备战2022年新高考数学45天核心考点专题11 利用导数研究函数的极值（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题11利用导数研究函数的极值一、单选题1.若函数ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵−㤮在㜵=处有极大值，则常数c为ㄠ㤮A.2B.6C.2或6D.−或−【答案】B【解析】解：函数ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵−㤮=㜵−㜵㜵，它的导数为̵ㄠ㜵㤮=㜵−㜵，由题意知，在㜵=处的导数值为−=，=，或=，又函数ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵−㤮在㜵=处有极大值，故导数值在㜵=处左侧为正数，右侧为负数．当=时，̵ㄠ㜵㤮=㜵−㜵=ㄠ㜵−㤮ㄠ㜵−㤮，不满足导数值在㜵=处左侧为正数，右侧为负数．当=时，̵ㄠ㜵㤮=㜵−㜵=ㄠ㜵−㜵㤮=ㄠ㜵−㤮ㄠ㜵−㤮，满足导数值在㜵=处左侧为正数，右侧为负数．故=．故选B．2.已知函数ㄠ㜵㤮=㜵−㜵，对任意㜵，㜵ㄠ−h且㜵㜵，都有ㄠ㜵−㜵㤮ㄠㄠ㜵㤮−ㄠ㜵㤮㤮䁕，则实数a的取值范围是ㄠ㤮A.ㄠ−hB.ㄠ−−hC.hD.−h【答案】A【解析】解：因为对任意㜵䁕，㜵䁕，都有㜵−㜵㜵−㜵䁕，所以函数㜵在−单调递减．又因为ㄠ㜵㤮=㜵−㜵=−㜵−㜵，所以̵㜵=−−㜵−㜵，因此−−㜵−㜵对−恒成立，−㜵即−对−恒成立．㜵−㜵̵−㜵㜵令㜵=−，则㜵=，㜵㜵̵因此当㜵−−时，㜵䁕，函数㜵是减函数；̵当㜵−时，㜵，函数㜵是增函数，所以当㜵=−时，函数㜵有最小值−=，学科网（北京）股份有限公司 因此，即．故选A．3.已知函数ㄠ㜵㤮=e㜵−㜵ㄠ㤮有三个不同的零点，则实数a的取值范围是ㄠ㤮A.ㄠ㤮B.ㄠ㤮C.ㄠ㤮D.ㄠ㤮【答案】C【解析】解：令ㄠ㜵㤮=㜵−㜵=，当㜵=时显然不成立，㜵故=，㜵㜵㜵令ㄠ㜵㤮=，则问题转化为直线=与ㄠ㜵㤮=的图象有三个交点，㜵㜵ㄠ㜵−㤮㜵̵ㄠ㜵㤮=，㜵令̵ㄠ㜵㤮=，解得㜵=，当㜵䁕或㜵时，̵ㄠ㜵㤮，ㄠ㜵㤮在ㄠ−㤮，ㄠ㤮上单调递增，当䁕㜵䁕时，̵ㄠ㜵㤮䁕，ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递减，ㄠ㜵㤮在㜵=处取极小值，ㄠ㤮=，作出ㄠ㜵㤮的图象如下：㜵要使直线=与曲线ㄠ㜵㤮=有三个交点，，则，㜵故实数a的取值范围是．故选C．4.已知函数ㄠ㜵㤮=㜵−㜵ㄠ㜵㤮有三个不同的零点，则实数a的取值范围是ㄠ㤮A.B.C.D.【答案】C 【解析】解：㜵=时，ㄠ㤮=，㜵令ㄠ㜵㤮=㜵−㜵=，得=，㜵㜵㜵令ㄠ㜵㤮=，则问题转化为=与ㄠ㜵㤮=有三个交点，㜵㜵ㄠ㜵−㤮㜵̵ㄠ㜵㤮=，令̵ㄠ㜵㤮=，解得㜵=，㜵当㜵䁕或㜵时，̵ㄠ㜵㤮，ㄠ㜵㤮在ㄠ−㤮，ㄠ㤮单调递增，当䁕㜵䁕时，̵ㄠ㜵㤮䁕，ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮单调递减，ㄠ㜵㤮在㜵=处取极小值，ㄠ㤮=，作出ㄠ㜵㤮的图象如下：㜵要使直线=与曲线ㄠ㜵㤮=有三个交点，则，㜵故实数a的取值范围是．