新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：11.3 二项式定理

第三节　二项式定理 课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测 课前·基础巩固 【教材回扣】1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝__________，它表示第__________项二项式系数二项展开式中各项的二项式系数________an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bnan－kbkk＋1，，…， 2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_______增减性二项式系数当k(n∈N*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项和_______取得最大值＝ 3.二项式系数的和，，…，(1)＋＋＋…＋＝2n.(2)＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．an－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．()2．(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()3．二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()4．(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()×√×√ 题组二教材改编1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是()A．B．－C．D．－解析：T6＝x5(－1)5＝－x5.∴第6项的系数是－.故选D.答案：D 2.的展开式中的常数项是()A．32B．－32C．252D．－252解析：Tk＋1＝(2x3)10－k·＝·210－k··x30－6k.令30－6k＝0解得k＝5，∴展开式的常数项是·25·＝－252，故选D.答案：D 3．(x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数是________．解析：由(x－y)5展开式的通项公式Tk＋1＝x5－k·(－y)k，可得当k＝3时，T4＝－x2y3，当k＝2时，T3＝x3(－y)2＝x3y2.∴(x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为：(－)＋＝0.答案：0 题组三易错自纠1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．B．C．D．(－1)m－1解析：Tm＝·xn－m＋1·(－y)m－1＝(－1)m－1··xn－m＋1·ym－1∴第m项的系数是(－1)m－1·.故选D.答案：D 2．已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A．1B．±1C．2D．±2解析：由题意知2n＝32，∴n＝5.∴Tk＋1＝()5－k·＝令＝0解得k＝3，∴其常数项为第4项．∴·a3＝80.∴a＝2.故选C.答案：C 3．(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______．(用数字作答)解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是T4＝·(2x)3·(－1)3＝－160x3.∴系数为－160.答案：－160 课堂·题型讲解 题型一　展开式中的特定项角度1|二项展开式中的特定项[例1](1)在(－2)5的展开式中x2的系数为()A．－5B．5C．－10D．10解析：Tk＋1＝()5－k(－2)k＝令＝2，得k＝1∴T2＝(－2)x2＝－10x2∴x2的系数为－10，故选C.答案：C (2)在二项式的展开式中，求①第4项；②常数项；③有理项．解析：二项展开式的通项Tk＋1＝＝(－1)k，①令k＝3，则T4＝(－1)3＝－220x8.②令＝0，则k＝9，从而，常数项为(－1)9＝－220.③当k＝0，3，6，9，12时，是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4. 类题通法二项展开式的通项Tk＋1＝an－kbk的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算． 巩固训练1：(1)[2021·河北唐山模拟]的展开式中，x7的系数为40，则a＝()A．B．－C．2D．－2解析：展开式的通项Tk＋1＝－2x2)k＝(－2)ka5－kx3k－5，k＝0，1，2，3，4，5.令3k－5＝7，解得k＝4.∵x7的系数是40，∴(－2)4a＝40，解得a＝.故选A.答案：A (2)[2020·天津卷]在的展开式中，x2的系数是________．解析：∵Tk＋1＝x5－k＝2kx5－3k.令5－3k＝2，得k＝1，∴T2＝2x2＝10x2∴x2的系数是10.答案：10 角度2|两个二项式乘积的展开式的特定项[例2](1)[2020·全国卷Ⅰ](x+)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．20解析：因为(x＋y)5的展开式的第k＋1项Tk＋1＝x5－kyk，所以(x+)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为＋＝15，故选C.答案：C (2)[2021·山东淄博检测](x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________．解析：(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，二项式(2x＋1)6的通项为Tk＋1＝(2x)6－k.所以当k＝6时，x2的系数为1×＝1.当k＝4时，x2的系数为22×＝60.所以(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数为1＋60＝61.答案：61 类题通法求两个二项式乘积的展开式常用方法(1)对每一个二项式展开，于是问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，此时只需利用多项式乘法法则对其展开即可(即用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项)；(2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开． 巩固训练2：(1)[2021·山东泰安模拟](1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为()A．2B．－2C．3D．－3解析：由题意(1－x)(1＋x)3＝(1＋x)3－x(1＋x)3，(1＋x)3的通项公式为Tk＋1＝·13－k·xk＝·xk，令k＝3，则＝＝1；令k＝2，则＝＝3；所以(1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为1－3＝－2.故选B答案：B (2)(x+)(x－3)5的展开式中x的系数为________．解析：(x+)(x－3)5展开式中含x的项是由x＋中的x项与(x－3)5展开式中的常数项(－3)5相乘以及x＋中的项与(x－3)5展开式中的x2项相乘并求和而得到，因此(x+)(x－3)5展开式中x的系数为1×(－3)5＋(－3)3＝－513.答案：－513 角度3|三项展开式的特定项[例3](x2＋3x－4)4的展开式中x的系数是________．解析：方法一：(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝(x2＋3x)4－(x2＋3x)3×4＋(x2＋3x)2×42－(x2＋3x)×43＋×44，显然，展开式中只有第四项中含x，所以展开式中x的系数是－×3×43＝－768.