2022年高考数学重点必备解题方法12 函数分离参数与恒成立问题(解析版)

专题12函数分离参数与恒成立问题内容导图一、轴动区间和轴定区间动口诀:轴在区间内,顶点定;轴在区间外,单调定.例1:若函数在上为单调函数,则实数的取值范围是()A.B.C.∪D.【答案】 【解析】由于对称轴为直线,区间为,故根据口诀:轴在区间外,单调定,则可知道或,所以或,故选.例2:已知函数在上有最大值,最小值,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】【解析】这是一道“卡根法”类型的题,关键在于找到取得最大值和最小值的的对应值,易知,当时,;当时,或,故根据草图的卡根可知时,满足题意,故选.例3:若函数,若对任意不等式恒成立,则实数的最大值为________.【答案】6【解析】解法一:二次函数的轴动区间定类型,根据轴在区间内,顶点定,轴在区间外,单调定的法则,进行分类讨论,即足否在区间内;如图1所示:①当时,,故;②当时,,故;图一图二③当时,,此时为;综上可得:.解法二:参变分离,由于,故恒成立,如图2所示,根据对勾函数图像性质,则只需,当且仅当时等号成立.归纳总结:在做二次函数轴动区间定的题型时,若只考查单调性,显然直接法更简单,遇到恒成立或者零点分布类型题目时,显然参变分离更筒单.轴定区间动显然还是直接讨论并“卡根”更加直截了当.关于零点分布，进行区间端点和对称轴一起来“卡根”，端点值往往形成一种“定海神针”的感觉,我们接下来分析. 例4:设函数.(1)已知函数的定义域为,求实数的取值范围;(2)已知方程有两个实数根,且,求实数的取值范围.【答案】6【解析】(1)根据题意可得对恒成立,即;(2)解法一:如图1所示,综上可得.解法二:(参变分离)根据题意得:在区间内有两根,,其几何意义足与在区间内有两个交点,如图2所示,当时,满足题意,注意到时,原方移有两个相等的实根,故.图一图二二、参变分离型1.恒成立与能成立类型之同号型 我们规定,当决定抛物线开口方向的的符号与恒成立(能成立)的符号一致时,即,此类型题目基本上都是分类讨论法复杂,而参变分离法简单.还要说明的一点就是参数尽量为一次.例5:已知不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】由可化为,令,由,得,则在上递増,当时,取得最大值为,当时,函数取得最小值为,所以≤.实数的取值范围是.故答案为.例6:已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,恒成立,求的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)当时,一元二次不等式的解为;(2)当时,恒成立,即恒成立,令,因为在上的最大值为,故.例7:已知函数.(1)若函数有唯一的零点,求的值;(2)设,若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)若因数有唯一的零点,等价于有唯一实根;①若,则方程为,方程根为,满足题意; ②若,则,得;综上所述:或;(2)解法一:(直接讨论)由等价于,记,①若,即,则在上递增,所以≥,即≥;②若,即,则在上递增,在上递增,所以;③若,即,则在上递增,所以.综上所述.觫法二:(转化为对勾函数)由≤等价于,记,可知在上递减,在上单调递增.①若,此时,所以在上递减,所以;②若,此时,所以在上递减,在上递增,所以.综上所述:.解法三:(参变分离)由,则恒成立.当时,;当时,对恒成立,而,当且仅当时等号成立.综上所述.例8:已知函数. (1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)因为,所以.所以,即,解得或.故不等式的解集为或.(2)当时,不等式恒成立等价于在上恒成立.因为,所以,令,则,根据对勾函数性质知,当时,取得最小值6,故的取值范围为.例9:设二次函数为.(1)若对任意实数恒成立,求实数的取值范围;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范圃.【答案】见解析【解析】(1)由题意,对于恒成立,令.①当时,在上单调递减,所以只需要,解得∪;②当时,,所以不成立;③当时,在上单调递增,所以只需要,解得.综上∪.(2)解法一:(直接讨论)二次函数开口向上,对称轴为.①当时,,所以在区间上单调递增.存在使得,只需要,解得,又,所以. ②当时,,所以在区间上的最小值为.存在,使得,只需要,解得或,又,所以∪;③当时,,所以在区间上单调递减,存在使得,只需要,解得,又,所以.综上,∪.解法二:(参变分离)由对能成立,参变分离得到对或者对能成立,即当时,或者当时,.综上所述:的取值范围为∪.2.两零点分布在同一区间问题二次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时,参变分离转化为区间的值域或者交点问题,显然事半功倍.例10:已知.(1)若且,求的单调区间;(2)当为何值时,有2个零点,且均比大.【答案】见解析【解析】(1)由题意知,可知当时,.此时,二次函数的对称轴为,且开口向上.所以当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)解法一:(直接讨论)由题意可知,函数的两个零点均大于,且函数的对称轴为,且开口向上.所以,即,解得 解法二:(参变分离)由题意知,令,则,由于时,,当,,故当时,即时满足题意.