故选C．5.已知㜵，㜵是函数ㄠ㜵㤮=㜵㜵㜵ㄠb，㤮的两个极值，㜵ㄠ−㤮，㜵ㄠ㤮，则的取值范围为ㄠ㤮A.ㄠ−−㤮B.ㄠ−㤮C.ㄠ−㤮D.ㄠ−㤮【答案】D【解析】解：由题意，̵ㄠ㜵㤮=㜵㜵．ㄠ㜵㤮的两个极值点分别是㜵，㜵，㜵ㄠ−㤮，㜵ㄠ㤮̵ㄠ−㤮=−̵ㄠ㤮=䁕，̵ㄠ㤮=对应的平面区域如图所示：令=，则=−，学科网（北京）股份有限公司 由图象得：直线=−过ㄠ−㤮时，z最小，最小值是−，在ㄠ㤮处，=最大，最大值是4，的取值范围是ㄠ−㤮．故选：D．6.已知奇函数ㄠ㜵㤮在R上单调递增，且ㄠ㤮=，则㜵ㄠ㜵㤮䁕的解集为ㄠ㤮A.ㄠ㤮B.㤮C.ㄠ−㤮D.ㄠ−㤮【答案】C【解析】解：设ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮，根据题意，ㄠ㜵㤮为定义在R上的奇函数，ㄠ㤮=，且当㜵ㄠ−㤮时ㄠ㜵㤮䁕，当㜵ㄠ㤮时ㄠ㜵㤮，则ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮，为定义在R上的偶函数，若ㄠ㤮=，则ㄠ㤮=，ㄠ−㤮=，又由函数ㄠ㜵㤮在R上单调递增，所以̵ㄠ㜵㤮，所以当㜵时，㜵ㄠ㜵㤮h̵=ㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮，所以ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递增，同理可得ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮在ㄠ−㤮上单调递减，则㜵ㄠ㜵㤮䁕ㄠ−㤮䁕ㄠ㜵㤮䁕ㄠ㤮−䁕㜵䁕，即不等式的解集为ㄠ−㤮；故选：C．e㜵7.已知函数ㄠ㜵㤮=ㄠ㤮，下面描述正确的是㜵A.ㄠ㜵㤮在R上单调递增B.ㄠ㜵㤮无极值点 C.当=时，函数ㄠ㜵㤮在h上有最小值eD.若ㄠ㜵㤮对任意㜵ㄠ㤮恒成立，则e【答案】De㜵ㄠ㜵−㤮【解析】解：̵ㄠ㜵㤮=，㜵令̵㜵得㜵，令̵㜵䁕得㜵䁕或䁕㜵䁕，故ㄠ㜵㤮在ㄠ−㤮，ㄠ㤮上单调递减，在ㄠ㤮上单调递增，所以A错；ㄠ㜵㤮有极小值ㄠ㤮=，无极大值，所以B错；当=时，ㄠ㜵㤮在h上单调递增，所以ㄠ㜵㤮쳌䁖=ㄠ㤮=，所以C错；ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上最小值为ㄠ㤮=，，，D正确．e故选D．8.若函数=ㄠ㜵㤮存在ㄠ䁖−㤮ㄠ䁖㤮个极值点，则称=ㄠ㜵㤮为n折函数，例如ㄠ㜵㤮=㜵为2折函数．已知函数ㄠ㜵㤮=ㄠ㜵㤮㜵−㜵ㄠ㜵㤮，则ㄠ㜵㤮为ㄠ㤮A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数【答案】C【解答】解：̵ㄠ㜵㤮=ㄠ㜵㤮㜵−ㄠ㜵㤮ㄠ㜵㤮=ㄠ㜵㤮ㄠ㜵−㜵−㤮，令̵ㄠ㜵㤮=，得㜵=−或㜵=㜵．易知㜵=−是ㄠ㜵㤮的一个极值点，又㜵=㜵，结合函数图象，=㜵与=㜵有两个交点．