新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：4.1 导数的概念与运算

第一节　导数的概念与运算 课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测 课前·基础巩固 【教材回扣】1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________________，即f′(x0)＝＝.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′.f′(x0)或 2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝______.f′(x0) 3．基本初等函数的导数运算基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝______f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝0αxα－1cosx－sinxexaxlna 4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)g(x)]′＝__________________；(3)′＝______(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)y′u·u′x 【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()2．导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()3．曲线f(x)＝x3在原点(0，0)处的切线方程为y＝0.()4．函数f(x)＝ln(1－x)的导数是f′(x)＝.()××√× 题组二教材改编1．(多选题)下列导数运算正确的是()A．(xnex)′＝nxn－1ex＋xnexB．′＝＝C.′＝＝D．[(3x＋1)2ln(3x)]′＝[(3x＋1)2]′ln(3x)＋(3x＋1)2·(ln3x)′＝6(3x＋1)ln(3x)＋答案：AD 2．曲线y＝x2＋在点(1，4)处的切线方程为________．解析：∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝2－3＝－1.∴所求切线方程为：y－4＝－(x－1)，即x＋y－5＝0.答案：x＋y－5＝0 3．已知函数f(x)满足f(x)＝f′sinx－cosx，则f′＝________．解析：∵f(x)＝f′sinx－cosx，∴f′(x)＝f′cosx＋sinx，∴f′＝f′cos＋sin，即f′＝，∴f′＝＝＋1.答案：＋1 题组三易错自纠1．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案：D 解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C；又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B，故选D. 2．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A．B．C．D．解析：f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝4，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.故选D.答案：D 3．(一题两空)已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝________，b＝________．解析：∵f(x)＝(bx－1)ex＋a∴f′(x)＝ex(bx＋b－1)又f′(0)＝1，f(0)＝0∴f′(0)＝b－1＝1，－1＋a＝0解得a＝1，b＝2.答案：12 课堂·题型讲解 题型一　导数的运算[例1](1)函数f(x)＝的导函数f′(x)＝()A．2B．C．D．解析：∵f(x)＝＝，∴f′(x)＝×2＝＝.故选D.答案：D (2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(2)＋lnx，则f′(2)等于()A．B．C．D．解析：f′(x)＝4x－3f′(2)＋，∴f′(2)＝4×2－3f′(2)＋，∴f′(2)＝.故选D.答案：D (3)[2021·模拟]设f(x)＝aex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________．解析：f′(x)＝aex＋，∴解得∴a＋b＝1.答案：1 类题通法(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 巩固训练1：(1)已知f(x)＝sin，则f′(x)＝________．解析：f(x)＝sin＝－sincos＝－sinx，∴f′(x)＝－cosx.答案：－cosx (2)设f′(x)是函数f(x)＝＋x的导函数，则f′(0)的值为________．解析：f′(x)＝＋1＝＋1，∴f′(0)＝－1＋1＝0.答案：0 (3)若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．解析：f′(x)＝aeax＋，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3.答案：3 题型二　导数的几何意义高频考点角度1|求切线方程[例2][2021·山东新高考质量测评联考]设函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－1)x，(x∈R)为奇函数，则曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为()A．y＝－2x＋2B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝x－1解析：由题意知a＝0，∴y＝＝＝x－，∴y′＝1＋，∴y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.故选C.答案：C 类题通法求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0. 巩固训练2：[2020·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.答案：B 角度2|求切点坐标[例3]设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0，0)B．(1，－1)C．(－1，1)D．(1，－1)或(－1，1)答案：D 解析：f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，所以由①知x0≠0，故②可化为)＝－1，即＝1，解得x0＝±1.当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝＝－1；当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝＝1，所以点P的坐标为(1，－1)或(－1，1)．故选D. 类题通法求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标． 巩固训练3：设a∈R，函数f(x)＝ex＋的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．解析：∵f′(x)＝ex－，且f′(x)是偶函数，∴e－x－＝ex－，得a＝－1.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝＝，解得x0＝ln2或x0＝－ln2.答案：±ln2 角度3|求参数的值(或范围)[例4]函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)解析：函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.因为x>0，所以2－0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.答案：D [预测2]新题型——一题两空已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x3－3x2＋a，则f(－2)＝________；曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程为________________．解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0，故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4，当x0，故f(－x)＝－2x3－3x2.f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x，f′(－2)＝12，故切线方程为：y＝12(x＋2)－4，即12x－y＋20＝0.答案：－412x－y＋20＝0 状元笔记明晰求切线方程中“在”与“过”的不同求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标． [典例]若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值为________．【答案】1或 【解析】易知点O(0，0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．(1)当O(0，0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0.依题意，Δ＝4－4a＝0，得a＝1. (2)当O(0，0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝＋2x0，k＝＝－6x0＋2，①又k＝＝－3x0＋2，②联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，故直线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0，依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.