例11:若关于的一元二次方程至少有一个正根,求的取值范围.【答案】见解析【解析】要使一元二次方程成立,首先(否则成了一元一次方程).解法一:(直接讨论)要使方程有解必须:,即或.(1)当时,要使有正解,则,此时无解;(2)当且时分两种情况:①当时,成立,此时解得,所以当时,一定有正解;②当时的解中分母,那么分子至少有一个解为负数,同理可得当时,正好只有一个正解.综上所述:当且时,关于的一元二次方程至少有一个正根.解法二:(参变分离)易知,此题转化为函数在区间的值域问题,令,当时.∪.（如图所示,请结合对勾函数图像分析)三、卡根法1.恒成立(能成立)的异号类二次函数开口方向和不等号方向反向,即怛成立,或者恒成立. 例12:不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】见解析【解析】根据题意,设,若对任意恒成立,则在区间上恒成立,必有,即可得,故选.2.零点问题的分散或者范围内单个零点如果两个零点在不同区间或者某个区间只有一个零点时,端点值的正负号将决定参数的取值范围.例13:若方程的一个根在内,另一个根内,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】见解析【解析】设函数,因为方程的一个根在区间上,另一根在区间上,所以,所以,即实数的取值范围是,故选.例14:已知关于的方程的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数的取值范围是__________.【答案】见解析【解析】分类讨论:①当,则,得;②当,则,得.综上:的取值范围是∪.故答案为∪. 四、综合问题的处理策略在轴动区间定的情况下,若参变分离出现正负号不确定时也需要分类讨论,不等号方向涉及改变,此时只需要分两类,而常规的卡根法需要分三类.例15:已知函数,若时,恒成立,求的取值范围.【答案】见解析【解析】解法一:要使恒成立,则函数在区间上的最小值不小于,设的最小值为.①当,即时,,得,故此不存在;②当,即时,,得,又,故;③当,即时,,得,又,故，,综上得.解法二:根据题意可得:在上恒成立,即在上恒成立,即.例16:已知是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围.【答案】见解析【解析】由题意得:当时,不符合题意,所以;又因为在上有解,所以在上有解,则在上有解,问题转化为求函数在上的值域;设,则,设,则 ,当时,,此函数单调递减;当时,,此函数单调递增,所以的取值范固是,所以在上有解或.故实数的取值范围或.例17:已知函数.(1)若函数是偶函数,求实数的值;(2)若函数,关于的方程有且只有一个实数根,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)因为函数是偶函数,所以对任意恒成立,所以对任意的恒成立,所以对成立,所以;(2)因为,所以,所以,设,则有关于的方程.①若,即时,则需关于的方程有且只有一个大于的实数根,设,则,所以,所以成立,所以满足题意;②若,即时,解得,不满足题意;③若,即时,,且,则.所以时关于的方程有且只有一个实数根.综上所述,所求实数的取值范围是 或.达标训练1.不等式在上恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由于的对称轴为,当时,在上递减,在上递增,则,当时,在上递增,则.综上,则的取值范围是.故选.2.函数在上不单调,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为函数在上不单调,所以,解得.故选B.3.已知一元二次方程有两个负根,则实数的范围为()A.B.C.D.【答案】B 【解析】因为方程有两根,所以,解得或,由韦达定理:,解得,综上.故选.4.二次函数在区间]上是增函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】,开口向下,对称轴为,若二次函数在上是增函数,则,即.故选.5.已知方程至少有一个负根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.∪【答案】C【解析】解法一:(1)当时,方程变为,有一负根,满足题意;(2)当时,,方程的两根满足,此时有且仅有一个负根,满足题意;(3)当时,由方程的根与系数关系可得所以方程若有根,则两根都为负根,而方程有根的条件,所以1,综上可得,.故选.解法二:由,令0),.故选C.6.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A 【解析】时,不等式可化为;当时,不等式为,满足题意;当时,不等式化为,则,当且仅当时取等号,所以,即;当时,恒成立;综上知,实数的取值范围是.故选.7.设函数,其中,若对任意的至少有一个为非负值,则实数的最大值是()A.B.C.D.【答案】【解析】根据二次函数的图像与性质可知,若对任意的和至少有一个为非负值,只需两个函数图像交点处的函数值大于等于0即可,由,得,所以,解得,所以时取得最大值为2.故选.8.若不等式在时恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.∪【答案】D【解析】当时,由,得,故不符合条件,排除;当时,由,得,故3不符合条件,排除C.故选D.9.已知关于的方程有一根大于,另一根小于,则实数的取值范围是() A.B.C.D.