又−ㄠ−㤮=−．所以函数=ㄠ㜵㤮有3个极值点，则ㄠ㜵㤮为4折函数．ㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮9.已知函数ㄠ㜵㤮是定义在ㄠ㤮的可导函数，̵ㄠ㜵㤮为其导函数，当㜵且㜵时，，㜵−若曲线=ㄠ㜵㤮在㜵=处的切线的斜率为−，则ㄠ㤮=ㄠ㤮A.−B.0C.D.1学科网（北京）股份有限公司 【答案】Cㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮【解析】解：当㜵且㜵时，，㜵−可得㜵时，ㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮；䁕㜵䁕时，ㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮䁕，令ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮，㜵ㄠ㤮，̵ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮=㜵ㄠ㜵㤮㜵̵ㄠ㜵㤮h，可得：㜵时，̵ㄠ㜵㤮；䁕㜵䁕时，̵ㄠ㜵㤮䁕，可得函数ㄠ㜵㤮在㜵=处取得极值，̵ㄠ㤮=ㄠ㤮̵ㄠ㤮=，由̵ㄠ㤮=−，可得ㄠ㤮=，故选C．㜵㜵10.函数ㄠ㜵㤮=的大致图象是ㄠ㤮㜵A.B.C.D.【答案】B㜵㜵−㜵㜵【解析】解：：由函数ㄠ㜵㤮=知有两个零点㜵=−与㜵=，排除A，又̵ㄠ㜵㤮=，㜵㜵由̵ㄠ㜵㤮=知函数有两个极值点，排除C，D，故选：B．二、填空题㜵11.若函数ㄠ㜵㤮=−ㄠ㤮㜵ln㜵ㄠ㤮在区间ㄠ㤮内有极大值，则实数a的取值范围是．【答案】ㄠ㤮 㜵【解析】由ㄠ㜵㤮=−ㄠ㤮㜵ln㜵ㄠ㤮，可得̵ㄠ㜵㤮=㜵−ㄠ㤮，㜵因为函数ㄠ㜵㤮在区间ㄠ㤮内有极值，且，所以方程̵ㄠ㜵㤮=在区间ㄠ㤮内有解，即方程㜵−ㄠ㤮=在区间ㄠ㤮内有解，㜵解得㜵=或㜵=ㄠ舍去㤮．构造函数=㜵−ㄠ㤮和=−，㜵由和数形结合可得㜵=为函数ㄠ㜵㤮的极大值点，故ㄠ㤮，即䁕䁕，则实数a的取值范围是ㄠ㤮．12.设函数ㄠ㜵㤮=㜵−㜵㜵，㜵，其中a，若ㄠ㜵㤮存在极值点㜵，且ㄠ㜵㤮=ㄠ㜵㤮，其中㜵㜵，则㜵㜵=______．【答案】4【解析】解：ㄠ㜵㤮=㜵−㜵㜵，̵ㄠ㜵㤮=㜵−㜵，因为㜵是极值点，所以̵ㄠ㜵㤮=，即㜵−㜵=，又即=㜵−㜵，因为ㄠ㜵㤮=ㄠ㜵㤮，所以㜵−㜵㜵=㜵−㜵㜵，即ㄠ㜵−㜵㤮ㄠ㜵㜵㜵㜵㤮−ㄠ㜵㜵㤮h=，因为㜵㜵，所以ㄠ㜵㜵㜵㜵㤮−ㄠ㜵㜵㤮=，把=㜵−㜵代入化简得ㄠ㜵−㜵㤮ㄠ㜵㜵−=㤮，因为㜵㜵，所以㜵㜵−=，即㜵㜵=．故答案为：4．13.已知函数㜵=㜵−㜵，关于函数㜵给出下列命题：函数㜵为偶函数；函数㜵在区间单调递增；函数㜵存在两个零点；函数㜵存在极大值和极小值．其中正确命题的序号是________．