2022年高考数学重点必备解题方法05 数形结合思想求值域题型汇总(解析版)

专题05数形结合思想求值域题型汇总题型一:例:求函数的值域.【思路】设,则,令,可看作点和点之间的斜率,数形结合可得练习1.求函数的值域.提示:可化为,设,则,.,可看作点和点之间的斜率的倍,数形结合可得【答案】练习2.求函数的值域提示:可化为,设 【答案】评注:利用三角换元的方法去掉根号，然后结合点到圆上点的斜率的几何意义求出值域。一般根号中带平方的表达式可以用三角换元的方法去根号。题型二:例:求函数的值域.【思路】方法一:分离法,,即方法二:转化法,由得,即.方法三:数形结合,可以看做两点之间的斜率,作出的图像,数形结合可知,该斜率不可能等于 练习3.求函数的值域.提示:可用分离法,或是点与直线的斜率解决.【答案】题型三:例:求函数的值域【思路】方法一:,由辅助角公式,解得方法二:可看作点与点之间的斜率,而点即单位圆上的点,根据图像可知,斜率范围为,即值域为.练习4.求函数的值域. 提示:设,则,所以【答案】题型四:例:求函数的值域.【思路】方法一:,然后配方即可得方法二:可看作点与点之间距离的平方,点是椭圆上的点,结合图像可知距离的范围为值域为 练习5.求函数的值域.提示:,然后配方即可得【答案】评注:法一直接化成二次函数，配方法求值域；方法二利用点到椭圆的距离的平方的几何意义，当然，对三角换元要特别熟悉。题型五:例:求函数的值域【思路】方法一:换元法,,设,再三角换元,设,令,则方法二:平方法, 方法三:基本不等式法,将看作看作,则化为“已知,且,求的取值范围”.根据基本不等式,可得方法四:数学结合,设,可看作四分之一圆与直线相交时截距的取值范围，值域为题型六:例:求函数的值域.【思路】,可看作点到两定点、的距离之和,结合图像可知,当三点一线时取到最小值5,即值域 练习6.求函数的值域.【解析】可化为,根据两点之间距离公式,可看作点到和两点之间距离的取值范围.先将一点沿轴对称,当三点一线时取得最小值为5,所以函数的值域为.题型七:例:求函数的值域.【思路】方法一:平方法,,换元,设,,即方法二: 为避免混淆,即的值域,根据平面点到直线的距离公式,所以是点到直线的距离,数形结合可知,距离的最大值练习7.求函数的值域.提示:分子没有绝对值,要考虑正负,,通过点到直线的距离关系来判断.答案:评注:方法一利用平方法去了根号和绝对值，然后分离、换元，变成一个普通的分式方程，该分式方程除了本文的解法，读者还可尝试判别式法;方法二则是利用了点到直线的距离公式，化为距离的几何意义,注意变式的拓展。