方法二：(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4×(x＋4)4＝(x4－x3＋x2－x＋)(x4＋x3×4＋x2×42＋x×43＋×44)，所以展开式中x的系数是－44＋43＝－768.方法三：(x2＋3x－4)4＝(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)，从上述1个因式中取3x，其他3个因式取－4，则x的系数是×3×(－4)3＝－768.答案：－768 类题通法解决三项式问题有三种方法，方法一：先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解．方法二：三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解；方法三：三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解． 巩固训练3：的展开式中，常数项为________．解析：＝，∴Tk＋1＝(－1)4－k(k＝0，1，2，3，4).k＝0时，T1＝1.的展开式的通项为Tk＋1＝xn－k＝(－1)kxn－2k(k≤n)，令n＝2k可得或∴常数项为1－12＋6＝－5.答案：－5 题型二　二项式系数的性质[例4]已知的展开式中前三项的系数为等差数列．(1)求二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． 解析：(1)∵＝1，＝，＝n(n－1)，由题设可知2·＝1＋n(n－1)，n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).所以二项式系数的最大的项为＝x.(2)设第k＋1项的系数Tk＋1最大，显然Tk＋1>0，故有≥1且≤1，∵＝＝，由≥1，得k≤3.又∵＝＝，由≤1，得k≥2.∴k＝2或k＝3，所求项为T3＝或T4＝. 类题通法(1)二项式系数最大项的确定方法①若n是偶数，则中间一项(第＋1项)的二项式系数最大；②若n是奇数，则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 巩固训练4：(1)已知(a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中x2项的系数为84，则a的值为()A．2B．1C．D．解析：∵(a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴n＝9，又∵的展开式的通项Tk＋1＝a9－k＝·a9－k·，∴令＝2，解得k＝3.∵展开式中x2项的系数为84，∴a6＝84，解得a＝1或a＝－1(舍去)，故选B.答案：B (2)若x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15的二项展开式中系数最大的项为第________项．解析：Tk＋1＝2kxk，由解得≤k≤，故k＝10，所以第11项的系数最大．答案：11 题型三　二项式系数的和[例5]已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7).∴由(2)(3)即可得其值为2187. 类题通法对于(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式，求各项系数和时，可令x＝1`，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋b)n.若求奇数项和或偶数项和，可分别令x＝1和x＝－1，得两式相加减即可求出结果．对于形如(ax2＋bx＋c)n的式子，求其展开式的各项系数和，只需令x＝1.对于(ax＋by)n(a，b为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令x＝y＝1. 巩固训练5：(1)已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项系数最大的项是()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项解析：设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，整理得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知得＝364，解得：n＝3，故(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故选B.答案：B (2)(一题两空)[2020·浙江卷]二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝________，a1＋a3＋a5＝________．解析：由二项式定理得，(1＋2x)5展开式的通项公式为Tk＋1＝2kxk，所以a4＝24＝80，a1＝21＝10，a3＝23＝80，a5＝25＝32，所以a1＋a3＋a5＝10＋80＋32＝122.答案：80122 高考·命题预测 [预测1]核心素养——数学运算若在的展开式中，第4项是常数项，则n＝________．解析：Tk＋1＝()n－k＝(－1)k令n－6k＝0∴n＝6k又T4是常数项，∴k＝3∴n＝18.答案：18 [预测2]新题型——多选题若（x+）的展开式中各项系数之和为2，则下列结论正确的是()A．a＝1B．展开式中x6的系数是－32C．展开式中含x－1项D．展开式中的常数项为40答案：AD 解析：因为（x+）的展开式中各项系数的和为2，令x＝1得，1＋a＝2，所以a＝1，故A正确；（x+）＝（x+），展开式的通项为(2x)5－k·＝25－k(－1)kx5－2k(k＝0，1，…，5).令5－2k＝5，解得k＝0，所以x6的系数是32，故B错误；令5－2k＝－2，无解，令5－2k＝0无解，所以展开式中不含x－1项，故C错误；令5－2k＝－1，解得k＝3，令5－2k＝1，解得k＝2，所以展开式中的常数项为·22·(－1)3＋·23·(－1)2＝40，故D正确．故选AD. 状元笔记一、几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题[典例1]在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74B．121C．－74D．－121【解析】因为(1－x)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k，所以含x3的项的系数是－.同理可得，(1－x)6，(1－x)7，(1－x)8的展开式中含x3的项的系数分别是－，－，－，故(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是－－－－＝－121.故选D.【答案】D 二、二项式定理的应用[典例2](1)计算1.056.(精确到0.01)【解析】1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.【答案】1.34 (2)1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是()A．－1B．－87C．1D．87【解析】1－90＋902－903＋…＋9010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋889＋…＋88＋＝88k＋1(k为正整数)，所以可知余数为1.故选C.【答案】C (3)求证：n∈N且n≥3时，2n－1≥n＋1.证明：n≥3时，2n＝(1＋1)n＝1＋n＋＋…＋n＋1≥2＋2n，∴2n－1≥n＋1. (4)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)，能被64整除．证明：原式＝(1＋8)n＋1－8n－9＝1＋81＋82＋…＋8n＋1－8n－9＝82＋83＋…＋8n＋1＝64(＋8＋…＋8n－1).∵，，…，均为自然数，上式各项均为64的整数倍．∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． 类题通法(1)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.(2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．