备战2022年新高考数学45天核心考点专题21 平面向量的数量积（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题15平面向量的数量积一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，则△ABC为(   )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】解：因为(ABAB+ACAC)·BC=0，所以∠BAC的平分线与BC垂直，所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．又因为BABA·BCBC=22，所以∠ABC=45°，所以三角形ABC是等腰直角三角形．故选D．2.已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则(    )A.(a+b)//aB.向量a在向量b上的投影为102C.a与a−b的夹角余弦值为255D.若c=(55,255)，则a⊥c【答案】C【解析】解：对于A，向量a=(2,1)，b=(−3,1)，所以a+b=(−1,2)，且−1×1−2x2=−5≠0，所以a+b与a不平行，所以A错误；对于B，向量a在向量b上的投影为a·bb=−510=−102，所以B错误：因为a−b=(5,0)，所以cos=a⋅(a−b)|a|×|a−b|=105×5=255，所以C正确;因为c=(55,255)，所以a⋅c=2×55+1×255=455≠0，所以a与c不垂直，所以D错误．故选C．  3.已知向量m=1,0，n=12,12，则下列说法正确的是(   ) A.m=nB.m−n//nC.m−n⊥nD.m与n的夹角为π3【答案】C【解析】解：因为m=(1,0)，n=(12,12)，对于A，m=1,n=122+122=22，则|m|≠|n|，故A错误；对于B，因为m−n=12,−12，又因为12×−12−12×12≠0，所以m−n与n不平行，故B错误；C选项，因为(m−n)·n=12×12+12×−12=0，所以，故C正确；D选项，因为m·n=1×12+0×12=12，所以cosm,n=m·nmn=121×22=22，且，所以m与n的夹角为π4，故D错误．故选C．  1.在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的(    )A.垂心B.内心C.重心D.外心【答案】D【解析】解：如图所示：设线段BC的中点为D，则AB+AC=2AD．∵AC2−AB2=2AM⋅BC，∴(AC+AB)⋅(AC−AB)=2AM⋅BC，∴BC⋅(AB+AC−2AM)=0，即BC⋅(2AD−2AM)=0∴BC⋅MD=0，∴MD⊥BC且平分BC．因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．故选D．  2.已知|a|=6，b=(m,3)，且(b−a)⊥(2a+b)，则向量a在向量b方向上的投影的最大值为(    ) A.4B.2C.1D.62【答案】C【解析】解：因为b=(m,3)，所以b=m2+9．又因为(b−a)⊥(2a+b)，所以b−a·2a+b=0，即b2+a·b−2a2=0，而|a|=6，因此m2+9+a·b−12=0，解得a·b=3−m2，所以向量a在向量b方向上的投影为a·bb=3−m2m2+9．令t=m2+9，则m2=t2−9且t≥3，因此a·bb=3−m2m2+9=3−(t2−9)t=12−t2t=12t−t，显然函数y=12t−tt⩾3在[3,+∞)上单调递减，所以当t=3时，函数y=12t−tt⩾3取得最大值，最大值为1，因此向量a在向量b方向上的投影的最大值为1．故选C．  1.已知向量a=(−1,1)，b=(m,2).若(a−b)⊥a，则向量2a+b与a+b的夹角的余弦值为(   )A.7210B.210C.22D.12【答案】A【解析】解：因为a=(−1,1)，b=(m,2)，所以a−b=−1−m,−1，因为，所以−1×−1−m+1×−1=0，解得m=0，所以2a+b=−2,2+0,2=−2,4，a+b=−1,1+0,2=−1,3，设2a+b与a+b的夹角为θ，则cosθ=2a+ba+b2a+ba+b=−2×−1+4×3−22+42×−12+32=7210．故选A．  2.下列四个结论，正确的个数是(    ) ①在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；②若，则存在唯一实数λ使得a→=λb→；③若，，则；④在▵ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，且AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，则▵ABC为等边三角形；A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：①A>B>C，则a>b>c，由正弦定理得则sinA>sinB>sinC；故①正确，②若b=0，a≠0，满足a//b，此时不存在实数λ，使得a→=λb→；故②错误，③若b=0，a,c为不共线向量，满足a//b，，此时a,c不平行，故③错误，④AB|AB|，AC|AC|分别是AB,AC方向的单位向量，向量AB|AB|+AC|AC|在∠BAC的平分线上，由(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0知，AB=AC，，由且AB|AB|．