备战2022年新高考数学45天核心考点30 直线、平面平行的判定与性质（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题30直线、平面平行的判定与性质一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m//α，n//β，且m//n，则α//β③若m⊥α，n//β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥β其中正确的命题是A.②③B.①③C.①④D.③④【答案】C【解析】解：对于①，显然α与β不平行，否则根据面面平行和线面垂直的性质定理易得m//n，与已知矛盾，设α∩β=l，设平面γ⊥l，γ∩l=O，γ∩α=a，γ∩β=b，在γ内取一点P，作PA⊥a，垂足为A，作PB⊥b，垂足为B，则由面面垂直的性质定理可得PA⊥α，PB⊥β，又∵若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，∴PA⊥PB，在平面四边形PAOB中有三个角为直角，∴OA⊥OB，根据二面角的定义可得平面α⊥β，故①正确；对于②，若m//α，n//β，且m//n，α，β可以相交，故②错误；对于③，若m⊥α，n//β，且m⊥n，α和β不一定垂直，甚至可以平行，故错误；对于④，∵n//β，∴过n作平面γ，使之与β相交与直线l，则n//l，又∵m//n，∴m//l，∵m⊥α，∴n⊥α，又∵l⊂β，∴α⊥β，故正确．故选C．  2.设平面α//平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点CA.不共面B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.共面【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示，做一条与直线AB异面的直线l，使l⊥平面α，∵平面α//平面β，∴直线l⊥平面β，设直线l分别与平面α、β交于点D，E，线段DE中点F，过F与l垂直的平面记作γ，连接AE，设线段AE中点M，连接MF，MC，AD，BE，CF．在△ADE中，FM//AD，∴直线FM//平面α，在△AEB中，MC//BE，∴直线CM//β，又∵α//β，∴CM//平面α，又∵AB，CD是异面直线，∴AD，BE是异面直线，∴MC，MF是相交直线，∴平面CFM//平面α，∴CF//平面α，∵DE⊥平面α，∴DE⊥直线CF，∴CF⊂平面γ，∴C∈γ．当AB平行与l时，AB中点比在平面γ上，当AB与了相交时，可平移为异面，点C也在平面γ内．故不论A，B如何运动，所有的动点C都在平面内γ故选D．  1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,n//α，则m⊥n；②若m//n,n//α，则m//α；③若m//n,n⊥β,m//α，则α⊥β；     ④若m∩n=A,m//α,m//β,n//α,n//β，则α//β.其中真命题的个数是(    ) A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：①因为n//α，所以在α内必存在一条直线n0，使得n//n0．又因为m⊥α，所以m⊥n0，因此m⊥n，因此①为真命题；②因为m//n,n//α，则m//α或m⊂α，因此②不是真命题；③因为m//n,n⊥β，所以m⊥β．又因为m//α，所以在α内存在m0//m．由m⊥β得m0⊥β，所以α⊥β，因此③是真命题；④因为m∩n=A，由n//α，m//α，得在α内必存在n1，m1，且n1与m1相交，使得n1//n，m1//m．又因为m//β，n//β，所以n1//β，m1//β，所以α//β.，因此④是真命题．故答案为C．1.如图，点P在正方体 ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则不正确的结论是A.三棱锥A−D1PC的体积不变B.A1P//平面ACD1C.DP⊥BC1D.平面PDB1⊥平面ACD1【答案】C【解析】解：对于A，由题意知AD1//BC1，又AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，从而BC1//平面AD1C，故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A−D1PC的体积不变，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，易知A1C1//AC，又A1C1⊄平面AD1C，AC⊂平面AD1C，故A 1C1//平面AD1C ，由A选项证明过程可知：BC1//平面AD1C，又A1C1∩BC1=C1，且A1C1、BC1⊂平面BA1C1，所以平面BA1C1//平面ACD1，又A1P⊂平面BA1C1，故A1P//平面ACD1，故B正确；对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，又DP∩DC=D，DP、DC⊂平面DPC，则BC1⊥平面DCP，又PC⊂平面DCP，故BC 1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，连接DB1，BD，易知BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故AC⊥BB1，又正方形ABCD中AC⊥BD，且BD∩BB1=B，BD、BB1⊂平面BDB1，故AC⊥平面BDB1，又B1D⊂平面BDB1，故DB 1⊥AC，同理可得DB1⊥AD1，又AC∩AD1=A，AC、AD1⊂平面ACD1，可得DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PDB1，故平面PDB1⊥平面ACD1，故D正确．