备战2022年高考数学核心考点专题训练专题15导数中的零点问题一、单选题(本大题共10小题,共50.0分)1.已知函数f(x)=ex−ax有两个零点x1eB.x1+x2>2C.x1x2>1D.有极小值点x0,且x1+x20,①当a≤0时,f'(x)=ex−a>0在x∈R上恒成立,∴f(x)在R上单调递增.②当a>0时,∵f'(x)=ex−a>0,∴ex−a>0,解得x>lna,∴f(x)在(−∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.∵函数f(x)=ex−ax有两个零点x12+ln(xx),12121212e2取a=,f(2)=e2−2a=0,∴x2=2,f(0)=1>0,∴00,∴00时,f'(x)0,g(x)单调递增,所以gx⩾g0=−20,g−2=+2>0,e2结合零点存在定理及函数的单调性知函数g(x)=f(x)−2的零点个数为2,故选B.m5.已知函数f(x)=−lnx+m在区间(e−1,e)内有唯一零点,则实数m的取值范围为xee−1eA.−2,+1B.,e+12e+1e+1−eeC.,1D.−1,+1e+12【答案】B学科网(北京)股份有限公司
1xlnx【解析】解:由f(x)=0,得m+1=lnx,m=,xx+1xlnxx+1+lnx令h(x)=,h'x=2,x+1x+11令k(x)=x+1+lnx,k'x=1+>0,x函数y=k(x)在区间(e−1,e)单调递增,k(x)>k(e−1)=e−1>0,所以h'(x)>0,函数y=h(x)在区间(e−1,e)单调递增,所以有h(e−1)b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a【答案】B【解析】解:由题意:函数g(x)=2xex+1,g'(x)=2xex+2ex,所以a为2xex+1=2xex+2ex的根,解得x=−ln2,即a=−ln2.11h(x)=lnx+2,h'(x)=,b为lnx+2=的根,xx111令p(x)=lnx+2−,则p'=+>0;xxx21故P(x)在(0,+∞)单调递增,且p=−ln20,21故0对x∈[,1]恒成立,则函数f(x)在区间[,1]2222单调递增,故②正确;
③:由②可知,f'(x)=4x−ex在(0,ln4)单调递增,(ln4,+∞)单调递减,又f'(0)=−10,则x>,2aa所以f(x)在(0,)单调递减,f(x)在(,+∞)单调递增,22aa所以f(x)min=f()=a−aln≥0,22所以00时,令h'(x)=0,得x=(负舍),2aa当x∈(0,)时,h'(x)