AC|AC|=12，可得∠CAB=60∘，∴△ABC为等边三角形，故④正确，故选B．  1.在ΔABC中，以下命题中正确的个数是(   )①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，则动点P的轨迹必通过ΔABC的内心②若13(OA+OB+OC)=OG，则点G是ΔABC的重心③若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O是ΔABC的垂心④若AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的外心A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：①设D为BC中点，则AB+AC=2AD，∴AP=2λAD，即P点在中线AD上 可知P点轨迹必过ΔABC的重心，故①错误；②因为13(OA+OB+OC)=OG，所以OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG，化简得GA+GB+GC=0，故点G为三角形ABC的重心，故②正确；③∵OA⋅OB=OB⋅OC，∴OB⋅(OA−OC)=0；∴OB⋅CA=0；∴OB⊥AC，同理由 OA⋅OB=OC⋅OA，得到OA⊥BC，∴点O是△ABC的三条高的交点，故③正确；④设BC的中点是O，AC2−AB2=(AC+AB)⋅(AC−AB)=2AO⋅BC=2AM⋅BC，即(AO−AM)⋅BC=MO⋅BC=0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故④正确；综上，正确个数为3．故选C．1.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论：①OA⋅OD=−22；②OB+OH=−2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为22．其中正确结论的个数为(   )A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】解：对①，OA,OD的夹角为135∘，所以OA⋅OD=|OA||OD|cos 135∘=−22，故①正确；对②，(OB+OH)2=OB2+OH2+2OB⋅OH=2，所以|OB+OH|=2，|−2OE|=2，利用向量的加法法则，由图可发现OB+OH的方向与2OE方向相反，所以OB+OH=−2OE，故②正确；对③，设与AB同向的单位向量为e，由AH，AB 的夹角为135∘，则AH在AB向量上的投影向量为|AH|cos 135∘·e，因为|AH|≠1，所以投影向量的模|AH|cos 135∘=22|AH|≠22，故③错误．故选B．  1.设向量a,b,c,满足a=b=2,a⋅b=2,a−c⋅b−c=0,则c的最小值为A.3+12B.3−12C.3−1D.3+1【答案】C【解析】解：由题意知，|a→|=|b→|=a→·b→=2，而a→·b→=|a→||b→|cosα，故cosα=12，α=π3，可设a→=(2,0)，b→=(1,3)，c→=(x,y)，那么由(a→−c→)·(b→−c→)=0，代入x2−3x+2+y2−3y=0，整理得(x−32)2+(y−32)2=1．即c→的终点落在该圆上，则|c→|的最小值为圆心(32,32)到原点的距离减去半径为322+322−1=3−1，故选C．  2.在给出的下列命题中，不正确的是(    )A.设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则点A,B,C必共线B.若向量a,b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的C.已知平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)则ΔABC为等腰三角形D.已知平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则△ABC是等边三角形【答案】B【解析】解：对于A，设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则OA−OC=mOB−OC，∴CA=mCB ，∴点A,B,C必共线，故A正确；对于B，当a=0或b=0时，结论不成立，故B错误；对于C，若平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC，则OA·OB−OC=0，即OA·CB=0，∴OA⊥CB；又AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，∴O在∠BAC的平分线所在直线上，∴ΔABC为等腰三角形，故C正确；对于D，若平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，则O是ΔABC的外心；又OA+OB+OC=0，则O又是ΔABC重心；∴△ABC是等边三角形，故D正确．故选B．  1.已知不共线向量OA,OB夹角为α,OA=1,OB=2,OP=1−tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0处取最小值，当0