故选C．1.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P//平面AEF, 则线段A1P长度的取值范围是(  ) A.[1,52]B.[324,52]C.[52,2]D.[2,3]【答案】B【解析】解：如图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N//平面AEF，又A1N∩MN=N，A1N、MN⊂平面A1MN，∴平面A1MN//平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M=A1B12+B1M2=1+(12)2=52，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=52，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时，A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P 最长，A1O=A1M2−OM2=(52)2−(24)2=324，A1M=A1N=52，所以线段A1P长度的取值范围是[324,52].故选B．  1.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP//截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是(   )．A.[2,6]B.[6,22]C.[6,23]D.[6,3]【答案】B【解析】解：取CD的中点N，CC1的中点R，B1C1的中点H，则MN//B1C//HR，MH//AC，MN⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以MN//平面AB1C，同理MH//平面AB1C，因为MN，MH⊂平面MNRH，MN∩MH=M，故平面MNRH//平面AB1C，MP⊂平面MNRH，则P在NR上，由AB=2，则MN=22，NR=2，MR=6，所以MN2=NR2+MR2，所以∠MRN是直角，所以线段MP长度的取值范围是： [MR,MN]，即：[6,22].故选B．  1.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1EF，则M点的轨迹长度为(   )A.22B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，又C1G//D1E，C1G⊄平面CD1EF，D1E⊂平面CD1EF，所以C1G//平面CD1EF，同理可得C1H//CF，C1H⊄平面CD1EF，CF⊂平面CD1EF，所以C1H//平面CD1EF，∵C1H∩C1G=C1，C1H，C1G⊂平面C1GH，∴平面C1GH//平面CD1EF，∵M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1EF，∴点M在线段GH上，∴点M的轨迹长度为GH=12+12=2，故选C．   1.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=6,AB=3,AD=8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN=2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界)，若C1P//平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是( )A.[17,5]B.[4,5]C.[3,5]D.[3,17]【答案】A【解析】解：设A1D1的中点为E，F在DD1上且D1F=4，连接C1E、C1F、EF．则根据题意可知AM=D1E=4，AN=23×6=4，在中，MN=AM2+AN2=42，在中，EF=D1E2+D1F2=42，即MN=EF，同理可得：MF=NE，即四边形EFMN为平行四边形，∴EF//MN，又∵MN⊄平面C1EF，EF⊂平面C1EF，∴MN//平面C1EF，∵M，E分别为AD，A1D1的中点，则有ME//DD1，ME=DD1，又∵DD1//CC1,DD1=CC1，∴ME//CC1，ME=CC1，即四边形MEC1C为平行四边形，∴C1E//CM，又∵CM⊄平面C1EF，C1E⊂平面C1EF，∴CM//平面C1EF，又∵CM∩MN=M，CM,MN⊂平面CMN，由面面平行的判定定理得平面C1EF//平面CMN，所以由面面平行的性质可知，当点P在线段EF上时，C1P//平面CMN．又D1E=D1F=4 ，C1E=C1F=32+42=5，EF=42，在△C1EF中，当P与E或F重合时，C1P=5取得最大值．当C1P⊥EF时，即P为EF中点时，C1P=52−222=17取得最小值，所以C1P∈17,5．故选A1.如图，在多面体ABC−DEFG中，平面ABC//平面DEFG,EF//DG，且AB=DE,DG=2EF，则(  )A.BF//平面ACGDB.CF//平面ABEDC.BC//FGD.平面ABED//平面CGF【答案】A【解析】解：取DG的中点M，连接AM，FM，如图所示，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE= //FM，∵平面ABC//平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE，∴AB//DE，∴AB//FM，又AB=DE，∴AB=FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF//AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF//平面ACGD．