【答案】A【解析】设,若方程有一根大于1,另一根小于1,则只需要,即,得,即实数的取值范围是.故选.10.关于的方程在区间内有两个不等实根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】【解析】参变分离,易知与有两个交点时,,求得.故选.11.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】当时,不等式恒成立当时,不等式恒成立,当时,当且仅当时等于成立),因此,以.故选.12.设,若关于的不等式在区间上有解,则()A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为关于的不等式在区间[1,2]上有解,所以,在上有解.因为函数,在[1,2]上单调递增,所以,所以.故选D.13.设函数(1)若对于一切实数恒成立,则的取值范围是____________;(2)若对于恒成立,则的取值范围是_______________.【答案】见解析【解析】(1)恒成立,①时,恒成立,②时,,解可得,综上可得;(2)因为恒成立,所以时恒成立,所以在时恒成立,即当时,,所以故答案为:(1);(2).14.已知,若对任意,不等式恒成立,则实数的最大值为____________.【答案】6【解析】因为对任意恒成立,所以对任意恒成立,令,根据对勾函数的单调性可知,,时单调递减,时单调递增,故当时,,所以即的最大值为6.故答案为6. 15.关于的不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是________________.【答案】【解析】由题得,因为,所以,所以,当时得到等号.所以-2.故答案为.16.不等式对任意的恒成立,则的取值范围为_______________.【答案】【解析】因为对任意的恒成立,(1)时,恒成立,(2)时,,解可得,综上可得.故答案为.17.若不等式对怛成立,则实数的取值范围是________________.【答案】【解析】因为,所以当时,;当时,恒成立,所以,综上可得,故答案为. 18.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为_________________.【答案】【解析】当时,不等式可化为,设,,则在[1,2]内的最小值为,所以关于的不等式在区间[1,2]上有解,实数的取值范围是.故答案为.19.已知,且在内有两个不同的零点,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】因为二次函数在内有两个零点,所以,,解得.故答案为20.若方程的一个根在区间上,另一根在区间上,则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】设函数,因为方程的一个根在区间上,另一根在区间上,所以所以即实数m值范围是.故答案为.21.已知,当时,恒成立,则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】因为,当,时,恒成立,所以当时恒成立(1),时,(1)式成立,解得时,得或,又的对称轴是,当时,函数的最小值是,解得,此种情况下无解,当时,函数在区间上是增函数,最小值在时取到,所以函数的最小值是,解得,故有,综上,实数的取值范围是.故答案为.22.设函数.(1)若对于一切实数恒成立,求的取值范围;(2)若对于恒成立,求的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)要使得恒成立,①若,显然成立;②若,只要,解可得,综上可得的范围;(2)要使在恒成立,只要恒成立,所以,因为,只要,因为,所以,当且仅当即时取等号,因为,所以. 23.已知函数.(1)当为何值时,函数在上有两个零点;(2)当为何值时,函数有两个零点且均比大.【答案】见解析【解析】(1)依题意得解得由,解得.解法二,令,,根据对勾函数性质,当,当,故当时,有两个零点;(2)根据对勾函数性质，当，当,故当时,有两个零点.24.已知函数在区间上的最小值为,函数.(1)求的值;(2)若存在使得在上为负数,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1),令得,所以在上单调递减,在,)上单调递增;①当时,函数在[2,3]上的最小值为,得;②当时,函数在[2,3]上的最小值为,可得(不成立,舍); ③当时,函数的最小值为,可得(不成立,舍),故得.(2)根据题意得,则,所以在上单调递减,若存在使得在上为负数,只需,得,故得25.已知函数.(1)讨论不等式的解集;(2)若对于任意恒成立,求参数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)因为.由可得,①当0时,,可得;当时可得②当时,不等式可化为,可得或;③当时,不等式可化为0,()当即时,不等式的解集为;(ii)当即时,不等式的解集为;(iii)当时,不等式的解集;(2)若对于任意恒成立,所以,对于任意,所以对于任意恒成立,所以 对于任意恒成立,而时,,所以.所以.26.已知函数.(1)若不等式的解集是,求实数与的值;(2)若,且不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意可得,且1,b是方程的根.根据方程的根与系数关系可得,所以;(2)因为对任意恒成立,即对任意恒成立,令,,则,因为先增后减,当时,函数取得最大值.因为,解可得.