【答案】学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：函数ㄠ㜵㤮的定义域为R，ㄠ−㜵㤮=ㄠ−㜵㤮−−㜵=㜵−㜵=ㄠ㜵㤮，则函数为偶函数，故正确当㜵时，̵ㄠ㜵㤮=㜵−㜵，令ㄠ㜵㤮=̵ㄠ㜵㤮，则̵ㄠ㜵㤮=−㜵，由̵ㄠ㜵㤮=，解得㜵=ln，则当㜵ㄠln㤮时，̵ㄠ㜵㤮，ㄠ㜵㤮单调递增，又由ㄠ㤮及hㄠ，ln㤮可知，ㄠ㜵㤮，即̵ㄠ㜵㤮对㜵h恒成立，则函数ㄠ㜵㤮在区间h单调递增，故正确；由可知，̵ㄠ㜵㤮=㜵−㜵在ㄠln㤮单调递增，ㄠln㤮单调递减，又̵ㄠ㤮=−䁕，̵ㄠ㤮=−，̵ㄠ㤮=−䁕，由零点存在定理知，㜵ㄠ㤮，㜵ㄠ㤮，使得̵ㄠ㜵㤮=̵ㄠ㜵㤮=，ㄠ㜵㤮在ㄠ㜵㤮单调递减，ㄠ㜵㜵㤮单调递增，ㄠ㜵㤮单调递减．又ㄠ㤮=−䁕，ㄠ㤮=−，ㄠ㤮=−䁕，由零点存在定理可知，ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上有两个零点，又由ㄠ㜵㤮为偶函数可知，其在R上存在四个零点，故错误；由可知ㄠ㜵㤮为极小值，ㄠ㜵㤮为极大值，又由偶函数可知，ㄠ−㜵㤮为极小值，ㄠ−㜵㤮为极大值，故正确．故答案为．ln㜵14.已知函数㜵=．㜵ㄠ㤮函数的最大值等于________；ㄠ㤮若对任意㜵㜵，都有㜵−㜵成立，则实数a的最小值是________．【答案】；1−ln㜵【解析】解：因为ㄠ㤮函数定义域是ㄠ㤮，̵ㄠ㜵㤮=，㜵䁕㜵䁕时，̵ㄠ㜵㤮，ㄠ㜵㤮递增，㜵时，̵ㄠ㜵㤮䁕，ㄠ㜵㤮递减，㜵=时，ㄠ㜵㤮取得极大值也是最大值ㄠ㤮=；ㄠ㤮若对任意㜵㜵，都有㜵−㜵成立，等价于当㜵㤮时，ㄠ㜵㤮max−ㄠ㜵㤮min， 由ㄠ㤮当时，ㄠ㜵㤮max，且ㄠ㜵㤮，满足题意；ln当䁕䁕，ㄠ㜵㤮在h上递增，ㄠ㜵㤮，在㤮递减，䁕ㄠ㜵㤮，ln只要即可，䁕，综上㤮a的最小值是故答案为：；1．三、解答题15.已知函数ㄠ㜵㤮=㜵−ㄠ㤮㜵䁖㜵．ㄠⅠ㤮若㜵=是ㄠ㜵㤮的极值点，求ㄠ㜵㤮的单调区间；ㄠⅡ㤮若ㄠ㜵㤮恒成立，求a的取值范围．【答案】解：ㄠⅠ㤮由题意知函数的定义域为ㄠ㤮，̵ㄠ㜵㤮=㜵−ㄠ㤮，㜵㜵=是ㄠ㜵㤮的极值点，̵ㄠ㤮=−ㄠ㤮=，解得=，ㄠ㜵−㤮ㄠ㜵−㤮当=时，̵ㄠ㜵㤮=，㜵当x变化时，xㄠ㤮1ㄠ㤮3ㄠ㤮̵ㄠ㜵㤮0−0ㄠ㜵㤮单调递增极大值单调递减极小值单调递增故ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递增，在ㄠ㤮上单调递减，在ㄠ㤮上单调递增；ㄠⅡ㤮要使得ㄠ㜵㤮恒成立，即当㜵时，㜵−ㄠ㤮㜵䁖㜵恒成立，ㄠ㜵−㤮ㄠ㜵−㤮设ㄠ㜵㤮=㜵−ㄠ㤮㜵䁖㜵，则̵ㄠ㜵㤮=㜵−ㄠ㤮=，㜵㜵ㄠ㤮当时，由̵ㄠ㜵㤮䁕得单减区间为ㄠ㤮，由̵ㄠ㜵㤮得单增区间为ㄠ㤮，故ㄠ㜵㤮쳌䁖=ㄠ㤮=−−，得−；学科网（北京）股份有限公司 ㄠ쳌쳌㤮当䁕䁕时，由̵ㄠ㜵㤮䁕得单减区间为ㄠ㤮，由̵ㄠ㜵㤮得单增区间为ㄠ㤮，ㄠ㤮，此时ㄠ㤮=−−䁕，不合题意；ㄠ쳌쳌쳌㤮当=时，ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递增，此时ㄠ㤮=−−䁕，不合题意；ㄠ쳌香㤮当时，由̵ㄠ㜵㤮䁕得单减区间为ㄠ㤮，由̵ㄠ㜵㤮得单增区间为ㄠ㤮，ㄠ㤮，此时ㄠ㤮=−−䁕，不合题意．综上所述，a的取值范围为ㄠ−−h．