故选A．2.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE=x，A1F=y，则四面体O−AEF的体积(    ) A.与x，y都有关B.与x，y都无关C.与x有关，与y无关D.与y有关，与x无关【答案】B【解析】解：如图，连接AO，AE，AF，OE，OF，EF，∵BB1//AA1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，∴BB1//平面AA1C1C，∴E到平面AA1C1C的距离为定值，∵AO//A1C1，∴F到直线AO的距离为定值，∴△AOF的面积为定值．∵VO−AEF=VE−AOF，∴四面体O−AEF的体积是与x，y无关的定值．故选：B．  1.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(    ) A.2,3B.324,52C.52,2D.1,52【答案】B【解析】解：如图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N//平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN//平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M=A1B12+B1M2=1+(12)2=52，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=52，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=A1M2−OM2=(52)2−(24)2=324，A1M=A1N=52，所以线段A1P长度的取值范围是[324,52].故选B．  1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E、N分别为边AB，BC的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处(A1与A不重合)，若M、K分别为线段A1D，A1C的中点，则在MDE折起过程中，(    ) A.DE可以与A1C垂直B.不能同时做到MN//平面A1BE且BK//平面A1DEC.当MN⊥A1D时，MN⊥平面A1DED.直线A1C、BK与平面BCDE所成角分别为θ1，θ2，θ1，θ2能够同时取得最大值【答案】D【解析】解：对于A，连接EC，在矩形ABCD中，AD=AE=1，BC=BE=1，∠A=∠EBC=90°，∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠DEC=90°，∴DE⊥EC，假设DE⊥A1C，又EC∩A1C=C，EC,A1C⊂平面A1EC，∴DE⊥平面A1EC，A1E⊂平面A1EC，∴DE⊥A1E，而A1ED=45°，∴A错误；对于B，取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB．∴GM//A1E，GN//EB，因为GM//A1E，MG⊄平面A1BE，A1E⊂平面A1BE，所以GM//平面A1BE，因为GN//EB，GN⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以GN//平面A1BE，又GM,GN⊂平面GMN，GM∩GN=G，∴平面A1BE//平面GMN，MN⊂平面GMN，∴MN//平面A1BE．同理可证平面FKB//平面A1DE，BK//平面A1DE.∴B错误；对于C，连接ME，EN，当MN⊥A1D时，MN2=DN2−DM2=CD2+CN2−DM2=CD2=4，而ME2=EN2=54，∴MN与ME不垂直，即MN不垂直平面A1DE，∴C错误；对于D，∵A1在以DE 为直径球面上，球心为G，∴A1轨迹为△A1AF外接圆(A1与不重合)，连接EC，取EC中点T连接TK，TB，∴TK=12，TB=22，∠KTB=135°⇒BK=52，直线A1C、BK与平面BCDE所成角取得最大值时，点A1到平面BCDE的距离最大．∴D正确．故选：D．  二、填空题（本大题共6小题，共30分）1.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是__________．【答案】①③④【解析】解：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，故水的形状成棱柱形，故①正确；水面四边形EFGH的面积是改变的，因为EF是变化的，而EH是不变的，所以四边形EFGH的面积是改变的，故②错误；因为A1D1//AD//CB//EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，所以A1D1//水面EFGH正确，故③正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，即当E∈AA1时，AE+BF是定值．故④正确．故答案为①③④．  1.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上，且BP=23BD1，则以下四个说法：①MN//平面APC；②C1Q//平面APC；③A、P、M三点共线；④平面MNQ//平面APC.其中正确的是_________.(填序号)【答案】②③【解析】解：①连结MN，AC，则MN//AC，连结AM，CN，AB=2MD1且AB//MD1，∴AM，BD1交于P，同理CN，BD1交于P，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以①错误；②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN//C1Q，因为C1Q⊄平面APC，AN⊂平面APC，所以C1Q//平面APC，所以②正确；③由①知A，P，M三点共线，故③正确；④由①知MN⊂平面PAC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ与平面APC相交，所以④错误．