备战2022年新高考数学45天核心考点专题32 空间向量与立体几何（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题32空间向量与立体几何一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60∘，下列说法中正确的是()A.AC1=6B.AC1⊥BD→→∘6C.向量B1C与AA1的夹角是60D.BD1与AC所成角的余弦值为3【答案】B【解析】解：对于A，AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，则AC12=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°=216，所以AC1=66，选项A不正确；对于B，AC1·BD=(AB+AD+AA1)·(AD−AB)=AB·AD+22AD+AA1·AD−AB−AD·AB−AA1·AB=6×6×cos60°+36+6×6×cos60°−36−6×6×cos60°−6×6×cos60°=0，所以AC1⊥BD，选项B正确；对于C，向量B1C与BB1的夹角是180°−60°=120°，所以向量B1C与AA1的夹角也是120°，选项C错误；对于D，由BD1=AD+AA1−AB，AC=AB+AD，|BD1|=(AD+AA1−AB)2=1112=36+36+36+2×6×6×−2×6×6×−2×6×6×=62，|AC|=(AB+AD)2221236+36+2×6×6×2=63，BD1·AC=(AD+AA1−AB)·(AB+AD)=AD·AB+AA1·AB−AB+2BD1·ACAD+AA1·AD−AB·AD=18+18−36+36+18−18=36，所以cos=×AC=BD1366=，所以选项D错误．故选B．62×636 2.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=60°，∠BAC=90°，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为()A.29B.29C.23D.2322【答案】A1=1，【解析】解：由题意可知，AO=AB+AC1AB+AC+AA122且∠A1AB=∠A1AC=60°，∠BAC=90°，A1A=3，AB=AC=2，21222则AO=AB+AC+AA1+2AB·AC+2AB·AA1+2AC·AA1411129=4+4+9+0+2×2×3×+2×2×3×=，422429∴AO=，2故选A．3.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()6251510A.B.C.D.3555【答案】D【解析】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)， 则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，C1(0,2，1)∴BC1=(−2,0，1)，AC=(−2,2，0)，且AC为平面BB1D1D的一个法向量．，AC>=410∴cos