8.7抛物线第八章2022
内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破
必备知识预案自诊
【知识梳理】1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.一条直线.距离相等焦点准线
2.抛物线的几何性质
(0,0)y轴1
常用结论1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是×××××
答案C
3.(2020江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案D解析设圆心C(x,y),圆C截y轴所得的弦为BD,过点C作CE⊥y轴,垂足为E(图略),则|BE|=2,|CE|=|x|.依题意|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2,所以(x-2)2+y2=22+x2,化简得y2=4x.所以圆心C的轨迹为抛物线.故选D.
4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程为.答案y2=16x或x2=-8y解析令y=0,得x=4.令x=0,得y=-2.所以抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0,-2),所以所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y.
5.(2020新高考全国1,13)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.
关键能力学案突破
考点1抛物线的定义及其应用【例1】(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()A.(0,-4)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,4)(3)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线C的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3
答案(1)C(2)BC(3)A
(3)由题意得,抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,连接OB,由|FA|=2|FB|,得|AM|=2|BN|,则B为AP的中点.因为O为PF的中点,所以|OB|=|FA|,所以|OB|=|FB|,所以点B的横坐标为1.又B为AP的中点,点P(-2,0),所以点A的横坐标为4,所以点A到抛物线C的准线的距离为4+2=6.故选A.
解题心得1.涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,则|PF|=x0+.若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p.若遇到抛物线其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到.
对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12(2)(2020河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3
答案(1)B(2)A解析(1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,设|AB|=|BC|=m,直线l的倾斜角为α.则|BE|=m|cosα|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cosα|),(2)由已知得抛物线的准线方程为x=-1,根据抛物线的定义,知|FA|=1+1=2,|FB|=x1+1,|FC|=x2+1,则|FA|+|FB|+|FC|=2+x1+1+x2+1=10,故x1+x2=6.故选A.
考点2抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x
答案(1)D(2)B
解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
答案(1)C(2)D
考点3与抛物线相关的最值问题(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10
答案(1)D(2)A解析(1)由已知得点C1(3,2),F(2,0),记抛物线C2的准线为l,如图,过点M作直线l的垂线,垂足为D,过点C1作直线l的垂线,垂足为D1,则|MF|+|MN|=|MD|+|MN|≥|MD|+|MC1|-1≥|C1D1|-1,当且仅当M,C1,D1三点共线,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|+|MN|取得最小值,则点M1的坐标为(1,2),|MF|-|MN|≤|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1≤|FC1|+1,当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|-|MN|取得最大值,
解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”这一原理来解决问题.
对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.D.4(2)设P为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,点B(3,2).求:①|PB|+|PF|的最小值.②点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.
(2)解①由题意可知抛物线的准线方程为x=-1.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,过点P作PM垂直准线于点M,由抛物线的定义可知|PF|=|PM|,则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=4,当点P为BQ与抛物线的交点时,等号成立.故|PB|+|PF|的最小值为4.
②由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点A在准线上.由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于|PF|.于是,问题转化为|PA|+|PF|的最小值.如图,显然,当点P为AF与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取最小值,此时最小值为
考点4抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()答案(1)A(2)D
解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.
(3)(2021年1月8省适应测试)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0
答案(1)A(2)A(3)B
考点5直线与抛物线的关系
解题心得解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.[提醒]涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
对点训练5(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F,与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l与x轴不垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则S△AOB=()①求直线AB的斜率;②设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
本课结束
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