2）选择①时，的单调递增区间为，无单调递减区间；选择②时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【分析】（1）根据题意，先求定义域，分别选择①和②，结合奇偶性，即可求解；（2）根据题意，结合复合函数单调性，即可求解.（1）根据题意，易得函数的定义域为.选择①时，由，得函数为奇函数，因此，故，即，故；选择②时，由，得函数为奇函数，因此，故，即，故.（2）由(1)可知：选择①时，，，令，易得在上单调递增，又因为也是单调递增的，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 选择②时，，，令，易得在上单调递增，在上单调递减，又因为是单调递增的，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.64．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）已知函数．（1）若f（x）的图象关于点（0，2）对称，求实数m的值；（2）设若存在x1，x2∈（－¥，0]，使得，求实数m的取值范围．【答案】（1）3（2）【分析】（1）利用的图象关于点对称，得到，即可求出；（2）先整理出，令，设，则问题转化为存在，.推理对称轴与区间的关系，判断单调性，求出，建立不等式解出m的范围.（1）的图象关于点对称，，，．（2），令，则当时，，设，则问题转化为存在，使，即 对称轴方程为，①当，即时，，∵存在，使，，解得；②当，即时，在上单调递增，，不存在，使；综上①②可知．