16.已知函数ㄠ㜵㤮=ln㜵−㜵．ㄠ㤮当=时，求函数ㄠ㜵㤮的极值；ㄠ㤮求函数ㄠ㜵㤮的单调区间；ㄠ㤮若ㄠ㜵㤮恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：ㄠ㤮当=时，ㄠ㜵㤮=ln㜵−㜵㜵ㄠ㤮，̵−㜵ㄠ㜵㤮=−=，列表㜵㜵xㄠ㤮1ㄠ㤮̵ㄠ㜵㤮0−ㄠ㜵㤮2函数ㄠ㜵㤮的极大值为ㄠ㤮=，无极小值；̵−㜵ㄠ㤮ㄠ㜵㤮=−=㜵ㄠ㤮，㜵㜵当时，̵ㄠ㜵㤮恒成立，故ㄠ㜵㤮在㜵ㄠ㤮是增函数；̵当时，对㜵ㄠ㤮ㄠ㜵㤮，ㄠ㜵㤮是增函数，̵对㜵ㄠ㤮ㄠ㜵㤮䁕，ㄠ㜵㤮是减函数，综上，当时，ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮是增函数；当时，ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮是增函数，在ㄠ㤮是减函数ㄠ㤮要使得ㄠ㜵㤮=ln㜵−㜵恒成立，则ㄠ㜵㤮㜵，由ㄠ㤮可知，ㄠ㜵㤮的极大值ㄠ㤮即为ㄠ㜵㤮的最大值， ㄠ㤮=ln−=−lnln=ln，实数a的取值范围为㤮．17.已知函数ㄠ㜵㤮=䁖㜵㜵−㜵ㄠ㤮．ㄠ㤮讨论函数ㄠ㜵㤮的极值点的个数；ㄠ㤮若ㄠ㜵㤮有两个极值点㜵，㜵，证明：ㄠ㜵㤮ㄠ㜵㤮䁕．㜵−㜵【答案】ㄠ㤮解：̵ㄠ㜵㤮=㜵−=，㜵ㄠ㤮．㜵㜵−㜵当=时，̵ㄠ㜵㤮=．㜵当㜵ㄠ㤮时，̵ㄠ㜵㤮，所以ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递增；当㜵ㄠ㤮时，̵ㄠ㜵㤮䁕，所以ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递减．即函数ㄠ㜵㤮只有一个极大值点，无极小值点．当䁕䁕时，=−，−令̵ㄠ㜵㤮=，得㜵=．−−−当㜵ㄠ㤮ㄠ㤮时，̵ㄠ㜵㤮，−−−所以ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮，ㄠ㤮上单调递增；−−−当㜵ㄠ㤮时，̵ㄠ㜵㤮䁕，−−−所以ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递减．−−−即函数ㄠ㜵㤮有一个极大值点，有一个极小值点．当时，=−，此时̵ㄠ㜵㤮恒成立，即ㄠ㜵㤮在ㄠ㤮上单调递增，无极值点．综上所述，当=时，ㄠ㜵㤮有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当䁕䁕时，ㄠ㜵㤮有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当时，ㄠ㜵㤮没有极值点．ㄠ㤮证明：由ㄠ㤮可知，当且仅当䁕䁕时，ㄠ㜵㤮有两个极值点㜵，㜵，且㜵，㜵为方程㜵−㜵=的两根，即㜵㜵=，㜵㜵=，所以ㄠ㜵㤮ㄠ㜵㤮=䁖㜵㜵ㄠ㜵㜵㤮−ㄠ㜵㜵㤮=lnㄠ−㤮−=−䁖−．学科网（北京）股份有限公司 令ㄠ㤮=−䁖−，ㄠ㤮，−则̵ㄠ㤮=−=恒成立，所以ㄠ㤮在ㄠ㤮上单调递增，所以ㄠ㤮䁕ㄠ㤮=−䁖−=，即ㄠ㜵㤮ㄠ㜵㤮䁕． 学科网（北京）股份有限公司