第三节 基本不等式
课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测
课前·基础巩固
【教材回扣】1．基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：________．(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最________值________．(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最________值________．(简记：和定积最大)．a>0，b>0a＝bx＝y小2x＝y大S2
【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．()2．(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．()3．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．()4．x>0且y>0是≥2的充分不必要条件．()×√√√
题组二教材改编1．已知x>1，则x＋的最小值为()A．2B．3C．4D．6答案：B解析：∵x>1，∴x－1>0，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，取“＝”．∴x＋的最小值为3.故选B.
2．(一题两空)已知直角三角形的面积等于50cm2，当两条直角边的长度各为________cm时，两条直角边的和最小，最小值是________cm.1020解析：设两条直角边为x，ycm.则xy＝100.∴x＋y≥2＝20.当且仅当x＝y＝10cm时，两条直角边的和最小，最小值为20cm.
3．若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．答案：[9，＋∞)解析：∵a，b>0，∴a＋b≥2，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴ab－2－3≥0，∴(＋1)(－3)≥0，又∵＋1>0，∴－3≥0，∴ab≥9，当且仅当a＝b时，即a＝b＝3时，ab取最小值9.
题组三易错自纠1．已知00时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故A正确；＝，当x＝0时取得等号，故B正确；＝，令t＝，则t≥2，因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误；2－在x0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________.答案：4解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1∴＝()·1＝()(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．
变式探究：将本例条件改为“a>0，b>0，a＋b＝4ab”，则a＋b的最小值为________．答案：1解析：∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除ab得＝4，∴a＋b＝(a＋b)·＝≥×2＝＝1.当且仅当＝即a＝b＝时取等号．
类题通法通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．
巩固训练2：[2021·山东德州模拟]已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝的最小值是()A．B．C．5D．4答案：B解析：∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴y＝＝·(a＋b)＝≥×2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
角度2|消元法求最值[例3]若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是()A．B．C．D．答案：A解析：∵x，y均为正数，x2＋6xy－1＝0，∴y＝，∴x＋2y＝x＋＝＝≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．故选A.
类题通法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
巩固训练3：若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则的最小值为________．答案：3解析：∵a＋b＋c＝2，a>0，b>0，c>0，∴b＋c＝2－a>0，∴00)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则的最小值是()A．2－B．－1C．3＋2D．3－2答案：C解析：直线平分圆，即直线过圆的圆心，由题意可知圆心坐标(1，2)，则2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1，所以＝()(a＋b)＝3＋()≥3＋2，当且仅当＝，即b＝－1，a＝2－时取等号．
(2)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．答案：3解析：设等差数列{an}的公差为d.则a9－a3＝19－7＝6d，∴d＝2，∴an＝a3＋(n－3)×2＝7＋2(n－3)＝2n＋1，Sn＝＝＝n(n＋2)＝n2＋2n，∴＝＝＝≥2×＝3.当且仅当n＋1＝，即n＝2时取等号．
类题通法关于基本不等式与其它知识点的交汇利用其它知识点的知识进行条件转化，表示出要求最值的式子，根据条件，利用基本不等式求最值．
巩固训练4：已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是()A．10B．9C．8D．3答案：B解析：∵f(x)＝ax2＋bx，∴f′(x)＝2ax＋b，∴f′(1)＝2a＋b＝2，∴＝·＝5＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．
题型三 基本不等式的实际应用[例5]某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，∴2021年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
类题通法利用基本不等式求解实际问题时，根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
巩固训练5：某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，高3m．如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m答案：160解析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为m，由题意可得水池总造价f(x)＝150×＋120(2×3x＋2×3×)＝240000＋720(x>0)，则f(x)＝720＋240000≥720×2＋240000＝720×2×40＋240000＝297600，当且仅当x＝，即x＝40时，f(x)有最小值297600，此时另一边的长度为＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160m.
高考·命题预测
[预测1]核心素养——数学建模某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×＝(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为(＋4x)万元．因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
[预测2]新题型——多选题下列表述正确的是()A．＝4，x∈(1，20)B．若a>b>0，则ln1时，lgx>0，则lgx＋≥2＝4，当且仅当lgx＝，即x＝100时取等号，故＝4.∵x∈(1，20)，∴当x∈(1，20)时，lgx＋>4，故A不正确．对于B，若a>b>0，则00，∴2y>x>0且0.设t＝0，所以y＝＝＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是.【答案】
[典例2]设x>0，y>0，不等式≥0恒成立，则实数m的最小值是________．【解析】原问题等价于≥－恒成立，∵x>0,y>0，∴等价于m≥－(x＋y)的最大值．而－(x＋y)＝－2－≤－2－2＝－4，当且仅当x＝y时取“＝”，故m≥－4.【答案】－4
[典例3]对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2，2]D．[0，＋∞)【解析】①当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；②当x≠0时，不等式等价变形为a≥－＝－＝f(x)，问题等价于a≥f(x)max.因为|x|＋≥2＝2(当且仅当|x|＝1时等号成立)，所以＝－2，所以a≥－2.综合①②可知，a的取值范围是[－2，＋∞)，故选A.【答案】A
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