必考部分第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第二讲 排列与组合
1知识梳理·双基自测2考点突破·互动探究3名师讲坛·素养提升
1知识梳理·双基自测
知识点一 排列与排列数(1)排列的定义：从n个________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．不同顺序所有不同排列
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！1
知识点二 组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个________元素中取出m(m＜n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．不同合成一组所有不同组合
1
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
××√√×√
题组二 走进教材2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24D
题组三 走向高考3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D
4．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)1260
5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)16
2考点突破·互动探究
考点一排列问题——自主练透有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__________(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__________(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__________(4)全体排成一排，女生必须站在一起；_______例1252050403600576
(5)全体排成一排，男生互不相邻；__________(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；_______(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__________(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__________144072025203720
[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有_______种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_______种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有_______种．720960960
求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法
〔变式训练1〕(1)(2021·广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有______种不同的调度方法．(用数字填写答案)72
(2)(2020·广西兴宁、期末)2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()A．36种B．48种C．56种D．72种D
考点二组合问题——师生共研(1)(2021·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．49C．56D．28例2B
(2)(2021·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有()A．15种B．18种C．20种D．22种D
[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有______种；②甲、乙都不入选的选法有______种．5656
组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
〔变式训练2〕(1)(2020·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A．10B．15C．20D．24A
(2)(2021·江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为()A．30B．60C．90D．120D
考点三排列、组合的综合应用——多维探究角度1相邻、相间问题(1)(2021·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_______种．例3120
(2)(2021·模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A．16B．24C．8D．12A
角度2特殊元素(位置)问题(1)(2021·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96例4D
(2)(2021·山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育．其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有_____种．9
(2)由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为佳，如： 第一节 第二节 第三节 第四节数学语文——体育——英语英语——体育——语文体育——语文——英语同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法．
[引申]本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为______．78
角度3分组、分配问题(1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；______②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；_______③平均分成三份，每份2本；______④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；______；例5603601590
⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；______⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；______⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．______(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有______种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有______种．1590303555
解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．
注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．
隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．
〔变式训练3〕(1)(角度1)(2021·山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种．(2)(角度2)(2021·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．36种B．42种C．48种D．60种16B
(3)(角度3)(2021·浙江绍兴测试)为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有_______种．150
3名师讲坛·素养提升
1．限制条件的分配问题分类法：某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？例1排列组合的其它类型及解法
2．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计．3．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？例2
4．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：(2020·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有______种不同的抽调方法．例384
5．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？例4
6．部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求．四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有()A．150种B．147种C．144种D．141种例5D
7．圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1，a2，a3，…，an；a2，a3，a4，…，an，a1；a3，a4，…，an，a1，a2；…在圆排中是同一排法．8．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：
设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？例6
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