新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：7.4.2 平面向量的应用

第2课时　平面向量的应用 课堂·题型讲解高考·命题预测 课堂·题型讲解 题型一　向量与平面几何[例1](1)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为()A．B．C．D．3答案：A 解析：(1)方法一：如图1，以D点为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．∴A(1，0)，B，在平面四边形ABCD中知CD＝.∴设DE＝t(t∈[0，])，∴E(0，t)．∴·＝(－1，t)·＝＋t2－t＝＋.∴当t＝时，(·)min＝. 方法二：易知DC＝，∠CAD＝60°，设DE＝x(0≤x≤)，则·＝()·()＝1×1×cos60°＋12＋0＋x×1×cos150°＋0＋x2＝＋. 方法三：如图2，取AB的中点F，连接EF，则·＝·＝()·()＝－＝－.可知当且仅当||最小时·取最小值，分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G，当点E与H重合时，EF取到最小值，易知HF为梯形DABG的中位线，由已知得|BG|＝，|AD|＝1，则|HF|＝|EF|＝(|BG|＋|AD|)＝.故·的最小值为.故选A. (2)[2020·江苏卷]在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m(m为常数)，则CD的长度是________．答案：或0 解析：解法一：以点A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，设＝λ，λ∈[0，1]，则D(4λ，3－3λ)，＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又点P在AD的延长线上，则可设＝μ，μ>1，又＝m()＋＝m，则＝m()＋)，＝，则2m＋(3－2m)＝＝μ＝λμ＋μ(1－λ)，所以2m＝λμ，3－2m＝μ－λμ，所以μ＝3，又AP＝9，则AD＝3，所以(4λ)2＋(3－3λ)2＝9，得λ＝或λ＝0，则||＝||＝＝或||＝0×||＝0. 解法二　由题意可设＝λ＝λ[μ＋(1－μ)]＝λμ＋(λ－λμ)，其中λ>1，0≤μ≤1，又＝m，所以得λ＝，即＝，又PA＝9，则||＝6，||＝3，所以AD＝AC.当D与C重合时，CD＝0，当D不与C重合时，有∠ACD＝∠CDA，所以∠CAD＝180°－2∠ACD，在△ACD中，由正弦定理可得＝，则CD＝＝·AD＝2cos∠ACD·AD＝2××3＝.综上，CD＝或0. 类题通法平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的关系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解． 巩固训练1：(1)[2021·山东潍坊模拟]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．答案：12 解析：方法一：因为·＝2·，所以··＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||||cos，化简得||＝2.故·＝·()＝||2＋·＝＋2×2cos＝12. 方法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0.则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12. (2)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·()的最大值为________．答案：9 解析：方法一(坐标法)：由已知得AC⊥BC，所以以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则＝(x，y)，＝(－4，3)，＝(－4，0)．∴·()＝·＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.方法二(基向量法)：∵＝＝，∴·()＝()·＝＋·＝9－·＝9－||||cos∠BAC＝9－3||cos∠BAC.∵cos∠BAC为正且为定值，∴当||最小，即||＝0时，·()取得最大值9. 题型二　向量与三角函数[例2]已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 解析：(1)∵a∥b∴－cosx＝3sinx∴tanx＝－∵x∈[0，π]∴x＝.(2)由f(x)＝a·b得f(x)＝3cosx－sinx＝2cos∵x∈[0，π]∴x＋∈当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值为－2，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值为3. 类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直的等式成立，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 巩固训练2：在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值． 解析：因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，则＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0