∴正确的是②③．故答案为②③．   1.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上，且BP=23BD1，则以下四个说法：①MN//平面APC；②C1Q//平面APC；③A、P、M三点共线；④平面MNQ//平面APC.其中正确的是_________.(填序号)【答案】②③【解析】解：①连结MN，AC，则MN//AC，连结AM，CN，AB=2MD1且AB//MD1，∴AM，BD1交于P，同理CN，BD1交于P，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以①错误；②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN//C1Q，因为C1Q⊄平面APC，AN⊂平面APC，所以C1Q//平面APC，所以②正确；③由①知A，P，M三点共线，故③正确；④由①知MN⊂平面PAC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ与平面APC相交，所以④错误．∴正确的是②③．故答案为②③．  2.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH //平面ABCD；②PA //平面BDG；③EF //平面PBC；④FH //平面BDG；⑤EF //平面BDG．其中正确结论的序号是________．【答案】①②③④ 【解析】解：把图形还原为一个四棱锥，如图所示，①根据三角形中位线的性质，可得EH//AB，∵EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EH//平面ABCD，同理可得GH//平面ABCD，又EH∩GH=H，EH，GH⊂平面EFGH，∴平面EFGH//平面ABCD；     ②连接AC，设AC中点为M，则M也是BD的中点，∵MG//PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，∴PA//平面BDG；      ③EF//AD//BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF//平面PBC；④FH//BD，BD⊂平面BDG，FH⊄平面BDG，∴FH//平面BDG．⑤EF//GH，GH与平面BDG相交，故EF与平面BDG相交．故正确的有①②③④，故答案为：①②③④．  1.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E、G分别为BC、BB1的中点，点F为棱CC1上一动点，平面BFD1交棱AA1于点M.则下列命题： ①四棱锥B1−BFD1M的体积恒为定值；②棱CC1上存在某点F使得DG⊥平面BFD1M；③棱CC1上存在某点F使得直线A1G与平面AEF平行；④若点F为棱CC1的中点，平面AEF截正方体所得两个几何体中体积较大的多面体的体积为1724．其中所有正确命题的序号为_______________．【答案】①③④【解析】对于①，由切割法可知 ,VB1−BFD1M=VF−BB1D1+VM−BB1D1,因为CC1，，所以点F，M到平面BB1D1的距离为定值，即①正确;对于②，假设棱CC1上存在某点F使得DG⊥平面BFD1M，而BD1⊂平面BFD1M，则DG⊥BD1，在矩形BDD1B1，如图所示：显然DG⊥BD1，不成立，故②错误;对于③，取CC1的中点F，取B1C1的中点L，连接A1L，GL，如图所示：易证平面AEF//平面A1GL，而A1G⊂平面A1GL ，则A1G//平面AEF，故③正确;对于④，连接AD1，D1F，如图所示，平面AEF截正方体的截面为AEFD1，延长AE，DC，D1F交于点P，则VEFC−ADD1=VD1−ADP−VF−ECP=13×12×1×2×1−13×12×12×1×12=13−124=724，剩下的多面体的体积为1−724=1724．则平面AEF截正方体所得两个几何体中体积较大的多面体的体积为1724.故④正确．故选①③④．  1.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22，则下列结论中正确的结论序号是_______________.①AC⊥BE；平面ABCD；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④直线AB与平面BEF所成的角为定值；⑤以ABEF为顶点的四面体的体积不随EF位置的变化而变化． 【答案】①②④⑤【解析】解：①∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故①正确；②∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF//平面ABCD，故②正确；③由图知，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故③错误；④直线AB与平面BEF所成的角也就是直线AB与平面BB1D1D所成的角，∵AC⊥平面BB1D1D，∴直线AB与平面BB1D1D所成的角就是∠ABD为45°，因此，直线AB与平面BEF所成的角为定值，故④正确；⑤由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A−BEF的体积为定值，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．